5.3复数的三角表示 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析）

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5.3复数的三角表示北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
复数的三角形式是( )
A. B.
C. D.
设复数在复平面上对应向量，将向量绕原点按顺时针方向旋转后得到向量，对应复数，则等于( )
A. B. C. D.
设，，是的内角，是一个实数，则是( )
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 形状不能确定
若复数，，，则 ( )
A. B. C. D.
已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题有多项符合题目要求）
若复数，则下列说法正确的是( )
A. 是纯虚数 B. 的三角形式为
C. 复数对应的点在第四象限 D.
欧拉公式本题中为自然对数的底数，为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是圆
年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式为虚数单位，为自然对数的底数，这个公式被誉为“数学中的天桥”据此公式，下列说法正确的是( )
A. 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B.
C.
D.
欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A. 复数对应的点位于第三象限 B. 为纯虚数
C. 复数的模长等于 D. 的共轭复数为
已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是纯虚数
C. 复数的模的最大值为
D. 复数的模长为定值
著名的欧拉公式为：，其中，为自然对数的底数，它使用了几个基本的数学常数描述了实数集和复数集的联系．其广义一般式是，该复数在复平面内对应的向量坐标为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若复数满足，则
C. 若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，则
D. 复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直
欧拉公式：是虚数单位，，非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起下列关于欧拉公式的叙述正确的有( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
若复数，，则 ．
若复数，，则的辐角的主值是 ．
复数的辐角的主值是 ．
复平面上，非零复数，在以为圆心、为半径的圆上，的实部为零，的辐角主值为则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知．
设，求的三角形式；
如果，求实数，的值．
本小题分
已知复数的模为，辐角为锐角，且复数的模为，辐角为，且．
求复数的代数形式
在复平面内，为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若是直角，求实数的值．
本小题分
已知复数满足，的虚部为，在复平面上所对应的点在第一象限．
求；
若，在复平面上的对应点分别为，，求．
本小题分
把复数和对应的向量，分别绕点按逆时针方向旋转和后，这两个向量完全重合已知，求复数的代数表示式．
本小题分
已知中，，点在上，且，用复数证明：．
本小题分
利用复数证明余弦定理．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数是三角形式，属于基础题，
根据复数的三角形式是，；即可求解；
【解答】
解：
故选A

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的三角形式，考查学生的分析问题能力，计算能力，属于中档题．
将转化成三角形式，进而顺时针旋转，得到的三角形式，利用诱导公式，同角三角函数之间的关系，三角恒等变换化简即可。
【解答】
解：复数的模为
，
，
其中，，，为锐角，
．
，
，，
．
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的三角形式，属于基础题．
由题意得 求，即可．
【解答】
解：因为是一个实数，
所以 ，
．
故是直角三角形．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的运算与三角函数综合应用．
根据复数运算法则求，然后根据公式化简．
【解答】
解：由题意知
，
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数代数形式与三角形式的互化，训练了三角形式的乘法运算及辐角主值的求法，属于基础题．
化代数形式为三角形式，再由三角形式的乘法运算化简，则辐角主值可求．
【解答】
解：
．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，共轭复数、复数的模，复数的三角形式，复数的几何意义，属于基础题．
由复数的运算和共轭复数判断，根据以及共轭复数判断，根据复数的四则运算及复数的几何意义判断，根据复数的模判断．
【解答】
解：复数，
是纯虚数，故A正确，
，，故B不正确，
复数，对应的点为，在第一象限，故C错误，
，故D正确．
故选AD．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的概念，复数的几何意义，复数的模，共轭复数，属于一般题．
根据题意写出复数的代数形式并运用任意角的三角函数及复数的几何意义，共轭复数，复数的模逐一判定各选项即可．
【解答】
解：对于， ，故A正确
对于，，因为 ，
所以 ， ，所以复数对应的点位于第二象限，故B正确；
对于， ，复数的共轭复数为，故C错误
对于，
复数 在复平面内对应的点的轨迹是半径为的圆，故 D正确．
故本题选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，复数的三角表示，复数的代数表示及其几何意义，属中档题．
根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项．
【解答】
解：对于：，因为，所以，，
所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于：，故B正确；
对于：，故C正确；
对于：由，，
所以，所以，选项D正确；
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复数的欧拉公式、三角函数，考查了共轭复数，复数的模和纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
对于，，根据，即可判断出；对于，根据欧拉公式逐项计算，然后判断正误即可．
【解答】
解：对于，由于，
，
，，
表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，故A错误；
对于，，可得为纯虚数，故B正确；
对于，，
可得其模的长为，故C正确；
对于，，可得的共轭复数为，故D错误．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的三角表示，复数的模，属于基础题
A.利用平方关系求解判断直接求解判断利用复数模公式求解判断
【解答】
解：对于因为，，两边平方得，则，
所以，
所以，故A正确
对于当时，，，则，故B正确
对于，故C错误，D正确
故选：

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查欧拉公式的理解和运用，以及复数的运算和几何意义，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
由欧拉公式和对数的运算性质，可判断；由欧拉公式和复数的运算性质、共轭复数的概念，可判断；由复数的几何意义和向量垂直的性质，可判断、．
【解答】
解：对于，，故A正确；
对于，，，故B正确；
对于，若复数与复数在复平面内表示的向量相互垂直，对应的向量坐标为，对应的向量坐标为，其中，可得，则或，故C错误；
对于，复数与复数在复平面内表示的向量分别为，，则，可得两向量相互垂直，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查新定义下的复数计算，属于中档题．
【解答】
解：因为，所以，，A正确．
因为，所以，
又因为，所以，B正确．
由上述可知，，
所以，．

13.【答案】
【解析】解：因为复数，，所以
14.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了复数的四则运算及复数的三角形式，考查了计算能力，属于基础题．
由题意，利用复数的四则运算化简，由此可得其辐角的主值．
【解答】解：因为
，
则的辐角的主值为．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的三角表示，辐角的主值，属于基础题．
结合已知运用三角函数二倍角公式，诱导公式将已知复数化为三角形式即，其中，则即为所求．
【解答】
解：
．
复数的辐角的主值为．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的三角形式，复数以及共轭复数的概念，属中档题．
【解答】
解：因，与轴的夹角为，所以，，．
又实部为零，或．
因在圆上，故应舍去，即．
以为圆心、为半径的圆上，在圆中可求出，
故．
故答案为

17.【答案】解：由，有
，
的三角形式是．
由，有
由题设条件知．
根据复数相等的定义，得
解得
【解析】本题考查共轭复数、复数的三角形式，复数的混合运算等基础知识及运算能力，是一个综合题，解题的关键是整理过程千万不要出错．
把复数的代数形式代入所给的，根据乘方和共轭复数，算出的值，求出复数的模长，把代数形式变化为三角形式．
先进行复数的乘除运算，整理成最简形式，根据复数相等的条件，使得复数的实部和虚部分别相等，得到关于和的方程组，解方程组即可．
18.【答案】解：复数的辐角为锐角，且，
．
又复数的模为，
复数的模为，辐角为，
，
，
．
由题意，，，的坐标分别为，，，
，，
是直角，
，
，
即．

【解析】本题主要考查复数的几何意义以及运算，属于一般题．
先求得，再得到，然后求解即可
得到，，因为是直角，所以，即可求解的值．
19.【答案】解：因在复平面上所对应的点在第一象限，
设，则，
有，
因的虚部为，即，
解得，
，
所以．
由知，，，，
则点，
，，
因此，，
所以．

【解析】本题考查了向量的夹角、平面向量的坐标运算和复数的代数表示及其几何意义，是中档题．
设，则，再根据已知计算求解作答．
由求出点，，的坐标，再借助向量数量积计算作答．
20.【答案】解：由复数的三角形式乘法的几何意义得
，
因为，
所以
，

【解析】本题考查复数的三角形式以及辐角有关概念及应用．
由题意得，结合，即可求得．
21.【答案】证明：如图，以为原点，所在直线为实轴建立复平面．
设，由，得，，
，，
．
设向量对应的复数分别为，则，
，
．

【解析】本题考查复数的几何应用，建立复平面，利用复数的运算结合向量运算即可得证，属于中档题．
先以为原点，所在直线为实轴建立复平面然后得到然后设向量对应的复数分别为，则，然后利用复数运算即可．
22.【答案】证明：如图，在复平面内作在原点，在实轴上，
设，，，则
，
，
，
这里是平行四边形的顶点，根据复数加法的平行四边形法则
，
故
两边取模，并且平方，得
，
其它两式同理可证．
【解析】本题考查利用复数证明余弦定理，属于中档题．
先建系设，，，则，，，，再利用，两边取模并且平方，即可解决．