6.5垂直关系 北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析）

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6.5垂直关系北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑中，面，，，，则下列选项中，不正确的是( )
A. 平面平面
B. 二面角的余弦值为
C. 与平面所成角为
D. 三棱锥外接球的表面积为
将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，，那么下面说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 四面体的体积是
C. 二面角的正切值是
D. 与平面所成角的正弦值是
如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 平面 平面
C. 直线平面
D. 直线与平面所成的角为
如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
如图所示，四棱锥中，平面，且四边形为矩形，，为的中点，则与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
如图，矩形中是的中点，将沿翻折，记为在翻折过程中，点在平面的射影必在直线上记和与平面所成的角分别为，，则的最大值为设二面角的平面角为，则其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
如图所示，平面，，与全等，且二面角是直二面角，动点在线段上，则与平面所成角的正切值的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
如图，二面角的平面角的大小为，，为半平面内的两个点，为半平面内一点，且，若直线与平面所成角为，为的中点，则线段长度的最大值是．( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图是一副直角三角板．现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，如图所示．下列叙述中正确的是( )
A.
B. 平面的法向量与平面的法向量垂直
C. 异面直线与所成的角小于
D. 直线与平面所成的角为
如图所示，在四棱锥中，是边长为的正三角形，点为正方形的中心，为线段的中点，，则下列结论正确的是( )
A. 直线与是异面直线
B. 线段与的长度不相等
C. 直线平面
D. 直线与平面所成角的正弦值为
将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论中正确的是( )
A. B. ，所成角为
C. 为等边三角形 D. 与平面所成角为
如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于点，于点，则下列选项正确的是( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是 写出所有正确的序号
平面平面 直线与平面所成角是
平面平面 二面角余弦值为
如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列判断正确的是_____写出所有正确的序号
平面平面 直线与平面所成角是
平面平面 二面角余弦值为
将正方形沿对角线折成直二面角．
与平面所成角的大小为； 是等边三角形；
与所成的角为； ； 二面角为．
则上面结论正确的为 ．
将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：
； 是等边三角形；
与平面所成的角为； 与所成的角为．
其中错误的结论是____________．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．是的中点
求侧面与底面所成的二面角的大小；
求异面直线与所成角的正切值；
问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．
本小题分
如图，在多面体中，平面平面，，，，．
求证：；
若四边形为矩形，且，求直线与平面所成角的正弦值；
若四边形为正方形，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为．
证明：平面平面
求二面角的余弦值．
本小题分
如图，三棱柱中，平面，，，，，是的中点，是的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ是线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
本小题分
如图所示，在等边中，，，分别是上的点，且，是的中点，交于点以为折痕把折起，使点到达点的位置，连接．
证明：；
设点在平面内的射影为点，若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，平面底面，直线与底面所成的角为．
证明：平面平面；
求二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查球的表面积、线面垂直的判定及性质、面面垂直的判定、直线与平面所成角、二面角，属于中档题．
对于，证明平面，利用面面垂直的判定定理可得面平面；
对于，由平面得，，可得就是二面角的平面角，解三角形即可；
对于，平面易得与平面所成角为；
对于，取的中点为，则，可得外接球的半径为，即得表面积．
【解答】
解：对于，平面，平面，平面，所以，，
可得，，
则有，．
平面，平面，，
又，平面，
平面，又平面，
平面平面，故A正确；
对于，平面，平面，平面，
，，
就是二面角的平面角，
又，，，
，，
在直角三角形中，
，故B正确；
对于，平面，与平面所成角为，
在直角三角形中，，，所以，所以，
故C正确；
对于，取的中点为，则，
所以三棱锥外接球的半径为，其表面积，故D错误．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，二面角以及直线与平面所成角的求法，平面的垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力和推理论证能力，属于中档题．
逐项判断即可
【解答】
解：如图，
由题易得，，，
平面，
又平面，
所以，
易知是二面角的平面角，
故，，，．
在中，由余弦定理得，
可得，过作于，连接，因为，
所以平面，则，
由面积相等得，
可得．
对于，平面，平面，
平面平面，
易知平面与平面不垂直，错；
对于，四面体的体积
，
故B错；
对于，由前可知为二面角的平面角，
，故C错；
对于，
过作垂直的延长线于点，由前可知，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
则就是与平面所成角，
，，
，D正确．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．
利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．
【解答】
解：若，，则，
平面，在平面内，
，
又、为平面内两条相交直线，
则平面，在平面内，则，与正六边形矛盾，不正确；
假设平面平面，
过作，垂足为，平面平面，
则平面，在平面内，
则，又，、为平面内两条相交直线，
则平面，由知不符合题意，不正确；
假设直线平面，，不在平面内，
平面，显然不符合题意，不正确；
，且，可得是等腰直角三角形，
，直线与平面所成的角为，D正确，
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了点到平面的距离，直线与平面所成角，面面垂直的判定及性质等，属于中档题．
利用面面垂直的性质定理得到平面平面，过点作于，由面面垂直的性质定理可知平面，所以点到平面的距离为，根据已知条件求出的长度即可．
【解答】
解：如图，
两两垂直，，
，平面，
平面，
平面，
，
又 ，点是的中点，
，
，，平面，
平面，
平面，
平面平面，
过点作于，
平面平面，平面，
平面，
点到平面的距离为，
直线与平面所成角的正切值为，
，
，
，
，
，
又 ，
．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的线面关系以及直线与平面所成角的求法，属于中档题．
过点作于点，先证明平面，得到平面平面，再证明平面，找到与平面所成的角为，再在直角三角形中，求出的余弦值，即可得到答案．
【解答】
解：如图，过点作于点，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
在中，，为的中点，
所以且，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
因为平面平面，，平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为．
因为平面，平面，所以，
在中，．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的判定与面面垂直的判定与性质，考查线面所成的角与二面角，属于中档题．
在矩形中，容易证明，进而根据线面垂直的判定可证平面，进而可得平面平面，由此逐一判断三个命题即可得出结果．
【解答】
解：如图：
由已知可得与相似，故可得，
所以，，
又平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，
故在平面的射影必在交线上，所以正确；
设在底面射影为，点在上，故，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，正确；
二面角的平面角为，
当时，显然，
故不成立，不正确，
故选C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定与性质，同时考查二面角及线面角的求解，属于中档题．
由已知可得平面，从而得为与平面所成的角，，求出的最小值即可求解．
【解答】
解：因为平面，，平面，
所以，，
所以为二面角的平面角，
又二面角是直二面角，
所以，
所以，
又，，平面，
所以平面，
所以为与平面所成的角，
设，
因为，
所以，，
又，
所以，
又，
所以当最小时，最大，
的最小值为到的距离，
又，
所以的最大值为．
与平面所成角的正切值的最大值是．
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与平面所成的角，二面角，线面垂直的判定，线面垂直的性质和利用余弦定理解三角形，属于中档题．
利用题目条件得当，都在直线上，且直线与平面所成角为时，线段长度的最大，过作，交于，连接，利用直线与平面所成的角，再利用线面垂直的判定与性质，结合二面角的平面角得，最后利用余弦定理解三角形，计算得结论．
【解答】
解：如图：
连接，取的中点，连接．
因为，所以．
因为直线与平面所成角为，为的中点，
所以当，都在直线上，且直线与平面所成角为时，线段长度的最大．
过作，交于，连接，则是直线在内的射影，
因此是直线与平面所成角，即．
因为，，所以，
而，、平面，因此平面，而平面，所以，
因此是二面角的平面角的补角，即．
在中，由，得，．
在中，由，得．
在中，，即．
在中，．
在中，
，即．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系，线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质以及利用空间向量求线线、线面和面面的夹角解题关键是根据条件搞清四面体体中线面的位置关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线、线面的夹角，属于中档题．
【解答】
对于
故A正确；
对于如平面的法向量与平面的法向量垂直，则
故 ，与矛盾，故B不正确；
对于以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，
故C正确；
对于易得
，，故D正确；
故选：
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的基本性质及应用，线面垂直的判定，线面垂直的性质，直线与平面所成角，属于中档题．
得出，平面可分析选项，计算得出，运用假设法即可分析，选项，取的中点，连接、，得出是直线与平面所成的角，计算即可．
【解答】
解：对于选项，连接，由正方形的性质可知，为的中点，
又为线段的中点，
所以，平面，故A错误；
对于选项，因为底面是正方形，
所以．
又因为，平面，平面，，
所以平面，又平面，
所以，
因为是边长为的正三角形，底面是正方形，
所以，，
又、分别是等腰三角形的底边和腰上的中线，
所以线段与的长度不相等否则，是正三角形，故B正确；
对于选项，由选项的分析可知，，显然不在平面内，
所以直线不垂直于平面，故 C错误；
对于选项，取的中点，连接、．
因为是边长为的正三角形，
所以，且，
由选项的分析可知平面，且平面，
故平面平面，
而平面平面，平面，
因此平面，
因此是直线与平面所成的角．
在边长为的正方形中，．
在中，，
所以，故D正确；
故选BD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质、线面角与二面角的求解、利用空间向量求异面直线所成的角，属中档题．
对于，取的中点，连接，，根据题意可知，，可得面，由线面垂直性质即可判定；对于，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出与所成的角，即可判定；对于，由二面角是直二面角可得即可判定；对于，由题意可得即为与面所成的角，由此可判定．
【解答】
解：如图：
对于，取的中点，则，，
，面，面，
面，，故A正确；
对于，以为坐标原点，、、分别为，，轴建立直角坐标系，
设正方形的边长为，
则，，，，
，，
，，，，故B正确；
对于，，二面角是直二面角，，
，故有，是正三角形，故C正确；
对于，因为正方形沿对角线折成直二面角，为与面所成的角，，故D错误．
故选ABC．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了面面垂直的判定，在中，推导出，，从而平面，，再由，得平面，从而平面平面；在中，则垂直于圆所在的平面，得平面平面；在中，由，，得平面，从而平面平面；在中，利用反证法证明平面平面不成立．
【解答】
解：为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，
为圆周上不与点、重合的点，于，于，
在中，因为平面，平面，
，，，，平面，
平面，平面，，
，，，平面，
平面，
平面，平面平面，故A正确；
在中，平面，平面，
平面平面，故D正确；
在中，由选项A知平面，平面，
平面平面，故C正确；
在中，假设平面平面，
平面平面，
，平面，
平面，平面，
，
由选项A知平面，
平面，
，
，平面，
由选项A知，平面，
所以，
又，为的中点，
又，不为的中点，
与不平行，矛盾，故假设不成立，即B错误
故选ACD．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面与平面垂直的判定和性质，考查线面角、二面角的求解问题，属于中档题．
由条件可证得和，于是有平面，根据面面垂直的判定定理即可得证正确，继而可说明不正确，由平面，可得 即为直线与平面所成角，可判断正确，由题意可得或其补角即为二面角的平面角，可判断正确．
【解答】
解：在四边形中，，，，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，又平面，．
又，，平面，，平面．
又平面，平面平面正确．
平面与平面不能垂直，否则将有平面平面，而平面平面，所以不正确．
平面，即为直线与平面所成角，而，
直线与平面所成角是所以正确．
平面，平面，，又，
所以或其补角即为二面角的平面角．
平面，平面，．
设，则，，
所以所以正确．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中平面与平面垂直、线面角与二面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．
反证法，假设平面平面，容易推出垂直于平面，从而，出矛盾；
利用几何法找到其平面角为，求解即可判断；
证明平面，从而得到平面平面；
证明为二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判断．
【解答】
解：在四边形中，由已知可得，假设平面平面，
又平面平面，且平面平面，可得平面，
有，与矛盾，则假设错误，故错误；
在四边形中，由已知可得，
又平面平面，且平面平面，平面，则平面，
为直线与平面所成角是，故正确；
由判断时可知，平面，平面，则，又，，
，平面，则平面，
而平面，则平面平面，故正确；
由判断时可知，平面，则为二面角的平面角，
设，则，由，得，得，故正确．
判断正确的是．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间位置关系、空间角、数量积运算性质、法向量的应用、夹角公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
将正方形沿对角线折成直二面角，设对角线的交点为以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取．
与平面所成角为，即可判断出正误．
由，可得是等边三角形，即可判断出正误．
，，利用向量夹角公式可得，，可得与所成的角，即可判断出正误．
由已知可得：平面，根据线面垂直的性质定理，即可判断出正误．
，设平面的法向量为，可得，可得同理可得向量夹角公式可得，，即可判断出正误．
【解答】
解：将正方形沿对角线折成直二面角，设对角线的交点为．
则，，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨取则，，，，，
与平面所成角为，大小为，因此不正确．
，可得是等边三角形，正确．
，，
，，
与所成的角为，因此正确．
由已知可得：，，，平面，所以平面，又平面，，因此正确．
，设平面的法向量为，
则，则，取．
设平面的法向量为，
则，则，取．
则，，因此不正确．
综上可得：只有正确．
故答案为：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与二面角有关立体几何中线线、线面成角的求法，以及线面垂直的判定定理与性质，属于中档题．
作出此直二面角的图象，由图形中所给的线面位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论．
【解答】
解：作出如图的图象，设正方形的边长为，
其中二面角，是的中点，连接，，
，，
为此二面角的平面角，即，
对于命题，，，，，平面，
平面，又平面，
故AC，故正确；
对于命题，在等腰直角三角形中，，，
故AC，是等边三角形，故正确；
对于命题，与平面所成角的平面角是，故不正确；
对于命题，可取中点，的中点，连接，，，
是的中位线，，
是的中位线，，
而是的中线，，
故是等边三角形，，
而，，
即为与所成的角，为，故正确，
综上知是正确的，
故答案为．
17.【答案】解：如图所示：
取的中点，连接，，
依条件可知，
则为所求的平面角．
，
为侧棱与底面所成的角，
，
设，，
，
．
由图知，侧面与底面所成的二面角为锐角，故为
连接，，
，
为异面直线与所成的角，
，
，
又，
，
，
延长交于，取中点，连接，，．
，
，
又，，
为正三角形，
，
又，
，
是的等分点，靠近点的位置．
【解析】本题考查线面垂直的判定，二面角，异面直线所成角，属于中档题．
取的中点，连接，，依条件可知，则为所求的平面角．
，为侧棱与底面所成的角，即可求解
连接，，，为异面直线与所成的角，即可求解
延长交于，取中点，连接，，．，，
又，，为正三角形，，，即可求解．
18.【答案】证明：在直角梯形中，，，
所以，，
由勾股定理知，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，因为平面，
所以．
因为四边形是矩形，所以，
由知，，
又因为，，平面，
所以平面，
所以是与平面所成的角，
因为，，
所以，，
于是在中，，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
因为四边形是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，
故以为坐标原点，以、、所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，
假设符合题意的点存在，设，，
所以，，
设平面的法向量，
由，即得
令，所以，
易知，平面一个法向量为，
所以，，即得，
解得或舍去，
故满足题意的点存在，且线段长为．
【解析】本题主要考查直线与平面所成角以及二面角，涉及线面、面面垂直的判定与性质以及利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于中档题．
根据题意，可先证平面，进而证得；
由题设条件可分析得到是与平面所成的角，进一步可在中，求出的余弦值；
根据题意，可先假设满足题意的点存在，于是以为坐标原点，以、、所在直线为，，轴，利用利用空间向量求二面角的余弦值，再结合题设条件求出长，可证结论．
19.【答案】证明：，，，
，，
平面底面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
直线与底面所成的角为，
，，，
底面为平行四边形，，，
，
即，解得，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
设平面的法向量，
则，
取，得，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则．
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
推导出，，，从而，进而平面，由此能证明平面平面．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
20.【答案】解：Ⅰ连结交于，连结，
，
又，，
，
因此，四边形为平行四边形，即，
平面；
Ⅱ以为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，如图
过作，连结，
，
平面，
；
，
即为直线与平面所成角，记为，
则
在中，，
即
设平面的法向量，
取，
平面的法向量，
，
结合图形可知，二面角的平面角为钝角，
因此，二面角的余弦值．

【解析】本题考查了线面平行的判定，直线与平面所成角，二面角，考查了空间想象能力，属于中档题．
Ⅰ连结交于，连结，根据几何关系在，证明四边形为平行四边形，进而得到，然后运用线面平行的判定即可得证；
Ⅱ建立空间直角坐标系，根据几何关系找到直线与平面所成角，进而求出，然后用空间向量法求二面角的余弦值即可．
21.【答案】证明：因为是等边三角形，是的中点，所以，
因为，所以，所以，
可得，
又，、平面，
所以平面，
又平，
所以；
因为，
所以二面角的平面角为，
所以，可得，
由第问知，平面，平面，所以平面平面，
又因为平面平面，
所以点在平面内的射影在上，
因为，所以，
又，，，
，到平面的距离即为到距离，
即为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角与异面直线所成角，考查空间思维能力与计算能力，属于中档题．
利用线面垂直的判定定理证得平面，即可证得；
由题得二面角的平面角为，可得，由面面垂直的判定及性质得点在平面内的射影在上，即可求解．
22.【答案】证明：，，，
，，
平面底面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
直线与底面所成的角为，
，，，
底面为平行四边形，，，
，
即，解得，
，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面．
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图，
，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设平面的一个法向量为，
则，
取，得，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角，
则，
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．
推导出，，，从而，进而平面，由此能证明平面平面．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．