12.3 角平分线的性质（2） 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
12.3 角的平分线的性质（2）
人教版八年级上册
知识回顾
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
∴PD=PE.
O
A
B
C
P
D
E
┐
┐
教学目标
1.探究并证明角的平分线的判定.
2.会用角的平分线的判定解决实际问题.
3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
新知导入
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，它的逆命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是否成立呢？
新知探究
知识点 1
角平分线的判定
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
猜想:
如果 ，
那么 。
1、改写为：
在角的内部有一个点到角的两边距离相等
这个点在角的平分线上
2、画图，并用几何语言将“如果”“那么”改写为“已知”“求证”
B
A
D
O
P
E
┐
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
新知探究
证明猜想
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB的平分线上.即OP为∠AOB的平分线
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
新知探究
角平分线判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
几何语言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
新知典例
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
新知典例
例2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线.
┐
C
E
A
F
D
B
┐
BE=CF，DB=DC.
Rt△BDE≌Rt△CDF.
DE⊥AB，DF⊥AC ，DE=DF.
AD是∠BAC的平分线.
分析：
（直角三角形全等（HL））
（三角形全等的性质）
（角的平分线的判定）
思考从问题出发
作答从已知开始
新知典例
例2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线.
┐
C
E
A
F
D
B
┐
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BE=CF，
DB=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF.
∴点D在∠BAC的平分线上，
即AD是∠BAC的平分线.
课堂练习
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC.
1、如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
新知探究
问题1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
知识点 2
问题2：那这一点到三角形三边的距离是否一样？
到三条边的距离一样
你能证明这个结论吗？
新知探究
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明结论
新知探究
问题3 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
∵PD⊥AB,PF⊥AC，且PD=PF
∴点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
新知典例
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例3 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
∵AP平分∠BAC，OM=4
∴OE=OM=4
同理OE=ON
∴OE=OM=ON=4
∴点O到△ABC三边的距离和为12
B
C
A
解：过O做OE⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为E、N两点
P
由（1）可知OM=ON=OE=4
∵△ABC的周长为32
∴AB+BC+AC=32
∴
新知典例
解：连接OC.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
例3.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
新知探究
点在角的平分线上
(角的内部)点到角的两边的距离相等
性质定理
判定定理
性质定理是证明两条线段相等的依据，
判定定理是证明两个角相等的依据.
角的平分线的性质定理与判定定理的关系
知识点 3
新知典例
例3、已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．
解：（1）过点P作PD⊥BC于D，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴AP平分∠BAC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠EAP＝
＝30°
课堂练习
1. 如图， 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
课堂总结
角平分线的判定
学会用添加辅助线的方法解题
判定
定理
应用
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题
课堂练习
1．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC
C．BA＝BC D．PA＝PC
B
课堂练习
2．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　）
A．58° B．64° C．122° D．124°
C
课堂练习
3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
C
课堂练习
4．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D为射线OB上一动点，连接PD，若PC＝9，则PD的长度的取值范围是 　 　．
PD≥9
解：过点P作PH⊥OB于点H，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA
∴PH＝PC＝9
∵点D为射线OB上一动点
∴PD≥PH
∴PD的取值范围是：PD≥9，
课堂练习
5．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，求证：PM＝PN．
解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS）
∴∠ADB＝∠CDB．
∴∠ADP＝∠CDP．
即DP平分∠ADC．
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
作业布置
谢谢
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