2.5从力的做功到向量的数量积 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析）

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2.5从力的做功到向量的数量积北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则( )
A. B. C. D.
已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
已知，为单位向量，，记是与方向相同的单位向量，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为则的最小值为( )
A. B. C. D.
若直线相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论中错误的是( )
A. B.
C. D.
对于给定向量，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：，其中只有一个是假命题，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
在中，，，点满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知是边长为的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在方向上的投影向量长为
已知的外接圆圆心为，半径为，，且，下列结论正确的是( )
A. 在上的投影向量为 B.
C. 在上的投影向量为 D.
已知是圆上一动点，关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，则的长的可能取值是( )
A. B. C. D.
中，下列说法正确的是( )
A. 与共线的单位向量为
B.
C. 若，则为钝角三角形
D. 若是等边三角形，则，的夹角为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
在中，已知，，，则在上投影向量的模为__________．
若，，与方向相同的单位向量为，则在方向上的投影向量的坐标为
如图，半圆的半径为，为直径所在直线上的一点，且，为半圆弧上的动点．将线段绕点顺时针旋转得到线段，则线段长度的最大值是 ．
已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在中，，，，，．
设在上的投影向量为，求的值；
若，求．
本小题分
如图，已知为平面直角坐标系的原点，，．
求两点与的坐标；
求向量在向量上的投影向量．
本小题分
已知，，
若与的夹角为．
求；
求在上的投影向量．
若 ，求．
本小题分
已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，．
Ⅰ当切线的长度为时，求点的坐标；
Ⅱ若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
Ⅲ求线段长度的最小值．
本小题分
已知点，，求：
边上的中线所在直线的方程；
边上的高所在直线方程；
三角形的面积．
本小题分
已知向量，满足，，．
求：
与的夹角．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的投影向量，向量的数量积和向量的数量积与向量的垂直关系 ，属于中档题．
先结合投影向量得，得到，从而得到结论．
【解答】
解：因为共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，
所以，，，
因此，
所以
，
故．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，以及投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
根据条件可求出，进而可求出，然后根据投影向量的计算公式即可得出投影向量．
【解答】
解：由题设可得，即，则，
设与的夹角为，则．
又，故，
因为是与方向相同的单位向量，所以在方向上的投影向量为．
故答案选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量数量积的运算及计算公式，以及投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于中档题．
根据条件可求出，，进而可求出，然后根据投影向量的计算公式即可得出投影向量．
【解答】
解：因为，
所以，即，
则，
设与的夹角为，则．
又，故，
因为是与方向相同的单位向量，所以在方向上的投影向量为．
故选：

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，涉及两点间距离公式的应用，属于中档题．
根据题意，由切线长公式求出、，分析其几何意义，进而可得的几何意义为到点和的距离之和，据此由两点间距离公式分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设的坐标为，过分别向圆和圆引切线，
则，其几何意义为到点的距离，
，其几何意义为到点的距离，
则有，其几何意义为到点和的距离之和，
点和在轴的两侧，
故到点和的距离之和的最小值为，
即的最小值为．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
联立，解得交点，代入可得：再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出．
【解答】
解：由，解得
所以直线的交点为，
因为交点在直线上，
所以，
所以点到原点的距离．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量相关概念及运算以及命题真假性的判断，属于中档题．
结合正八边形的性质，结合平面向量的知识进行解答．
【解答】
解：易知，所以中结论正确；
，所以中结论正确；
，所以中结论正确；
，所以中结论错误．
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了命题真假的判断、以及向量的夹角和向量数量积即向量模的计算问题．
分假设甲乙丙为真命题，丁为假命题，假设甲乙丁为真命题，丙为假命题，假设乙丙丁为真命题，甲为假命题，假设甲丙丁为真命题，乙为假命题，四种情况分别讨论即可求解．
【解答】
解：设与的夹角为，
假设甲乙丙为真命题，丁为假命题，
则，
又，，
，
，不符合三角函数的性质，
故该假设不成立
假设甲乙丁为真命题，丙为假命题，
则，
又，
，
，不符合三角函数的性质，
故该假设不成立
假设乙丙丁为真命题，甲为假命题，
则，
，
，
得两向量垂直，
则，
，
故该假设成立
假设甲丙丁为真命题，乙为假命题，
则，
，
，
得两向量垂直，
则，
，
故该假设成立
由以上假设可知丙丁为真命题，甲乙有一个真命题，
由丙丁可得，
则，即与的夹角为，
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，二次函数性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用向量的数量积和向量的线性运算的应用和模的运算的应用整理成关于以为变量的二次函数的形式，进一步利用二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】
解：因为，所以，
所以由得，
那么，
则，
由，，
得，
令，所以在处取得最小值，
且最小值为，
所以，故．
故本题选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件得，再利用平面向量的坐标运算，逐项计算得结论．
【解答】
解：因为是边长为的等边三角形，
是上的点，且，
所以以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系如下图：
则，，．
又因为，即为边上的一个靠近的三等分点，所以．
设，则，而，
由、、三点共线得，
解得，即，因此是的中点，因此B正确．
又因为，，所以，因此不正确；
又因为，，，
所以，因此，即C正确；
又因为，，
所以在方向上的投影向量长为，因此D正确．
故选BCD．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的数量积，以及投影向量的知识，属于中档题．
由题意可得，可得四边形是平行四边形，结合可得，四边形是边长为的菱形，且，可证出，，根据向量投影的定义可求在方向上的投影向量．
【解答】
解：由，可得，
可得四边形是平行四边形，
又可得，四边形是边长为的菱形，
且，
，，
，
，
根据向量投影的定义可得在上的投影向量为：
，
故选BCD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离公式和点关于直线的对称点坐标，属于基础题．
设出点，则得到，，求出，再算出范围即可
【解答】
解：由题可得，圆，圆心为，半径，
设，则，．
，
易知，，
所以，，
所以得取值范围是，
故选BCD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查单位向量的概念，向量的加法、减法运算，数量积，向量的夹角，属于基础题．
根据题意，依次分析选项即可得答案．
【解答】
解：对于，根据共线向量和单位向量的定义，A正确；
对于，根据向量的减法可得，B错误；
对于，因为，所以，所以为钝角，C正确；
对于，因为，所以，的夹角为，不正确．
故选AC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的模长，数量积，以及投影向量的模的计算，其中还涉及二倍角公式，及诱导公式的应用，属于中档题．
结合题中条件，根据向量的模长以及数量积的运算可得，再由结合二倍角公式以及诱导公式可得，最后在直角结合投影向量的概念即可求得结果．
【解答】
解：在中
，
即
，
故．
，
即，
故．
解得或．
，为直角的内角
，．
故，．
又，
．
故在方向上的投影向量的模为

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量投影，向量数量积以及向量坐标运算，属中档题，
由题意在方向上的投影为，与方向相同的单位向量为，则在方向上的投影向量为．
【解答】
解：因为，
所以在方向上的投影为，
又因为与方向相同的单位向量为，
所以在方向上的投影向量为
故答案为

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查运用向量法求线段长度最值，属于中档题．
以点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，即可表示出点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得．
【解答】
解：如图以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设，则，，则，
过点、分别作轴、轴，交轴于点、，显然与全等，
所以，，
从而得到，即，
所以所以当，即时．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积，属于中档题．
利用平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程，解方程得结论．
【解答】
解： ， 是互相垂直的单位向量，
，且；
又与的夹角为，
，
即
，
化简得，
即，
解得．
故答案为．

17.【答案】解：在上的投影向量为，
．

，
，
．
【解析】本题考查向量的线性运算、数量积、模和投影向量，属于一般题．
利用投影向量的定义即可求解
求出，求出，即可求．
18.【答案】解：如图，过作垂直轴于，过作轴的垂线与过作轴的垂线交于．
因为，，
所以，，
在直角三角形中，，，，，
故B的坐标为，的坐标为．
由知．
设向量和的夹角为，是与方向相同的单位向量，
则．
即向量在向量上的投影向量是，
所以所求向量为．
【解析】本题考查向量的综合应用，主要是考查向量的夹角，数量积，投影向量等，是中档题．
根据所求量为坐标，则需要找到对应线段的长度，故可作如图所示的垂线，分别计算长度，得到、的坐标．
根据题意设向量和的夹角为，是与方向相同的单位向量，表示出，可得结果．
19.【答案】解： ．
在上的投影向量为 ．
，
与的夹角为或．
当时，．
当时，．

【解析】本题考查向量的夹角 、向量的数量积 、投影向量以及平面向量共线的充要条件，属于中档题．
利用数量积的定义即可求解；
利用投影向量定义即可求解；
，分与的夹角为或两种情况即可求解；
20.【答案】解：Ⅰ由题可知，圆的半径，设，
因为是圆的一条切线，所以，
所以，解得
所以
Ⅱ设，因为，
所以经过、、三点的圆以为直径，
其方程为：
即
由
解得或，所以圆过定点，
Ⅲ因为圆方程为
即 ，
圆：，
得圆方程与圆相交弦所在直线方程为：
点到直线的距离
相交弦长即：
当时，有最小值．
【解析】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
Ⅰ因为是圆的一条切线，所以，所以，即可点的坐标；
Ⅱ设，因为，所以经过、、三点的圆以为直径，其方程为：，即，即可得出结论；
Ⅲ求出点到直线的距离，利用勾股定理，即可求线段长度的最小值．
21.【答案】解，，，
易知线段的中点坐标为 ，
易知边上的中线所在的直线的斜率不存在，
边上的中线所在的直线方程为；
，
边上的高所在直线的斜率，
边上的高所在直线的方程为：
，即；
直线的方程为 ，即，
则点到直线的距离，
又 ，
故．
【解析】本题主要考查了直线方程的求法，直线垂直的判定与运用，点到直线距离公式，两点间的距离公式，考查了分析和运用能力，属于中档题．
先求出线段中点坐标，再结合点坐标即可得到 边上的中线所在直线的方程；
先求出直线的斜率，再运用直线垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，然后运用点斜式写出边上的高所在直线方程，再化为一般式即可；
先求出直线的方程，再运用点到直线距离公式求出点到直线的距离，然后运用两点间的距离公式求出，最后用三角形面积公式运算即可．
22.【答案】由，得，
故，代入，，得，
由，得
由，，
因为，，
故与的夹角为
【解析】本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应根据向量的数量积的概念以及向量的运算法则，进行计算即可．
由已知求得再求得，最后由即可求解；
根据题意，由，，求出夹角的值．