8.3正态分布 苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册（含答案解析）
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| 名称 | 8.3正态分布 苏教版（2019）高中数学选择性必修第二册（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 275.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-13 14:21:00 | ||
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文档简介
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8.3正态分布苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
有条同样的生产线，生产的零件尺寸单位：都服从正态分布，且在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为．( )
A. B. C. D.
已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
附：若随机变量，则，
A. B. C. D.
年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数单位：辆均服从正态分布若，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过辆的概率为( )
A. B. C. D.
某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是 ( )
A. 越小，该物理量在一次测量结果落在的概率越大
B. 该物理量一次测量结果大于的概率为
C. 该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等
D. 该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率相等
我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同．棣莫弗在年证明了的特殊情形，年，拉普拉斯对一般的进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过次的概率为( )
附：若，则，，
A. B. C. D.
对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩，乙学校成绩，丙学校成绩，丁学校成绩分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是附：，，( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元则每张芯片获得奖励的数学期望为元( )
附：随机变量服从正态分布，则，，．
A. B. C. D.
“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为
B. 该地水稻株高的方差为
C. 随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量服从正态分布，则．
A. 若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为
B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D. 白玫瑰日销售量范围在的概率约为
世纪年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，可视为服从正态分布，其密度函数，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布且当时，对任意实数，记，则( )
A.
B. 当时，
C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D. 随机变量，当都增大时，概率单调增大
下列说法正确的是( )
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量~，，则
C. 若随机变量~，则
D. 在含有4件次品的10件产品中，任取件，表示取到的次品数，则．
下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布且，则
B. 设离散型随机变量服从两点分布，若，则
C. 若个相同的小球放入编号为，，，的盒子，则恰有两个空盒的放法共有种
D. 已知，若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．在某次大型联考中，所有学生的数学成绩若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为 ．
对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量 次参考数据：若∽，则．
一次考试后某班数学成绩，若，且该班学生数学成绩在分以上的有人，则估计该班总人数为 ．
为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩近似服从正态分布，已知成绩在分以上的学生有人，如果成绩大于分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
参考数据：，
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
某次考试中，英语成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：
如果成绩大于分的为特别优秀，则随机抽取的名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布
如果英语和数学两科都特别优秀的共有人，从中英语特别优秀的人中随机抽取人，设人中两科同时特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．
附公式：若，则，．
(本小题12.0分)
若X∽N(,),从X的取值中随机抽取k(k,k2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y∽N(),以下问题的求解中可以利用这一结论.
根据以往的考试数据,某学校高三年级数学模考成绩X~N(100,),设从X的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y.现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为,,,,,+++=901.5,+++=1048,其余5个数分别为97,97,98,98,98.
(1)求,,,,的中位数及平均值;
(2)求P(98Y103).
附:随机变量服从正态分布N(,),则P(-+)=0.6827,P(-2+2)=0.9545,P(-3+3)=0.9973.
本小题分
某制造企业向高校打印实验团队租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取个零件，测量其内径的数据如下单位：．
计算平均值与标准差．
假设这台打印设备打印出的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了个零件，度量其内径分别为单位：，，，，，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么
参考数据：，，．，．，．．
本小题分
近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于年月日正式开通北斗三号全球卫星导航系统由颗中圆地球轨道卫星、颗地球静止轨道卫星和颗倾斜地球同步轨道卫星，共颗卫星组成北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于米，实测的导航定位精度都是米米，全球服务可用性，亚太地区性能更优．
南美地区某城通过对辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率
某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约个基地同时独立随机选取颗卫星进行信号分析，选取的颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望
某地基站工作人员从颗卫星中随机选取颗卫星进行信号分析，记为选取的颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
本小题分
某市举办数学知识竞赛活动，共名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共道题，其中道单选题，道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对道单选题得分，答错得分，答对多选题得分，答错得分，答完道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
通过分析可以认为学生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于分的人数
已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正确率为，多选题的正确率为，且每道题回答正确与否互不影响记小强复试成绩为，求的分布列及数学期望．
附：，，．
本小题分
某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学局接球训练成绩，每局训练时教练连续发个球，该同学每接球成功得分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
同一组数据用该区间的中点值作代表，
求该同学局接球训练成绩的样本平均数．
若该同学的接球训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；
为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发个球，该同学得分达到分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达局，则比赛结束，记比赛的局数为以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求．
参考数据：若随机变量，则，
，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题．
本题解题的关键在于根据正态分布的对称性，得，进而根据独立重复试验的概率求解即可．
【解答】
解：由题知正态分布的对称轴为，
又因为，故．
故在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为：．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态密度函数，正态分布的概率、均值、方差，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，随机变量满足正态分布，得，，则正态曲线的对称轴为，且，根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的对称性，次独立重复试验的概率计算，属于中档题．
由已知求出，再由对立事件的概率公式求解．
【解答】
解：
．
这个收费口每天至少有一个超过辆的概率为．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线的性质应用，属于中档题．
根据正态曲线的特征以及对称性依次判断各个选项的正误即可．
【解答】
解：．越小，则数据越集中，即该物理量在一次测量中在的概率越大，故A正确；
B.由正态曲线的对称性可知，，即该物理量一次测量结果大于的概率为，故B正确；
C.由正态曲线的对称性可知，，即该物理量一次测量结果小于与大于的概率相等，故C正确；
D.由正态曲线的对称性可知，，即该物理量一次测量结果落在与落在的概率不相等，故D错误．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，以及正态分布的对称性，属于基础题．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，，再结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，
设硬币正面向上次数为，
则，
故E，，
由题意可得，，且，，
，
用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过次的概率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的实际应用，属于中档题．
根据正态分布的概率计算分别求出每个学校在分以上的概率，即可判断．
【解答】
解：甲学校成绩，
则
；
乙学校成绩，
则
；
丙学校成绩，
则
；
丁学校成绩，
则
；
综上可得，优秀率最高的学校为乙学校．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．
根据得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望．
【解答】
解：因为，所以，，
所以，
；
；
所以每张芯片获得奖励的数学期望为
元．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
由已知可得，由此判断A正确，B错误然后再由、、原则求解概率判断与．
【解答】
解：由已知 ，故，，
故该地水稻的平均株高为
该地水稻株高的方差为；故A正确；B错误；
，所以随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：，故随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率不一样大；故D错误．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的实际应用，正态分布的概率、均值、方差，属于基础题．
由题意结合求得，即可判断项的正误；比较方差的大小，即可判断，项的正误；根据求得白玫瑰日销售量范围在的概率，即可判断项的正误．
【解答】
解：若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则，即所以红玫瑰日销售量的平均数约为，故A项正确；
因为红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B项正确，项错误；
白玫瑰日销售量范围在的概率，故D项正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质和正态分布的应用，属于基础题．
根据结合正态曲线的对称性，可判断由可推得其结果为，判断根据正态分布的准则可判断，．
【解答】
解：对于，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于，当时，
，故B错误；
对于，，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为，是常数，
故由可知，故C正确，D错误．
故本题选AC．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点分布、正态分布、超几何分布概率的计算以及二项分布的方差，属于中档题 .
根据相关知识点逐项计算比对，即可得出正确结论.
【解答】
解：对于A，∵随机变量的概率分布为P(=k)=ak(k=1,2,3,4,5),
P(=1)+P(=2)+P(=3)+P(=4)+P(=5)=1,
a+2a+3a+4a+5a=15a=1,
a=,故A不正确;
对于B，P(X>5)=1-P(X5)=0.3，P(X≤1)=P(X>5)=0.3，故B正确；
对于C，由X~B(8,)，得，故C错误；
对于D，由题意，得，故D正确.
故本题选BD.
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布、两点分布、条件概率的计算等，属于中档题．
根据正态分布的概率计算判断根据两点分布的特征判断结合组合数的思想判断由条件概率公式计算判断．
【解答】
解：对于，随机变量服从正态分布且，
则，
则，故A正确；
对于，随机变量服从两点分布，若，
则，
解得，故B正确；
对于，从编号为，，，的盒子中选出个盒子来放球有种方法，
将个相同的小球放入选出的个盒子中，则一个盒子装个球，另一个盒子装个球，共有种方法，所以恰有两个空盒的放法共有种放法，故C正确；
对于，已知，若，则，无法求出，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性．
由题意可得正态分布曲线的对称轴，结合成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，可得，由此列式求得值．
【解答】
解：由，可知正态分布曲线的对称轴为，
若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，
则，
，解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的理解和应用，解题的关键是掌握正态曲线的对称性，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题．
【解答】
解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于，
则且，则，所以，
又，所以，即，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的应用，属于中档题．
计算出的值，再结合已知条件可求得该班的总人数．
【解答】
解：因为∽，则，
所以该班学生数学成绩在分以上的概率为．
因为该班学生数学成绩在分以上的有人，所以估计该班学生人数为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于中档题．
根据已知 ，结合已知数据，可求出学生成绩在分以上的概率，进而求出学生总人数，再由 ，即可求解．
【解答】
解：成绩服从正态分布
，
则有： ，
而成绩在分以上的学生有人，
所以高二学生的总人数约为人，
，
故成绩在分以上的学生约有人
故答案为．
17.【答案】解：，
，
，
故英语成绩特别优秀的有人，
由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为，
故数学成绩特别优秀的有人；
依题意：，
，，
，
其分布列为：
．
【解析】本题考查了频率分布直方图，正态分布的概率计算，离散型随机变量及其分布列和期望的求法，属于中档题．
根据正态曲线及其性质求出英语成绩特别优秀的概率，再利用频率分布直方图求出数学成绩特别优秀的概率，进而得解；
由题意的所有可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
18.【答案】解:(1)由已知得,有10个数不超过97,有10个数不低于98,中间的5个数为97,97,98,98,98,
所以,,,,的中位数为98,进一步由已知得,,,,的平均值为
=97.5.
(2)由题意知Y~N(100,),即Y~N(100,1),
因为P(98Y102)=0.9545,
P(97Y103)=0.9973,
所以P(98Y103)=[P(98Y102)+P(97Y103)]=(0.9545+0.9973)=0.9759.
【解析】本题考查了正态分布的概率、平均数、中位数等知识，属中档题.
19.【答案】利用测量数据，即可计算平均值与标准差 ，．
需要进一步调试．服从正态分布，， 内径在之外的概率为，而，根据原则，需要进一步调试．
【解析】本题考查正态分布的概率、均值与方差，属于基础题．
20.【答案】(1)由XN(,),易知=,=,所以P(1X3)=P(-3X+)0.6827+=0.6827+0.1573=0.84,则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率为0.84.
(2)5个基地相互独立,每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为=,所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目~B(5,),
所以E= 5=4.
由题意可得Y可能的取值为0,1,2,3,则P(Y=0)==,P(Y=1)==, P(Y=2)==, P(Y=3)==,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以数学期望EY=0+1+2+3==.
【解析】本题考查二项分布的均值求法，考查超几何分布的概率与均值计算以及正太分布的概率计算，属于中等题.
21.【答案】，．
又，，
，
估计不低于分的有人．
的所有可能取值为，，，，，．
，
的分布列为
．
【解析】本题考查正态分布的实际应用，离散型随机变量的分布列，均值，属于中档题．
22.【答案】解：(1)①＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.045×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝74．
②由①得μ＝＝74，所以X~N(74，100)，
所以P(64＜X＜84)≈0.6827，P(54＜X＜94)≈0.9545，
所以P(54＜X＜64)＝＝0.1359;
(2)设“该同学一局比赛获胜”为事件A，则P(A)＝(0.02＋0.005)×10＝．
Y的可能取值为3，4，5,
P(Y＝3)＝()3＋()3＝，P(Y＝4)＝×()2××＋×()2××＝，
P(Y＝5)＝×()2×()2×＋×()2×()2×＝．
Y 3 4 5
P
因此 E(Y)＝3×＋4×＋5×＝．
【解析】本题考查知识点为频率分布直方图，平均数，正态分布，离散型随机变量及其分布列及期望，属于中档题.
（1）①根据频率分布直方图及平均数求法得到答案；
②利用正态曲线的对称性质，求得P(54＜X＜64)的值；
（2）设“该同学一局比赛获胜”为事件A，得到P(A)＝，先求得比赛的局数Y的分布列，继而得到E(Y)
8.3正态分布苏教版（ 2019）高中数学选择性必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
有条同样的生产线，生产的零件尺寸单位：都服从正态分布，且在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为．( )
A. B. C. D.
已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为( )
附：若随机变量，则，
A. B. C. D.
年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数单位：辆均服从正态分布若，假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过辆的概率为( )
A. B. C. D.
某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是 ( )
A. 越小，该物理量在一次测量结果落在的概率越大
B. 该物理量一次测量结果大于的概率为
C. 该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等
D. 该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率相等
我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同．棣莫弗在年证明了的特殊情形，年，拉普拉斯对一般的进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过次的概率为( )
附：若，则，，
A. B. C. D.
对某地区某次数学考试成绩的数据进行分析，甲学校成绩，乙学校成绩，丙学校成绩，丁学校成绩分以上为优秀分，则优秀率最高的学校是附：，，( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元则每张芯片获得奖励的数学期望为元( )
附：随机变量服从正态分布，则，，．
A. B. C. D.
“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高单位：服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是( )
A. 该地水稻的平均株高为
B. 该地水稻株高的方差为
C. 随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率小
D. 随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率一样大
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项正确的是( )
附：若随机变量服从正态分布，则．
A. 若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则红玫瑰日销售量的平均数约为
B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中
C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中
D. 白玫瑰日销售量范围在的概率约为
世纪年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，可视为服从正态分布，其密度函数，任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布且当时，对任意实数，记，则( )
A.
B. 当时，
C. 随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D. 随机变量，当都增大时，概率单调增大
下列说法正确的是( )
A. 若随机变量的概率分布列为，则
B. 若随机变量~，，则
C. 若随机变量~，则
D. 在含有4件次品的10件产品中，任取件，表示取到的次品数，则．
下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布且，则
B. 设离散型随机变量服从两点分布，若，则
C. 若个相同的小球放入编号为，，，的盒子，则恰有两个空盒的放法共有种
D. 已知，若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布．在某次大型联考中，所有学生的数学成绩若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，则整数的值为 ．
对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果，已知测量结果服从正态分布，为使测量结果在的概率不小于，则至少测量 次参考数据：若∽，则．
一次考试后某班数学成绩，若，且该班学生数学成绩在分以上的有人，则估计该班总人数为 ．
为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩近似服从正态分布，已知成绩在分以上的学生有人，如果成绩大于分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
参考数据：，
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
某次考试中，英语成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：
如果成绩大于分的为特别优秀，则随机抽取的名学生中本次考试英语、数学特别优秀的大约各多少人？假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布
如果英语和数学两科都特别优秀的共有人，从中英语特别优秀的人中随机抽取人，设人中两科同时特别优秀的有人，求的分布列和数学期望．
附公式：若，则，．
(本小题12.0分)
若X∽N(,),从X的取值中随机抽取k(k,k2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y∽N(),以下问题的求解中可以利用这一结论.
根据以往的考试数据,某学校高三年级数学模考成绩X~N(100,),设从X的取值中随机抽取25个数据的平均值为随机变量Y.现在从X的取值中随机抽取25个数据从小到大排列为,,,,,+++=901.5,+++=1048,其余5个数分别为97,97,98,98,98.
(1)求,,,,的中位数及平均值;
(2)求P(98Y103).
附:随机变量服从正态分布N(,),则P(-+)=0.6827,P(-2+2)=0.9545,P(-3+3)=0.9973.
本小题分
某制造企业向高校打印实验团队租用一台打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取个零件，测量其内径的数据如下单位：．
计算平均值与标准差．
假设这台打印设备打印出的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了个零件，度量其内径分别为单位：，，，，，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么
参考数据：，，．，．，．．
本小题分
近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于年月日正式开通北斗三号全球卫星导航系统由颗中圆地球轨道卫星、颗地球静止轨道卫星和颗倾斜地球同步轨道卫星，共颗卫星组成北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于米，实测的导航定位精度都是米米，全球服务可用性，亚太地区性能更优．
南美地区某城通过对辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率
某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约个基地同时独立随机选取颗卫星进行信号分析，选取的颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望
某地基站工作人员从颗卫星中随机选取颗卫星进行信号分析，记为选取的颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
本小题分
某市举办数学知识竞赛活动，共名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共道题，其中道单选题，道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对道单选题得分，答错得分，答对多选题得分，答错得分，答完道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
通过分析可以认为学生初试成绩服从正态分布，其中，，试估计初试成绩不低于分的人数
已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正确率为，多选题的正确率为，且每道题回答正确与否互不影响记小强复试成绩为，求的分布列及数学期望．
附：，，．
本小题分
某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学局接球训练成绩，每局训练时教练连续发个球，该同学每接球成功得分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．
同一组数据用该区间的中点值作代表，
求该同学局接球训练成绩的样本平均数．
若该同学的接球训练成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求的值；
为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发个球，该同学得分达到分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达局，则比赛结束，记比赛的局数为以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求．
参考数据：若随机变量，则，
，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的对称性的应用，独立重复试验的概率，考查运算求解能力，是中档题．
本题解题的关键在于根据正态分布的对称性，得，进而根据独立重复试验的概率求解即可．
【解答】
解：由题知正态分布的对称轴为，
又因为，故．
故在每条生产线上各取一个零件，恰好有个尺寸在区间的概率为：．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态密度函数，正态分布的概率、均值、方差，属于中档题．
【解答】
解：根据题意，随机变量满足正态分布，得，，则正态曲线的对称轴为，且，根据正态分布密度曲线的性质，可得阴影部分的面积．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的对称性，次独立重复试验的概率计算，属于中档题．
由已知求出，再由对立事件的概率公式求解．
【解答】
解：
．
这个收费口每天至少有一个超过辆的概率为．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线的性质应用，属于中档题．
根据正态曲线的特征以及对称性依次判断各个选项的正误即可．
【解答】
解：．越小，则数据越集中，即该物理量在一次测量中在的概率越大，故A正确；
B.由正态曲线的对称性可知，，即该物理量一次测量结果大于的概率为，故B正确；
C.由正态曲线的对称性可知，，即该物理量一次测量结果小于与大于的概率相等，故C正确；
D.由正态曲线的对称性可知，，即该物理量一次测量结果落在与落在的概率不相等，故D错误．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，以及正态分布的对称性，属于基础题．
根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，，再结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，
设硬币正面向上次数为，
则，
故E，，
由题意可得，，且，，
，
用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过次的概率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的实际应用，属于中档题．
根据正态分布的概率计算分别求出每个学校在分以上的概率，即可判断．
【解答】
解：甲学校成绩，
则
；
乙学校成绩，
则
；
丙学校成绩，
则
；
丁学校成绩，
则
；
综上可得，优秀率最高的学校为乙学校．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．
根据得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望．
【解答】
解：因为，所以，，
所以，
；
；
所以每张芯片获得奖励的数学期望为
元．
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布密度曲线函数，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
由已知可得，由此判断A正确，B错误然后再由、、原则求解概率判断与．
【解答】
解：由已知 ，故，，
故该地水稻的平均株高为
该地水稻株高的方差为；故A正确；B错误；
，所以随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大；故 C错误；
根据正态分布的对称性知：，故随机测量一株水稻，其株高在和在单位：的概率不一样大；故D错误．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布的实际应用，正态分布的概率、均值、方差，属于基础题．
由题意结合求得，即可判断项的正误；比较方差的大小，即可判断，项的正误；根据求得白玫瑰日销售量范围在的概率，即可判断项的正误．
【解答】
解：若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则，即所以红玫瑰日销售量的平均数约为，故A项正确；
因为红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B项正确，项错误；
白玫瑰日销售量范围在的概率，故D项正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质和正态分布的应用，属于基础题．
根据结合正态曲线的对称性，可判断由可推得其结果为，判断根据正态分布的准则可判断，．
【解答】
解：对于，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于，当时，
，故B错误；
对于，，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值，即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为，是常数，
故由可知，故C正确，D错误．
故本题选AC．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点分布、正态分布、超几何分布概率的计算以及二项分布的方差，属于中档题 .
根据相关知识点逐项计算比对，即可得出正确结论.
【解答】
解：对于A，∵随机变量的概率分布为P(=k)=ak(k=1,2,3,4,5),
P(=1)+P(=2)+P(=3)+P(=4)+P(=5)=1,
a+2a+3a+4a+5a=15a=1,
a=,故A不正确;
对于B，P(X>5)=1-P(X5)=0.3，P(X≤1)=P(X>5)=0.3，故B正确；
对于C，由X~B(8,)，得，故C错误；
对于D，由题意，得，故D正确.
故本题选BD.
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布、两点分布、条件概率的计算等，属于中档题．
根据正态分布的概率计算判断根据两点分布的特征判断结合组合数的思想判断由条件概率公式计算判断．
【解答】
解：对于，随机变量服从正态分布且，
则，
则，故A正确；
对于，随机变量服从两点分布，若，
则，
解得，故B正确；
对于，从编号为，，，的盒子中选出个盒子来放球有种方法，
将个相同的小球放入选出的个盒子中，则一个盒子装个球，另一个盒子装个球，共有种方法，所以恰有两个空盒的放法共有种放法，故C正确；
对于，已知，若，则，无法求出，故D错误．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性．
由题意可得正态分布曲线的对称轴，结合成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，可得，由此列式求得值．
【解答】
解：由，可知正态分布曲线的对称轴为，
若成绩低于的同学人数和高于的同学人数相同，
则，
，解得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的理解和应用，解题的关键是掌握正态曲线的对称性，考查了逻辑推理与运算能力，属于中档题．
【解答】
解：根据正态曲线的对称性知：要使误差在的概率不小于，
则且，则，所以，
又，所以，即，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态分布的应用，属于中档题．
计算出的值，再结合已知条件可求得该班的总人数．
【解答】
解：因为∽，则，
所以该班学生数学成绩在分以上的概率为．
因为该班学生数学成绩在分以上的有人，所以估计该班学生人数为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正态曲线及其性质及正态分布的概率计算，属于中档题．
根据已知 ，结合已知数据，可求出学生成绩在分以上的概率，进而求出学生总人数，再由 ，即可求解．
【解答】
解：成绩服从正态分布
，
则有： ，
而成绩在分以上的学生有人，
所以高二学生的总人数约为人，
，
故成绩在分以上的学生约有人
故答案为．
17.【答案】解：，
，
，
故英语成绩特别优秀的有人，
由频率分布直方图知，数学成绩特别优秀的频率为，
故数学成绩特别优秀的有人；
依题意：，
，，
，
其分布列为：
．
【解析】本题考查了频率分布直方图，正态分布的概率计算，离散型随机变量及其分布列和期望的求法，属于中档题．
根据正态曲线及其性质求出英语成绩特别优秀的概率，再利用频率分布直方图求出数学成绩特别优秀的概率，进而得解；
由题意的所有可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
18.【答案】解:(1)由已知得,有10个数不超过97,有10个数不低于98,中间的5个数为97,97,98,98,98,
所以,,,,的中位数为98,进一步由已知得,,,,的平均值为
=97.5.
(2)由题意知Y~N(100,),即Y~N(100,1),
因为P(98Y102)=0.9545,
P(97Y103)=0.9973,
所以P(98Y103)=[P(98Y102)+P(97Y103)]=(0.9545+0.9973)=0.9759.
【解析】本题考查了正态分布的概率、平均数、中位数等知识，属中档题.
19.【答案】利用测量数据，即可计算平均值与标准差 ，．
需要进一步调试．服从正态分布，， 内径在之外的概率为，而，根据原则，需要进一步调试．
【解析】本题考查正态分布的概率、均值与方差，属于基础题．
20.【答案】(1)由XN(,),易知=,=,所以P(1X3)=P(-3X+)0.6827+=0.6827+0.1573=0.84,则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在[1,3]的概率为0.84.
(2)5个基地相互独立,每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为=,所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目~B(5,),
所以E= 5=4.
由题意可得Y可能的取值为0,1,2,3,则P(Y=0)==,P(Y=1)==, P(Y=2)==, P(Y=3)==,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
所以数学期望EY=0+1+2+3==.
【解析】本题考查二项分布的均值求法，考查超几何分布的概率与均值计算以及正太分布的概率计算，属于中等题.
21.【答案】，．
又，，
，
估计不低于分的有人．
的所有可能取值为，，，，，．
，
的分布列为
．
【解析】本题考查正态分布的实际应用，离散型随机变量的分布列，均值，属于中档题．
22.【答案】解：(1)①＝55×0.01×10＋65×0.02×10＋75×0.045×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝74．
②由①得μ＝＝74，所以X~N(74，100)，
所以P(64＜X＜84)≈0.6827，P(54＜X＜94)≈0.9545，
所以P(54＜X＜64)＝＝0.1359;
(2)设“该同学一局比赛获胜”为事件A，则P(A)＝(0.02＋0.005)×10＝．
Y的可能取值为3，4，5,
P(Y＝3)＝()3＋()3＝，P(Y＝4)＝×()2××＋×()2××＝，
P(Y＝5)＝×()2×()2×＋×()2×()2×＝．
Y 3 4 5
P
因此 E(Y)＝3×＋4×＋5×＝．
【解析】本题考查知识点为频率分布直方图，平均数，正态分布，离散型随机变量及其分布列及期望，属于中档题.
（1）①根据频率分布直方图及平均数求法得到答案；
②利用正态曲线的对称性质，求得P(54＜X＜64)的值；
（2）设“该同学一局比赛获胜”为事件A，得到P(A)＝，先求得比赛的局数Y的分布列，继而得到E(Y)