6.3空间点.直线.平面之间的位置关系 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析）

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6.3空间点.直线.平面之间的位置关系北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列命题正确的个数是( )
两两相交的三条直线可确定一个平面
两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
A. B. C. D.
下列命题中正确的个数是( )
平面与平面相交，它们只有有限个公共点．
若直线上有无数个点不在平面内，则．
若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行
已知平面，和异面直线，，满足，，，，则．
A. B. C. D.
已知直角，，，，，分别是，的中点，将沿直线翻折至，形成四棱锥，则在翻折过程中，平面平面不可能成立的结论是
A. B. C. D.
如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是( )
A.
B. 平面
C. 平面平面
D. 与所成的角等于与所成的角
已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则
若，，且，则；若，，且，则；
若，，，则；若，，且，则；
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
下列四个论断：
已知平面和直线，则平面内至少有一条直线与直线垂直；
已知不同的平面，，不同的直线，，若，，，，则；
已知直线，相交，直线，相交，则直线，可以异面；
若直线在平面外，则直线与平面无交点．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的个数为( )
截面

异面直线与所成的角为
A. B. C. D.
如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的个数( )
截面
异面直线与所成的角为
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知，是两条互相垂直的异面直线，下列说法中正确的是( )
A. 存在平面，使得且
B. 存在平面，使得且
C. 若点，分别在直线，上，且满足，则一定有
D. 过空间某点不一定存在与直线，都平行的平面
已知直线，是异面直线，则下列结论中正确的为( )
A. 过直线有且只有一个与直线平行的平面
B. 过直线至多有一个与直线垂直的平面
C. 过直线与直线有且只有一对相互平行的平面
D. 过直线与直线至多有一对相互垂直的平面
如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则( )
A. A、、、四点共面
B. 平面平面
C. 直线与所成的角为
D. 平面
在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则( )
A. A、、、四点共面 B. 平面平面
C. 直线与所成角为 D. 平面
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
下列命题中，所有正确的命题的序号是 ．
三个平面两两相交必有三条交线；
空间四点、、、，若直线和直线是异面直线，那么直线和直线也是异面直线；
空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上；
直线在平面外是指直线与平面平行或相交．
，，为三个不重合的平面，，，为三条不同的直线，则下列命题中不正确的序号是 写出所有不正确的序号
；；；；；．
如图，已知四棱锥，底面为正方形，平面给出下列命题：
； 平面与平面的交线与平行；平面平面；为锐角三角形．其中正确命题的序号是________
已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中真命题的序号有________．
若，则； 若，则；
若，则； 若，则．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图所示，空间四边形中，，，分别在，，上，且满足，，过点，，的平面交于点，连接．

求；
求证：，，三线共点．
本小题分
如图，在多面体中，，，，四边形是矩形，平面平面，．
证明：平面；
若二面角的正弦值为，求的值．
本小题分
如图，在三棱柱中，分别是的中点，求证：
四点共面；
平面平面．
本小题分
如图，等腰梯形中， 沿将折起至与平面成直二面角得到一四棱锥，为中点，过 作平面 ．
请画出平面截四棱锥的截面，写出作法，并求其周长；
求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值．
本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，其中，为与的交点，为棱上一点．
求证：平面平面；
若平面，求三棱锥的体积的最大值．
本小题分
已知是棱长为的正方体如图．
正方体的哪些棱所在的直线与直线是异面直线
求证直线与垂直．
求直线与的夹角．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质应用问题，是一般题．
根据空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】
解：对于，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故错误；
对于，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故错误；
对于，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故正确；
对于，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故错误．
正确的命题只有一个．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
在中，平面与平面相交，它们有无数个公共点；在中，与平行或相交；在中，这两条直线相交、平行或异面；在中，由面面平行的判定定理得．
【解答】
解：在中，平面与平面相交，它们有无数个公共点，故错误；
在中，若直线上有无数个点不在平面内，则与平行或相交，故错误；
在中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故错误；
在中，已知平面，和异面直线，，满足，，，，
则由面面平行的判定定理得，故正确．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
运用线面垂直的判定定理和性质定理，结合解直角三角形，可判断；由异面直线所成角的定义，可判断；由面面垂直的性质定理可判断；由两平面所成角的定义，可判断．
本题考查空间线面和面面的位置关系，运用线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，考查空间想象能力，属于难题．
【解答】
解：中，，，，
，分别是，的中点，可得，，
由，，可得平面，
即有，而，
即有，
在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
若，可得，这与矛盾，
故不可能成立；
由于，且与不垂直，则与也不垂直，则不可能成立；
当在翻折过程中，平面平面时，且有，
可得平面，则，则可能成立；
由，过作直线与平行，也与平行，可得平面和平面的交线为直线，
且，，则为平面和平面所成角，
由于，则不可能为直角，则不可能成立．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系和异面直线所成的角等问题，属于中档题．
根据底面，底面为正方形，易证，根据线面平行的判定定理易证平面，由选项A中分析得到平面，进而得到平面平面；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
【解答】
解：连接，
底面为正方形，
，
又底面，平面，
，
又，、平面，
平面，
又平面
，
故A正确；
，平面，平面，
平面，
故B正确；
平面选项已证明，平面，
平面平面，
故C正确；
，
与所成的角是为锐角，
与所成的角是为直角，
而这两个角显然不相等，
故D不正确．
故选D
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的线面关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．
利用线面位置关系，线面的平行和垂直的判断和性质可得答案．
【解答】
解：由且，可得，而，垂直同一个平面的两条直线相互平行，故正确；
由于，，所以，又因为，则，故正确；
若，，，则或，异面，故错误；
由可知，在平面内一定存在一条直线，又，则，
又因为，所以，即可得，故正确；
因此，真命题是，共个．
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中直线与平面，平面与平面，直线与直线的位置关系，属于中档题．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐项判断得结论．
【解答】
解：因为平面内有无数条直线与直线垂直，所以正确；
平面与也可以相交，此时只需直线，同时平行它们的交线，所以不正确；
已知直线，相交，直线，相交，则直线，可以异面，显然正确；
直线在平面外包括和与相交，所以交点个数为或，所以不正确．
故正确．
故选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行与异面直线垂直的判定、正方形的性质、异面直线所成的角，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
首先由正方形中的线线平行推导出平面、平面，进而推导出，，根据得，根据可得截面，再根据得到，结合可知是异面直线与所成的角且为，由，可知，，而，，进而得到即可求解．
【解答】
解：因为截面是正方形，所以、，
则平面、平面，
所以，，
由可得，故正确；
由可得截面，故正确；
，．
由，
是异面直线与所成的角，且为，正确；
由上面可知：，．
，，
而，，
错误．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行与异面直线垂直的判定、正方形的性质、异面直线所成的角，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
首先由正方形中的线线平行推导出平面、平面，进而推导出，，根据得，根据可得截面，再根据得到，结合可知是异面直线与所成的角且为，由，可知，，而，，进而得到即可求解．
【解答】
解：因为截面是正方形，所以、，
则平面、平面，
所以，，
由可得，故正确；
由可得截面，故正确；
，．
由，
是异面直线与所成的角，且为，正确；
由上面可知：，．
，，
而，，
错误．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线，线面和面面的位置关系，属于中档题．
根据异面直线的性质，结合线面垂直的判定定理和性质，线面平行的判定定理和性质，进行逐项分析判断，即可求解．
【解答】
对于，设，的公垂线为，其中，
过作的平行线，设直线与确定的平面为平面，
则，，，
，，
又，
，故A正确；
对于，过上一点作，
设与所确定的平面为，
则，故B正确
对于，设，的公垂线为，且，
在上取异于的点，则平面，
，但显然与不垂直，故C错误；
对于，当空间一点在直线或直线上时，
显然不存在与直线，都平行的平面，
故D正确．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线，空间中线面、面面之间的位置关系，考查反证法与推理证明，属于中档题．
根据相关的定义，判定定理，性质定理逐条判断即可．
【解答】
解：对于，在直线上取、点，过、分别作直线、与直线平行，、可确定平面，即平行于，此时在平面上，故过直线可以作与直线平行的平面，
假设存在两个平面，过直线且与直线平行，则为平面与平面的交线，从而得出，与直线，异面矛盾，故有且只有一个过直线且与直线平行的平面，A正确；
对于，当时，过直线且与垂直的平面有一个，若不垂直于，没有符合题意的平面，B正确；
对于，由选项A可知过直线有且只有一个与直线平行的平面，设为平面，即平面，过上一点作直线平面，此时与确定一个平面，设为平面，则平面平面，
假设过直线存在两个平面与平面平行，则这两个平面互相平行，与两平面交于直线矛盾，
故过直线与直线有且只有一对相互平行的平面，C正确；
对于，若，过直线与直线且相互垂直的平面有无数对，D错误．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，考查面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于，由图显然、是异面直线，故A、、，四点不共面，故A错误；
对于，由题意平面，又平面，故平面平面，故B正确；
对于，取的中点，连接、，则，则即为异面直线与所成角，易知三角形为等边三角形，故，故C正确；
对于，平面，显然与平面不平行，故D错误：
故选BC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，考查面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于，由图显然、是异面直线，故A、、，四点不共面，故A错误；
对于，由题意平面，又平面，故平面平面，故B正确；
对于，取的中点，连接、，则，则即为异面直线与所成角，易知三角形为等边三角形，故，故C正确；
对于，平面，显然与平面不平行，故D错误：
故选BC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的基本性质，空间直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
根据平面基本性质，异面直线及直线与平面的位置关系依次判断可得．
【解答】
解：三个平面两两相交有三条或一条交线，不正确；
假设直线与直线是共面直线，则点、、、在同一平面内，故直线和直线是共面直线，与已知条件直线和直线是异面直线相矛盾，所以直线和直线是异面直线，故正确；
由直线与直线外一点确定一个平面，知空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上，故正确；
直线在平面外是指直线与平面平行或相交，故正确．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断及空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
利用公理及平行平面的传递性可得出正确，然后再用举反例可得出不正确，便可得出结果．
【解答】
解：由公理及平行平面的传递性知正确，
举反例知不正确．
中，，可以相交，还可以异面；
中，，可以相交；
中，可以在内；
中，可以在内．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，是中档题．
设，由题意证明，由已知可得，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明错误；由线面平行的判定和性质说明正确；由面面垂直的的判定和性质说明正确；由面可判断，说明错误．
【解答】
解：如图，
、设，若，
，，、平面，
则平面，
又平面，
，
又平面，平面，则，
在平面内过有两条直线与垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故错误；
、，平面，平面，
则平面，
平面与平面的交线与平行，故正确；
、平面，平面，
平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，又平面，
则平面平面，故正确；
、因为面，面
所以，
又，，面，面，
所以面，
所以，即三角形是直角三角形，错误．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判定，属于中档题目．
逐一进行判定即可．
【解答】
解：对于若，则或相交，故错误；
对于若，则正确；
对于若，则或相交或异面，故错误；
对于若，则或，故错误．
故答案为．
17.【答案】解：，
，
又平面，
，
而平面，
且平面平面，
，
又 ，
，
，即；
证明：
，且，，
，
四边形为梯形，
令，则，
而平面，，平面，
平面平面，
，
、、三线共点．
【解析】本题主要考查了线面平行的性质与判定，直线与平面位置关系的运用，平面几何基础知识的运用，属于中档题
根据已知比例关系得到，进而得到平面，再利用线面之间的关系得到，进而得到，最后根据相似三角形成比例得到结果；
根据已知判断出，进而得到四边形为梯形，最后利用线面之间的关系得到结论．
18.【答案】证明：因为，，所以．
因为，所以是等腰直角三角形，所以．
又由，易知，
所以，即．
因为平面平面，平面平面，，
所以平面．
因为平面，所以．
易知，与相交，且，
所以平面．
解：由知，，两两垂直，以为坐标原点，
以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系如图．
设，则，
则，，，，，，．
设平面的一个法向量为，
由得取，
则，，所以．
设平面的一个法向量为，
由得
取，则，，所以．
因为二面角的正弦值为，
所以二面角的余弦值的绝对值为，
则，
解得或．
【解析】本题主要考查的是线面垂直的判定，面面垂直的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
先判断出是等腰直角三角形，得到，然后利用，易知，所以，即再根据平面平面，得到平面，从而可得再结合，由线面垂直的判定定理即可证明．
以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用同角三角函数基本关系可得二面角的余弦的绝对值为，再进行求解即可．
19.【答案】证明：、分别为，中点，
，
三棱柱中，，
，
、、、四点共面；
，分别为，的中点，
．
平面，平面，
平面．
且，四边形是平行四边形，
．
平面，平面，
平面．
，，平面，
平面平面．

【解析】本题考查平面的基本性质，考查面面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用三角形中位线的性质，证明，从而可得，即可证明，，，四点共面；
先证平面，再证四边形是平行四边形，进而证得平面，再根据，，平面，即可证得平面平面．
20.【答案】解：
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图，平面与线段的交点为，
则有：，，，，，，
设，则向量与向量共面，
，，，
设，
又，，，，，，
由得解得
点在靠近点的三分点处
四边形的周长为．
设平面的一个法向量为，，，
则有解得令，则，
设平面的一个法向量为，，，
解得
令，则，，，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则，
综上，四边形的周长为，点在靠近点的三分点处，平面与平面的二面角的锐平面角的余弦值为．
【解析】本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
建立空间直角坐标系，利用向量即可求出平面 与线段交点，即可得出．
求出平面 与平面的法向量，即可得解．
21.【答案】证明：平面，平面，
，
四边形是菱形，，
又，，平面，
平面，
平面，平面平面；
解：连结，取的中点，连结，
平面，平面平面，平面，
，
是的中点，是的中点，
四边形是菱形，，，
又，，，平面，
平面，且，
．
由基本不等式得：．
当且仅当时取等号，即三棱锥的体积的最大值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积的最大值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
推导出，，从而平面，由此能证明平面平面连结，取的中点，连结，推导出，从而是的中点，再求出，，从而平面，且，，由此能求出三棱锥的体积的最大值．
22.【答案】解正方体共有条棱，与相交的棱有条，与平行的棱不存在．
因此余下的条棱所在直线分别与直线是异面直线，
它们是，，，，，．
因为，所以与的夹角就是与的夹角因为 ，所以 ．
连接，因为，所以四边形是平行四边形，故AC，
从而与的夹角就是与的夹角连接B.
因为，与都是正方体的面对角线，
所以，
故是正三角形．
因此，与的夹角为，即与的夹角为．

【解析】本题考查异面直线及线线垂直的判定，以及异面直线所成夹角，属于中档题．
根据异面直线的定义判定即可；
由可知与的夹角就是与的夹角再由 得出即可；
由题意得出与的夹角就是与的夹角再由是正三角形得出即可．