5.2平行线的判定对应练习及详解
文档属性
| 名称 | 5.2平行线的判定对应练习及详解 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 283.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-10-13 20:58:25 | ||
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文档简介
5.2平行线的判定
一．选择题（共8小题）
1．下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③互余的两个角一定都是锐角；④互补的两个角一定有一个为钝角，另一个角为锐角．其中正确的有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．根据图，下列推理判断错误的是（ ） A．因为∠1=∠2，所以c∥d B． 因为∠3=∠4，所以c∥d C．因为∠1=∠3，所以c∥d D． 因为∠2=∠3，所以a∥b
3题图 4题图
4．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2=∠6；④∠4+∠7=180°，其中能说明a∥b的条件有（ ）个．
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
5．有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（ ）
A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
6．下列语句正确的是（ ）
A． 平角是直线 B． 画5cm长的射线 C． 平行线就是不相交的两条直线
D． 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行
7题图 8题图 7．某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对．A．4 B．8 C．12 D．168．图中所标出的角中，共有同位角（ ）A．2对 B． 3对 C． 4对 D． 5对
二．填空题（共6小题）
9．我们可以用直尺和三角尺画平行线，如图，在这一过程中，所用到的判断两直线平行的方法是 _________ ．
10．如图：已知∠2=∠3，则 _________ ∥ _________ ．
11．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 _________ ．
12．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有 _________ 对平行线．
9题图 10题图 11题图 12题图
13．两条平行直线被第三条直线所截，则：
①一对同位角的角平分线互相平行；②一对内错角的角平分线互相平行；
③一对同旁内角的角平分线互相平行；④一对同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的结论是 _________ ．（注：请把你认为所有正确的结论的序号都填上）
14．如图，BC平分∠DBA，∠1=∠2，填空：因为BC平分∠DBA，所以∠1= _________ ，所以∠2= _________ ，所以AB∥ _________ ．
三．解答题（共16小题）
15题图 16题图 17题图
15．如图已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．
16．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
17．已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥AB，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，AE交CD于E，CF交AB于F，问AE与CF是否平行？为什么？
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
19．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．
19题图 20题图 21题图
20．已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
21．如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1=∠2，所以 _________ ∥ _________ ，（ _________ ）
所以∠EAC=∠ACG，（ _________ ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 _________ =， _________ =，
所以 _________ = _________ ，
所以AB∥CD（ _________ ）．
22．已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．
23．如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
24．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．
求证：AD∥BC．
25．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．
26．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
27．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．①∠DAB+∠B=多少度？
②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．
28．如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2．则DF与AE平行吗？为什么？
29．已知：如图在四边形ABCD中，∠A=∠D、∠B=∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
30．如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
2013.10.115.2平行线的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③互余的两个角一定都是锐角；④互补的两个角一定有一个为钝角，另一个角为锐角．其中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 同位角、内错角、同旁内角；余角和补角；对顶角、邻补角．
分析： 根据内错角、对顶角、余角和补角的有关概念，逐一判断．
解答： 解：①内错角只是表示两个角的位置关系，只有当两直线平行时，内错角才相等，错误；②相等的角不一定具备对顶角的位置关系，故相等的角是对顶角，错误；③互余的两个角其和是90°，故每个角都小于90°，一定都是锐角，正确；④互补的两个角，有一种可能是两个角都是直角，不一定一个为钝角，另一个角为锐角，错误．故选A．
点评： 对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
2．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 平行线的判定．
分析： 根据对顶角的性质和平行线的判定定理，逐一判断．
解答： 解：①是正确的，对顶角相等；②正确，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③错误，角平分线分成的两个角相等但不是对顶角；④错误，同位角只有在两直线平行的情况下才相等．故①②正确，③④错误，所以错误的有两个，故选B．
点评： 平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．
3．根据图，下列推理判断错误的是（ ）
A． 因为∠1=∠2，所以c∥d B． 因为∠3=∠4，所以c∥d
C． 因为∠1=∠3，所以c∥d D． 因为∠2=∠3，所以a∥b
考点： 平行线的判定．
分析： 根据平行线的判定定理进行解答．
解答： 解：A、正确，因为∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行，所以c∥d；B、正确，因为∠3=∠4，由同位角相等，两直线平行，所以c∥d；C、三不符合平行线的判定条件，所以无法确定两直线平行．D、正确，因为∠2=∠3，由同位角相等，两直线平行，所以a∥b．故选C．
点评： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2=∠6；④∠4+∠7=180°，其中能说明a∥b的条件有（ ）个．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 平行线的判定；对顶角、邻补角．
分析： 根据平行线的判定定理进行判断．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两条直线平行；同旁内角互补，两条直线平行．
解答： 解：①根据同位角相等，两条直线平行．故此选项正确；②根据对顶角相等，得∠7=∠5，已知∠1=∠7，可得∠1=∠5，根据同位角相等，两条直线平行．故此选项正确；③根据内错角相等，两条直线平行．故此选项正确；④根据对顶角相等，得∠4=∠2，∠7=∠5，已知∠4+∠7=180°，可得∠2+∠5=180°，根据同旁内角互补，两直线平行．故此选项正确．故选D．
点评： 此题综合运用了对顶角相等的性质和平行线的判定方法．
5．（2006 梧州）有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点： 同位角、内错角、同旁内角；线段的性质：两点之间线段最短．
分析： 此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证，从而求解．
解答： 解：①忽略了两条直线必须是平行线；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角；④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故①③④是错的．②是公理故正确；⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B． 等角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．∴②⑤是正确的．故选A．
点评： 此题涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．
6．下列语句正确的是（ ）
A． 平角是直线
B． 画5cm长的射线
C． 平行线就是不相交的两条直线
D． 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行
考点： 平行线；直线、射线、线段；角的概念．
专题： 推理填空题．
分析： 根据角的定义即可判断A；根据射线的性质进行判断B；根据平行线的定义即可判断C；根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系即可判断D．
解答： 解：A，根据角的定义，角是有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；B、射线没有长度，故本选项错误；C、平行线是指在同一平面内，不相交的直线，故本选项错误；D、在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故本选项正确．故选D．
点评： 本题主要考查对平行线的定义，射线的定义，角的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
7．某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对．
A． 4 B． 8 C． 12 D． 16
考点： 同位角、内错角、同旁内角．
专题： 分类讨论．
分析： 观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论．
解答： 解：l1、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8=16对．故选D．
点评： 在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏．
8．图中所标出的角中，共有同位角（ ）
A． 2对 B． 3对 C． 4对 D． 5对
考点： 同位角、内错角、同旁内角．
分析： 本题考查同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
解答： 解：根据同位角的定义，图中∠3与∠4，∠4与∠5，∠7与∠1，∠5与∠2，∠2与∠3是同位角，共5对．故选D．
点评： 判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
二．填空题（共6小题）
9．我们可以用直尺和三角尺画平行线，如图，在这一过程中，所用到的判断两直线平行的方法是 同位角相等，两直线平行 ．
考点： 平行线的判定．
分析： 由已知可知∠DPF=∠BMF，从而得出同位角相等，两直线平行．
解答： 解：∵∠DPF=∠BMF，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
点评： 正确理解题目的含义，是解决本题的关键．
10．如图：已知∠2=∠3，则 AD ∥ BC ．
考点： 平行线的判定．
分析： 因为∠2=∠3，在图中发现AD、BC被BD所截，故可按内错角相等两直线平行进行判定．
解答： 解：∵∠2=∠3，∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
11．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 内错角相等，两直线平行 ．
考点： 平行线的判定．
专题： 应用题．
分析： 根据图形知道已知∠PAB=∠ACD，利用内错角相等，判断两直线平行．
解答： 解：∵∠PAB=∠ACD，∴CD∥AP（内错角相等，两直线平行）．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
12．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有 5 对平行线．
考点： 平行线的判定．
分析： 利用平行线的判定，由已知角相等或互补推出两直线平行．
解答： 解：∵∠BAG=∠AHE=72°，∴AB∥EI；∵∠BFC=∠FCD=72°，∴BG∥CD；∵∠CBF=∠BGA=72°，∴BC∥AH；∵∠EDI=∠CKD=72°，∴DE∥CF；∵∠AEH=∠EID=72°，∴AE∥DK．故共有5对平行线．
点评： 本题是考查平行线的判定的基础题，比较容易．
13．两条平行直线被第三条直线所截，则：
①一对同位角的角平分线互相平行；
②一对内错角的角平分线互相平行；
③一对同旁内角的角平分线互相平行；
④一对同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的结论是 ①②④ ．（注：请把你认为所有正确的结论的序号都填上）
考点： 平行线的判定．
分析： 根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性．
解答： 解：①两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等．根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线平行；②两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等．根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线平行；③显然不对；④两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成90°角，即互相垂直．故正确的结论是①②④．
点评： 本题考查的是平行线的性质和判定．
14．如图，BC平分∠DBA，∠1=∠2，填空：因为BC平分∠DBA，所以∠1= ∠CBA ，所以∠2= ∠CBA ，所以AB∥ CD ．
考点： 平行线的判定；角平分线的定义．
分析： 由角平分线的性质可知∠1=∠CBA，由内错角相等，两直线平行可知AB∥CD．
解答： 解：∵BC平分∠DBA，∴∠1=∠CBA，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠CBA，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 此题主要考查了角平分线的性质及内错角相等，两直线平行的判定定理．
三．解答题（共16小题）
15．已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．
考点： 三角形的外角性质；平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 欲证AB∥CD，已知∠D=∠B+∠E，且∠BFD=∠B+∠E，即证∴∠D=∠BFD，故可根据内错角相等，两直线平行求证．
解答： 证明：∵∠D=∠B+∠E（已知），∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和），∴∠D=∠BFD（等式的性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题考查的是三角形内角与外角的关系及两直线平行判定定理，比较简单．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．
16．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
考点： 平行线的判定；角平分线的定义．
专题： 探究型．
分析： 根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
解答： 解：BE∥DF．理由如下：∵∠A=∠C=90°（已知），∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和等于360°）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC（角平分线的定义）．∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等式的性质）．又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），∴∠3=∠AEB（等量代换）．∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
点评： 此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，难度中等．
17．已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥AB，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，AE交CD于E，CF交AB于F，问AE与CF是否平行？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 想证明AE与CF平行需构造应用平行线判定方法的条件，∠DEA和∠DFC是直线AE与FC被直线CD所截而成的同位角，根据垂直的定义和角平分线的性质可结合图形证得∠DAE=∠DFC，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∥CF．
解答： 解：平行．理由如下：∵AD⊥DC，BC⊥AB，∴∠D=∠B=90°．∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°．∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，∴∠DAE+∠DCF=90°．∵∠D+∠DFC+∠DCF=180°，∴∠DFC+∠DCF=90°．∴∠DAE=∠DFC∴AE∥CF．
点评： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．本题通过构造同位角相等证明两被截直线平行．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
考点： 平行线的判定；多边形内角与外角．
专题： 探究型．
分析： 要证BE∥DF，需证∠FDC=∠BEC，由于已知里给出了两条角平分线，ABCD又是四边形，内角和为360°，可得：∠FDC+∠EBC=90°，在△BCE中，∠BEC+∠EBC=90°，等角的余角相等，就可得到∠FDC=∠BEC，即可证．
解答： 解：平行．∵∠A=∠C=90°，四边形ABCD的内角和为360°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FDC+∠EBC=90°．又∵∠C=90°，∴∠BEC+∠EBC=90°，∴∠FDC=∠BEC，∴BE∥DF．
点评： 本题利用了角平分线性质和判定，四边形的内角和为360°，同角的余角相等．
19．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 因为DF∥AC，由内错角相等证明∠C=∠FEC，又因为∠C=∠D，则∠D=∠FEC，故CE∥BD．
解答： 解：CE∥BD．理由：∵DF∥AC（已知），∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等），又∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠FEC（等量代换），∴CE∥BD（同位角相等，两直线平行）．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
20．已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 要说明BC∥DG，需先确定与两直线都相交的第三线．图中有三条AB、AC、CD，很显然利用DC更为方便，在“三线八角”中，与已知∠1、∠2都相关的角为∠DCB．至此，证题途径已经明朗．
解答： 解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF；∴∠1=∠BCD（两直线平行，同位角相等）；又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠BCD；∴BC∥DG（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题主要考查了平行线的性质和判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角的关系．
21．如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1=∠2，所以 AE ∥ CF ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
所以∠EAC=∠ACG，（ 两直线平行，内错角相等 ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ∠3 =， ∠4 =，
所以 ∠3 = ∠4 ，
所以AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
考点： 平行线的判定．
专题： 推理填空题．
分析： 利用平行线的判定及性质就可求得本题．即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．反之即为性质．
解答： 证明：因为∠1=∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3=，∠4=，所以∠3=∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 此题主要考查了平行线的判定即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．平行线的判定即两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．
22．已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据两直线平行内错角相等可得，∠ABC=∠BCD结合已知又可知∠EBC=∠FCB，所以BE∥CF（内错角相等，两直线平行）从而证两角相等．
解答： 解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），∵∠ABE=∠DCF（已知），∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．
点评： 本题主要利用平行线的性质和判定及图中角的和差关系来证明．
23．如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： （1）∠1+∠2=180°而∠2+∠CDB=180°，则∠CDB=∠1，根据同位角相等，两直线平行，求得结论；（2）要说明AD与BC平行，只要说明∠BCF+∠CDA=180°即可．而根据AE∥FC可得：∠CDA+∠DEA=180°，再据∠DAE=∠BCF就可以证得．（3）BC平分∠DBE即说明∠EBC=∠DBC是否成立．根据AE∥FC，可得：∠EBC=∠BCF，据AD∥BC得到：∠BCF=∠FAD，∠DBC=∠BAD，进而就可以证出结论．
解答： 解：（1）平行，证明：∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，∴∠CDB=∠1，∴AE∥FC．（2）平行，证明：∵AE∥FC，∴∠CDA+∠DAE=180°，∵∠DAE=∠BCF∴∠CDA+∠BCF=180°，∴AD∥BC．（3）平分，证明：∵AE∥FC，∴∠EBC=∠BCF，∵AD∥BC，∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BDA，又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，∴∠EBC=∠DBC，∴BC平分∠DBE．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
24．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．
求证：AD∥BC．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
解答： 证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．
点评： 本题考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．
25．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 先由已知证明AD∥EF，再证明1∠1=∠4，∠2=∠4，等量代换得出∠1=∠2．
解答： 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），又∵∠3=∠C（已知），∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠2（等量代换）．
点评： 此题的关键是理解平行线的性质及判定．①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．
26．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 设AB与DE相交于H，若判断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3=∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5=∠BAF；已知∠5=∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2=∠EHA，由此可得到∠1=∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．
解答： 解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，又∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∴AB∥CD，∴∠2=∠EHA，又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，∴BF∥DE．另解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∵△BFA、△DEC的内角和都是180°∴△BFA=∠1+∠BFA+BAF；△DEC=∠2+∠4+∠6∵∠1=∠2；∠BAF=∠6∴∠BFA=∠4（同位角相等，两直线就平行）∴BF∥DE．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
27．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．
①∠DAB+∠B=多少度？
②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： （1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定从而不能确定AB与CD平行．
解答： 解：①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°（7分）．②答：AD∥BC，AB与CD不一定平行．（3分）理由是：∵∠DAB+∠B=180°∴AD∥BC（4分）∵∠ACD不能确定（5分）∴AB与CD不一定平行．（6分）
点评： 此题主要考查学生对平行线的判定的理解及运用．
28．如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2．则DF与AE平行吗？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： DF和AE的截线是AD，欲证FD∥AE，需证∠FDA=∠DAE，由已知条件易得此结论．
解答： 解：FD∥AE．理由如下：∵CD⊥AD，DA⊥AB，∴∠2+∠FDA=90°，∠1+∠DAE=90°，又∠1=∠2，∴∠FDA=∠DAE，∴FD∥AE（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题利用了等角的余角相等，还有平行线的判定：内错角相等，两直线平行．
29．已知：如图在四边形ABCD中，∠A=∠D、∠B=∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
考点： 平行线的判定．
分析： 根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC．
解答： 解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠B+∠A=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
点评： 本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，两直线平行进行解答．
30．如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 本题可通过证直线EF与BD的内错角∠1和∠2相等，来得出EF∥BD的结论．
解答： 解：EF∥BD；理由如下：∵∠AED=60°，EF平分∠AED，∴∠FED=30°，又∵∠FEB=∠2=30°，∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题主要考查了平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行．
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2013.10.12平行线的判定
一．选择题（共8小题）
1．下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③互余的两个角一定都是锐角；④互补的两个角一定有一个为钝角，另一个角为锐角．其中正确的有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（ ）
A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
3．根据图，下列推理判断错误的是（ ） A．因为∠1=∠2，所以c∥d B． 因为∠3=∠4，所以c∥d C．因为∠1=∠3，所以c∥d D． 因为∠2=∠3，所以a∥b
3题图 4题图
4．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2=∠6；④∠4+∠7=180°，其中能说明a∥b的条件有（ ）个．
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
5．有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（ ）
A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
6．下列语句正确的是（ ）
A． 平角是直线 B． 画5cm长的射线 C． 平行线就是不相交的两条直线
D． 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行
7题图 8题图 7．某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对．A．4 B．8 C．12 D．168．图中所标出的角中，共有同位角（ ）A．2对 B． 3对 C． 4对 D． 5对
二．填空题（共6小题）
9．我们可以用直尺和三角尺画平行线，如图，在这一过程中，所用到的判断两直线平行的方法是 _________ ．
10．如图：已知∠2=∠3，则 _________ ∥ _________ ．
11．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 _________ ．
12．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有 _________ 对平行线．
9题图 10题图 11题图 12题图
13．两条平行直线被第三条直线所截，则：
①一对同位角的角平分线互相平行；②一对内错角的角平分线互相平行；
③一对同旁内角的角平分线互相平行；④一对同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的结论是 _________ ．（注：请把你认为所有正确的结论的序号都填上）
14．如图，BC平分∠DBA，∠1=∠2，填空：因为BC平分∠DBA，所以∠1= _________ ，所以∠2= _________ ，所以AB∥ _________ ．
三．解答题（共16小题）
15题图 16题图 17题图
15．如图已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．
16．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
17．已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥AB，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，AE交CD于E，CF交AB于F，问AE与CF是否平行？为什么？
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
19．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．
19题图 20题图 21题图
20．已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
21．如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1=∠2，所以 _________ ∥ _________ ，（ _________ ）
所以∠EAC=∠ACG，（ _________ ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 _________ =， _________ =，
所以 _________ = _________ ，
所以AB∥CD（ _________ ）．
22．已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．
23．如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
24．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．
求证：AD∥BC．
25．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．
26．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
27．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．①∠DAB+∠B=多少度？
②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．
28．如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2．则DF与AE平行吗？为什么？
29．已知：如图在四边形ABCD中，∠A=∠D、∠B=∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
30．如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
2013.10.115.2平行线的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②相等的角是对顶角；③互余的两个角一定都是锐角；④互补的两个角一定有一个为钝角，另一个角为锐角．其中正确的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 同位角、内错角、同旁内角；余角和补角；对顶角、邻补角．
分析： 根据内错角、对顶角、余角和补角的有关概念，逐一判断．
解答： 解：①内错角只是表示两个角的位置关系，只有当两直线平行时，内错角才相等，错误；②相等的角不一定具备对顶角的位置关系，故相等的角是对顶角，错误；③互余的两个角其和是90°，故每个角都小于90°，一定都是锐角，正确；④互补的两个角，有一种可能是两个角都是直角，不一定一个为钝角，另一个角为锐角，错误．故选A．
点评： 对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
2．下列命题：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中错误的有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 平行线的判定．
分析： 根据对顶角的性质和平行线的判定定理，逐一判断．
解答： 解：①是正确的，对顶角相等；②正确，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③错误，角平分线分成的两个角相等但不是对顶角；④错误，同位角只有在两直线平行的情况下才相等．故①②正确，③④错误，所以错误的有两个，故选B．
点评： 平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．
3．根据图，下列推理判断错误的是（ ）
A． 因为∠1=∠2，所以c∥d B． 因为∠3=∠4，所以c∥d
C． 因为∠1=∠3，所以c∥d D． 因为∠2=∠3，所以a∥b
考点： 平行线的判定．
分析： 根据平行线的判定定理进行解答．
解答： 解：A、正确，因为∠1=∠2，由内错角相等，两直线平行，所以c∥d；B、正确，因为∠3=∠4，由同位角相等，两直线平行，所以c∥d；C、三不符合平行线的判定条件，所以无法确定两直线平行．D、正确，因为∠2=∠3，由同位角相等，两直线平行，所以a∥b．故选C．
点评： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7；③∠2=∠6；④∠4+∠7=180°，其中能说明a∥b的条件有（ ）个．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 平行线的判定；对顶角、邻补角．
分析： 根据平行线的判定定理进行判断．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两条直线平行；同旁内角互补，两条直线平行．
解答： 解：①根据同位角相等，两条直线平行．故此选项正确；②根据对顶角相等，得∠7=∠5，已知∠1=∠7，可得∠1=∠5，根据同位角相等，两条直线平行．故此选项正确；③根据内错角相等，两条直线平行．故此选项正确；④根据对顶角相等，得∠4=∠2，∠7=∠5，已知∠4+∠7=180°，可得∠2+∠5=180°，根据同旁内角互补，两直线平行．故此选项正确．故选D．
点评： 此题综合运用了对顶角相等的性质和平行线的判定方法．
5．（2006 梧州）有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（ ）
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
考点： 同位角、内错角、同旁内角；线段的性质：两点之间线段最短．
分析： 此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证，从而求解．
解答： 解：①忽略了两条直线必须是平行线；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角；④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故①③④是错的．②是公理故正确；⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B． 等角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．∴②⑤是正确的．故选A．
点评： 此题涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．
6．下列语句正确的是（ ）
A． 平角是直线
B． 画5cm长的射线
C． 平行线就是不相交的两条直线
D． 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行
考点： 平行线；直线、射线、线段；角的概念．
专题： 推理填空题．
分析： 根据角的定义即可判断A；根据射线的性质进行判断B；根据平行线的定义即可判断C；根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系即可判断D．
解答： 解：A，根据角的定义，角是有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误；B、射线没有长度，故本选项错误；C、平行线是指在同一平面内，不相交的直线，故本选项错误；D、在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故本选项正确．故选D．
点评： 本题主要考查对平行线的定义，射线的定义，角的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
7．某城市有四条直线型主干道分别为l1，l2，l3，l4，l3和l4相交，l1和l2相互平行且与l3、l4相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（ ）对．
A． 4 B． 8 C． 12 D． 16
考点： 同位角、内错角、同旁内角．
专题： 分类讨论．
分析： 观察图形，确定不同的截线分类讨论，如分l1、l2被l3所截，l1、l2被l4所截，l1、l3被l4所截，l2、l3被l4所截，l3、l4被l1所截，l3、l4被l2所截l1、l4被l3所截、l2、l4被l3所截来讨论．
解答： 解：l1、l2被l3所截，有两对同旁内角，其它同理，故一共有同旁内角2×8=16对．故选D．
点评： 在较复杂图形中确定“三线八角”可从截线入手，分类讨论，做到不重复不遗漏．
8．图中所标出的角中，共有同位角（ ）
A． 2对 B． 3对 C． 4对 D． 5对
考点： 同位角、内错角、同旁内角．
分析： 本题考查同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
解答： 解：根据同位角的定义，图中∠3与∠4，∠4与∠5，∠7与∠1，∠5与∠2，∠2与∠3是同位角，共5对．故选D．
点评： 判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
二．填空题（共6小题）
9．我们可以用直尺和三角尺画平行线，如图，在这一过程中，所用到的判断两直线平行的方法是 同位角相等，两直线平行 ．
考点： 平行线的判定．
分析： 由已知可知∠DPF=∠BMF，从而得出同位角相等，两直线平行．
解答： 解：∵∠DPF=∠BMF，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
点评： 正确理解题目的含义，是解决本题的关键．
10．如图：已知∠2=∠3，则 AD ∥ BC ．
考点： 平行线的判定．
分析： 因为∠2=∠3，在图中发现AD、BC被BD所截，故可按内错角相等两直线平行进行判定．
解答： 解：∵∠2=∠3，∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
11．如图所示，用两个相同的三角形按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是 内错角相等，两直线平行 ．
考点： 平行线的判定．
专题： 应用题．
分析： 根据图形知道已知∠PAB=∠ACD，利用内错角相等，判断两直线平行．
解答： 解：∵∠PAB=∠ACD，∴CD∥AP（内错角相等，两直线平行）．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
12．如图是由五个同样的三角形组成的图案，三角形的三个角分别为36°，72°，72°，则图中共有 5 对平行线．
考点： 平行线的判定．
分析： 利用平行线的判定，由已知角相等或互补推出两直线平行．
解答： 解：∵∠BAG=∠AHE=72°，∴AB∥EI；∵∠BFC=∠FCD=72°，∴BG∥CD；∵∠CBF=∠BGA=72°，∴BC∥AH；∵∠EDI=∠CKD=72°，∴DE∥CF；∵∠AEH=∠EID=72°，∴AE∥DK．故共有5对平行线．
点评： 本题是考查平行线的判定的基础题，比较容易．
13．两条平行直线被第三条直线所截，则：
①一对同位角的角平分线互相平行；
②一对内错角的角平分线互相平行；
③一对同旁内角的角平分线互相平行；
④一对同旁内角的角平分线互相垂直．
其中正确的结论是 ①②④ ．（注：请把你认为所有正确的结论的序号都填上）
考点： 平行线的判定．
分析： 根据平行线的性质，结合图形分析平分角之后得到的角之间的位置关系，运用平行线的判定判断是否平行；若不平行，则进一步探究其特殊性．
解答： 解：①两直线平行，同位角相等，其角平分线分得的角也相等．根据同位角相等，两直线平行可判断角平分线平行；②两直线平行，内错角相等，其角平分线分得的角也相等．根据内错角相等，两直线平行可判断角平分线平行；③显然不对；④两直线平行，同旁内角互补，其角平分线分得的不同的两角互余，从而推出两条角平分线相交成90°角，即互相垂直．故正确的结论是①②④．
点评： 本题考查的是平行线的性质和判定．
14．如图，BC平分∠DBA，∠1=∠2，填空：因为BC平分∠DBA，所以∠1= ∠CBA ，所以∠2= ∠CBA ，所以AB∥ CD ．
考点： 平行线的判定；角平分线的定义．
分析： 由角平分线的性质可知∠1=∠CBA，由内错角相等，两直线平行可知AB∥CD．
解答： 解：∵BC平分∠DBA，∴∠1=∠CBA，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠CBA，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 此题主要考查了角平分线的性质及内错角相等，两直线平行的判定定理．
三．解答题（共16小题）
15．已知：E是AB、CD外一点，∠D=∠B+∠E，求证：AB∥CD．
考点： 三角形的外角性质；平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 欲证AB∥CD，已知∠D=∠B+∠E，且∠BFD=∠B+∠E，即证∴∠D=∠BFD，故可根据内错角相等，两直线平行求证．
解答： 证明：∵∠D=∠B+∠E（已知），∠BFD=∠B+∠E（三角形的一个外角等于与它不相留邻的两个内角的和），∴∠D=∠BFD（等式的性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题考查的是三角形内角与外角的关系及两直线平行判定定理，比较简单．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．
16．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
考点： 平行线的判定；角平分线的定义．
专题： 探究型．
分析： 根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
解答： 解：BE∥DF．理由如下：∵∠A=∠C=90°（已知），∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和等于360°）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC（角平分线的定义）．∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等式的性质）．又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），∴∠3=∠AEB（等量代换）．∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
点评： 此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，难度中等．
17．已知：如图，四边形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥AB，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，AE交CD于E，CF交AB于F，问AE与CF是否平行？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 想证明AE与CF平行需构造应用平行线判定方法的条件，∠DEA和∠DFC是直线AE与FC被直线CD所截而成的同位角，根据垂直的定义和角平分线的性质可结合图形证得∠DAE=∠DFC，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∥CF．
解答： 解：平行．理由如下：∵AD⊥DC，BC⊥AB，∴∠D=∠B=90°．∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°．∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，∴∠DAE+∠DCF=90°．∵∠D+∠DFC+∠DCF=180°，∴∠DFC+∠DCF=90°．∴∠DAE=∠DFC∴AE∥CF．
点评： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．本题通过构造同位角相等证明两被截直线平行．
18．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试问BE∥DF吗？为什么？
考点： 平行线的判定；多边形内角与外角．
专题： 探究型．
分析： 要证BE∥DF，需证∠FDC=∠BEC，由于已知里给出了两条角平分线，ABCD又是四边形，内角和为360°，可得：∠FDC+∠EBC=90°，在△BCE中，∠BEC+∠EBC=90°，等角的余角相等，就可得到∠FDC=∠BEC，即可证．
解答： 解：平行．∵∠A=∠C=90°，四边形ABCD的内角和为360°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠FDC+∠EBC=90°．又∵∠C=90°，∴∠BEC+∠EBC=90°，∴∠FDC=∠BEC，∴BE∥DF．
点评： 本题利用了角平分线性质和判定，四边形的内角和为360°，同角的余角相等．
19．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 因为DF∥AC，由内错角相等证明∠C=∠FEC，又因为∠C=∠D，则∠D=∠FEC，故CE∥BD．
解答： 解：CE∥BD．理由：∵DF∥AC（已知），∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等），又∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠FEC（等量代换），∴CE∥BD（同位角相等，两直线平行）．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
20．已知：如图，CD⊥AB于D，点E为BC边上的任意一点，EF⊥AB于F，且∠1=∠2，那么BC与DG平行吗？请说明理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 要说明BC∥DG，需先确定与两直线都相交的第三线．图中有三条AB、AC、CD，很显然利用DC更为方便，在“三线八角”中，与已知∠1、∠2都相关的角为∠DCB．至此，证题途径已经明朗．
解答： 解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF；∴∠1=∠BCD（两直线平行，同位角相等）；又∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠BCD；∴BC∥DG（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题主要考查了平行线的性质和判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角的关系．
21．如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1=∠2，所以 AE ∥ CF ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
所以∠EAC=∠ACG，（ 两直线平行，内错角相等 ）
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 ∠3 =， ∠4 =，
所以 ∠3 = ∠4 ，
所以AB∥CD（ 内错角相等，两直线平行 ）．
考点： 平行线的判定．
专题： 推理填空题．
分析： 利用平行线的判定及性质就可求得本题．即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．反之即为性质．
解答： 证明：因为∠1=∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3=，∠4=，所以∠3=∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 此题主要考查了平行线的判定即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．平行线的判定即两直线平行，同位角相等．两直线平行，内错角相等．两直线平行，同旁内角互补．
22．已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 根据两直线平行内错角相等可得，∠ABC=∠BCD结合已知又可知∠EBC=∠FCB，所以BE∥CF（内错角相等，两直线平行）从而证两角相等．
解答： 解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），∵∠ABE=∠DCF（已知），∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．
点评： 本题主要利用平行线的性质和判定及图中角的和差关系来证明．
23．如图，∠1+∠2=180°，∠DAE=∠BCF，DA平分∠BDF．
（1）AE与FC会平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）BC平分∠DBE吗？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： （1）∠1+∠2=180°而∠2+∠CDB=180°，则∠CDB=∠1，根据同位角相等，两直线平行，求得结论；（2）要说明AD与BC平行，只要说明∠BCF+∠CDA=180°即可．而根据AE∥FC可得：∠CDA+∠DEA=180°，再据∠DAE=∠BCF就可以证得．（3）BC平分∠DBE即说明∠EBC=∠DBC是否成立．根据AE∥FC，可得：∠EBC=∠BCF，据AD∥BC得到：∠BCF=∠FAD，∠DBC=∠BAD，进而就可以证出结论．
解答： 解：（1）平行，证明：∵∠2+∠CDB=180°，∠1+∠2=180°，∴∠CDB=∠1，∴AE∥FC．（2）平行，证明：∵AE∥FC，∴∠CDA+∠DAE=180°，∵∠DAE=∠BCF∴∠CDA+∠BCF=180°，∴AD∥BC．（3）平分，证明：∵AE∥FC，∴∠EBC=∠BCF，∵AD∥BC，∴∠BCF=∠FDA，∠DBC=∠BDA，又∵DA平分∠BDF，即∠FDA=∠BDA，∴∠EBC=∠DBC，∴BC平分∠DBE．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
24．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE=∠E．
求证：AD∥BC．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论．
解答： 证明：∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．
点评： 本题考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．
25．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．
考点： 平行线的判定．
专题： 证明题．
分析： 先由已知证明AD∥EF，再证明1∠1=∠4，∠2=∠4，等量代换得出∠1=∠2．
解答： 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），又∵∠3=∠C（已知），∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠2（等量代换）．
点评： 此题的关键是理解平行线的性质及判定．①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．
26．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 设AB与DE相交于H，若判断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3=∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5=∠BAF；已知∠5=∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2=∠EHA，由此可得到∠1=∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．
解答： 解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，又∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∴AB∥CD，∴∠2=∠EHA，又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，∴BF∥DE．另解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∵△BFA、△DEC的内角和都是180°∴△BFA=∠1+∠BFA+BAF；△DEC=∠2+∠4+∠6∵∠1=∠2；∠BAF=∠6∴∠BFA=∠4（同位角相等，两直线就平行）∴BF∥DE．
点评： 解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
27．如图，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC．
①∠DAB+∠B=多少度？
②AD与BC平行吗？AB与CD平行吗？试说明理由．
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： （1）由已知可求得∠DAB=120°，从而可求得∠DAB+∠B=180°（2）根据同旁内角互补两直线平行可得AD∥BC，∠ACD不能确定从而不能确定AB与CD平行．
解答： 解：①∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∠1=30°，∴∠BAD=120°，∵∠B=60°，∴∠DAB+∠B=180°（7分）．②答：AD∥BC，AB与CD不一定平行．（3分）理由是：∵∠DAB+∠B=180°∴AD∥BC（4分）∵∠ACD不能确定（5分）∴AB与CD不一定平行．（6分）
点评： 此题主要考查学生对平行线的判定的理解及运用．
28．如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2．则DF与AE平行吗？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： DF和AE的截线是AD，欲证FD∥AE，需证∠FDA=∠DAE，由已知条件易得此结论．
解答： 解：FD∥AE．理由如下：∵CD⊥AD，DA⊥AB，∴∠2+∠FDA=90°，∠1+∠DAE=90°，又∠1=∠2，∴∠FDA=∠DAE，∴FD∥AE（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题利用了等角的余角相等，还有平行线的判定：内错角相等，两直线平行．
29．已知：如图在四边形ABCD中，∠A=∠D、∠B=∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．
考点： 平行线的判定．
分析： 根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC．
解答： 解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠B+∠A=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
点评： 本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，两直线平行进行解答．
30．如图，已知∠AED=60°，∠2=30°，EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为什么？
考点： 平行线的判定．
专题： 探究型．
分析： 本题可通过证直线EF与BD的内错角∠1和∠2相等，来得出EF∥BD的结论．
解答： 解：EF∥BD；理由如下：∵∠AED=60°，EF平分∠AED，∴∠FED=30°，又∵∠FEB=∠2=30°，∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）．
点评： 本题主要考查了平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行．
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2013.10.12平行线的判定