2.2从位移的合成到向量的加减法 北师大版（2019）高中数学必修第二册 （含答案解析）

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2.2从位移的合成到向量的加减法北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知点，是圆上两点，，的平分线交圆于点，则( )
A. B.
C. D.
正六边形中，( )
A. B. C. D.
在中，已知是边上一点，且，则( )
A. B. C. D.
如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点异于点满足其中，且、，则满足以上条件的点的个数为( )
A. B. C. D.
对于任意向量，，下列命题中正确的是( )
A. 如果，满足，且与方向相同，则
B.
C.
D.
设向量满足，，则以为边长的三角形面积最大值为( )
A. B. C. D.
将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，若点坐标为，则( )
A. B. C. D.
如图所示，点、分别是的边、上的点，且，，则向量( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
在中，下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则为锐角三角形
在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若，则是在的投影向量
D. 若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
如图，平行四边形的对角线，交于点，且，点是上靠近点的四等分点，则( )
A. B.
C. D.
八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知在平面直角坐标系中，点点其中为常数，且，点为坐标原点如图，设点是线段的等分点，则当时， 用含的式子表示
已知，，若对任意的实数，均有成立，则的最小值为 ．
已知向量满足，，，则的最大值为
已知向量，满足，则的取值范围是
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知为四边形所在平面内一点，且向量，，，满足等式试根据题意作图，观察四边形的形状，你发现四边形有什么特殊的性质并说明你的依据．
本小题分
在中，，，则下列哪几个等式是成立的
．
本小题分
轮船从港沿北偏东方向行驶了到达处，再由处沿正北方向行驶到达处求此时轮船与港的相对位置精确到
本小题分
当两个向量不共线时，求证：
；
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的加减法运算，属于基础题．
因为、是圆上的两点，则，以为邻边所做平行四边形为菱形，利用向量的加法法则，从而可得解．
【解答】
解：设圆的半径为，因为、是圆上的两点，则，
以为邻边所做平行四边形为菱形，
又，
所以的平分线即为菱形的一条对角线且长度为，
根据向量加法的平行四边形法则，
则，
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的线性运算，为基础题，
【解答】
解：
正六边形中设中心为，平行四边形法则有，，
．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的减法运算，为基础题．
【解答】
解：，
则有，
可得．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题．
分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点的个数．
【解答】
解：分以下两种情况讨论：
若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个；
若点在轴上，则、关于轴对称，
由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
此时，符合条件的点有个
综上所述，满足题中条件的点的个数为．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的定义和向量的模，向量的数量积，属于基础题．
直接利用平面向量的定义和向量的模，向量的数量积的应用判断、、、的结论．
【解答】
解：选项，向量不能比较大小，所以A错误
选项，显然正确，所以B正确
选项，当与同向时，，所以C错误
选项，，所以D错误．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量线性运算及利用基本不等式求最值问题，
依题意，知以为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为，两直角边长设为，，则，
三角形面积，即可求得结果．
【解答】
解：由，知以为边长的三角形为直角三角形，
且斜边长为，两直角边长设为，，
则，三角形面积，
当时取等号，
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了数形结合，余弦函数的对称性，向量加法法则等，属于中档题．
首先根据题意作出图象，再结合余弦函数的中心对称性化简各个向量的和，即可得解．
【解答】
解：
由题意作出图象如图，共得个交点，
根据余弦函数的中心对称性可知，
和，和关于点中心对称，所以
，
．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的减法运算和共线向量，属于中档题．
由题意结合共线向量和向量的减法运算，即可用向量、表示出向量．
【解答】
解：因为，，
所以．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的加减计算，平面向量的数量积的性质．
利用平面向量的加减计算，平面向量的数量积的性质对每个选项，分别进行判断，即可得．
【解答】
解：对于，，故A中结论错误；
对于，设为向量与的夹角，
因为，而，故，
故B中结论正确；
对于，，故，
所以为等腰三角形，故C中结论正确；
对于，取，，满足，但为钝角三角形，故D中结论错误．
故选BC．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的运算、投影向量、平面向量的基本定理及其应用和基本不等式，属于中档题．
由向量的运算可判定；由，可得为等腰三角形且，，可判定；由平面向量的基本定理得，由基本不等式可判定．
【解答】
解：对于，，故A错误；
对于，，故B正确；
对于，由，可得为等腰三角形且，，所以是在的投影向量，故C正确；
对于，满足，由点是线段上的动点，则，所以，可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故D正确，
故选BCD．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的运算法则，属于中档题．
，点是上靠近的四等分点，可得，
，又代入化简即可得出．
【解答】
解：，点是上靠近的四等分点，
，
，
，
，
对照各个选项可知AC正确，
故选AC．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数学文化和向量的应用，考查了向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，直接利用向量的数量积的应用，向量的模和向量的夹角的应用求出结果．
【解答】
解：因八卦图为正八边形，故中心角为，，
，项正确；
与的夹角为，又因为，
所以，项错误；
，，
中，由余弦定理可得
，
则，故C项正确、项错误．
故A、项正确．
故选AC．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的加法运算，属于中档题．
根据对称性以及向量加法的平行四边形法则，将式子化简，再求模长即可．
【解答】
解：设的中点为，则当时，由对称性可知：，，．
其中
．
．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
先由题设条件得到，再由数量积的性质，得到一个关于，的不等式，利用不等式恒成立可以求解得到答案．
【解答】
因为且成立
所以，而，所以
则
即，即
即对任意的恒成立，
依题意得
从而得到，即

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的三角不等式，属于中档题；
利用向量的三角不等式，结合题意即可求出的最大值．
【解答】
解：因为向量满足，，，
所以，
所以，
所以，
所以的最大值为；
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值三角不等式即可求出．
本题考查了向量的模的计算以及绝对值三角不等式，属于基础题．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
的取值范围是，
故答案为：．

17.【答案】解：作出满足条件的四边形如下图：
猜想：四边形为平行四边形．
证明如下：
．
，
即，
故四边形为平行四边形．
综上所述：命题得证．
【解析】本题考查向量的运算法则及向量的几何运用，属于基础题．
直接作图即可得结论：四边形为平行四边形将表达式变形，利用向量减法运算法则即得结果．
18.【答案】解：构造正方形．
成立，因为，，
所以，．
根据正方形的性质，得，
所以
成立，因为，，
所以，，
根据题意，得，
所以．
成立，因为，，
所以，，
又因为，
所以．
成立，．

【解析】本题考查向量的加减运算以及向量的模，属于中档题．
通过构造正方形，利用向量的运算法则和向量的模的计算逐一对选项分析即可．
19.【答案】解 如图， ，分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，．
设正东方向所在直线为，过点作的垂线，垂足为点在中，，，所以 ， ．
在中，，，
由勾股定理得．
由，得．
因此，此时轮船位于港北偏东，且距港约的处．

【解析】本题考查平面向量的物理应用，向量的加法运算，属于中档题．
设，分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，根据题设条件求出和，进而可确定结论．
20.【答案】证明：因为两个向量不共线，
所以在平行四边形中，令，
则，，
在三角形中，，，，
由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得，
，
即，
在三角形中，，，，
由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得，
，
即．

【解析】本题考查向量的加减运算以及向量的三角不等式的证明，属于基础题．
构建平行四边形，根据向量的加法以及三角形的三边关系即可解答．