3.1勾股定理自主学习学案

3.1 勾股定理（一）
一、【学习目标】
能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
二、【学习重难点】
重点：探索勾股定理.
难点：利用数形结合的方法验证勾股定理．
三、【自主学习】
说一说
1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个
著名的数学定理设计的。观察这枚邮票上的图案和图案中小
方格的个数，你有哪些发现？
四、【合作探究】
做一做
分别以直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？（见课本P78 图3-1）
2、这三个面积之间是否存在什么样的未知关系，如果存在，那么它们的关系是什么？
议一议
是否所有的直角三角形都有这个性质呢？请动手验证。
勾股定理： 图形：
练一练
1、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
2、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,求：
（1），AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。
五、【达标巩固】
1、在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；
（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。
2、已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙俩人相距
3、在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是 （ ）
A、5、4、3、； B、13、12、5； C、10、8、6； D、26、24、10
4、若等腰三角形中腰为10cm,底边为16 cm,那么底边上的高为 ( )
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
5、如图，在四边形中，∠，∠，，求.
3.1 勾股定理（二）
一、【学习目标】
能说出勾股定理的证明,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
二、【学习重难点】
通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想的认识。
三、【自主学习】
如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字
母A所代表的正方形面积是_________ 。
2、已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距多少千米？
一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为多少？
四、【合作探究】
活动一：你能把本章章头的图①、②、③、④、⑤拼成正方形吗？你能验证勾股定理吗？与同学交流。
活动二：剪4个全等的直角三角形，把它们拼成弦图，与同学合作探索数学家赵爽是如何利用弦图验证勾股定理的。
例题讲解
例1：如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m，求梯子的顶端与地面的距离h.
例2、完成书本P82的练习
课堂总结
从“面积到乘法公式”一章的学习中，我们把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算得到了许多有用的式子，这节课同样地我们用多种方法拼图验证了勾股定理，你有什么感受？
五、【达标巩固】
1、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边为 。
2、已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 。
3、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 。
4、填空
在RtΔABC中,∠C=900.
①若a=6,c=10 ,则b=____.
②若a:b=3:4,c=10,则a=____,b=____.
③若a=6,b=8,则斜边c上的高h=______.
*5、若直角三角形的三边为6、8、x，则x的长为 。
6、①如图3，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积之和是______。
②如图4,小方格的面积为1,找出图中以格点为端点且长度为5的线段。
3.2勾股定理的逆定理
一、【学习目标】
1.探索并掌握直角三角形的判断条件（勾股定理的逆定理）.
2.会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”.
二、【学习重难点】
利用“三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形“这一条件进行直角三角形的判定
三、【自主学习】
情境创设
美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿“322” （plinmpton322）的古巴比伦泥板，上面密密麻麻的写着什么呢？这些数组揭示了什么奥秘呢？
四、【探索活动】
1. 选图中的一组数(如60、45、75）,计算这组数中某两个数的平方和是否等于第三个数的平方
2.以这组数为三角形3边的边长画△ABC, △ABC是直角三角形吗 说说你的理由。
结论：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.
∵a2+b2=c2
∴ΔABC为RtΔ
这个结论与勾股定理有什么关系？
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数
3、例题教学
例1：一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,你说这个零件符合要求吗 　 　
例2：如图:AD⊥BC,垂足为D .如果CD=1,AD=2,BD=4,∠BAC是直角吗 请说明理由.
五、【达标巩固】
1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是 ( )
A. a＋b＝c B. a:b:c＝3:4:5 C. a＝b＝2c D. ∠A＝∠B＝∠C
2.若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为 ( )
A. 6 B. 4.8 C. 2.4 D. 8
3.在△ABC中,AB＝13,AC＝15,高AD＝12,则BC的长为 ( )
A. 14 B. 4 C.14或4 D.以上都不对
4. 在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=_______ .
5. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，
先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，
则CD＝___________.
6. 已知：如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12.求图形的面积.
2.7勾股定理的简单应用
一、【学习目标】
能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．
二、【学习重难点】
1、 在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，
2、进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值
三、【自主学习】
1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长为（ ）．
（A）4 （B）4或34 （C）16或34 （D）4或
2．以下列各组数线段a、b、c为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
（A）a=1．5，b=2，c=3 （B）a=7，b=24，c=25
（C）a=6，b=8，c=10 （D）a=3，b=4，c=5
3．如图，AD是△ABC的中线，AD=12,AB=13,BC=10.
求AC的长
四、【合作探究】
1.如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？
2． 一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，你认为梯子的底端会发生什么变化
3．例题讲解
见课本P86例1
五、【达标巩固】
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A对的边是a，∠B对的边是b，∠C对的边是c．
若a=5，b=12，则c=______；若a=15，c=25，则b=_____；若c=61，b=60，则a=______若a：b=3：4，c=10则S△ABC=________．
2．已知2条线段的长分别为3cm和4cm，当第三条线段的长为_______cm时，
这3条线段能组成一个直角三角形
3.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km．
4、 已知一个三角形的三边长分别是12cm、16cm、20cm，你能计算出这个三角形的面积吗
5.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m．求这块草坪的面积．
小结与思考
一、【学习目标】
回顾勾股定理及其逆定理，利用勾股定理解决生活中的实际问题
二、【学习重难点】
勾股定理及其应用
三、【自主学习】
一、知识要点
1、勾股定理：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边。
①c2＝a2＋b2；②a2＝c2－b2；③b2＝c2－a2
3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2 ＝c2，那么这个三角形是直角三角形。（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）
二、基础演练
1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是_______。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°若a=5，b=12，则c=________。
3、直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为________。
.
4、已知甲往正东走了4km，乙往正南走了3km，这时甲、乙两人相距________。
.
5、一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为________。
. .
四、【合作探究】
1．如图，在⊿ABC中，∠BCA=900，BC=15cm,AC=20cm,CD⊥AB与D,
求：CD。 BD的长；
2、如图，在⊿ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
求：（1）AC的长； （2）⊿ABC的面积； （3）CD的长。
五、【达标巩固】
1、在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是 ( )
A.a＋b＝c B. a：b：c＝3：4：5 C.a＝b＝2c D.∠A＝∠B＝∠C
2、若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为(　　)
A.6 B.4.8 C.2.4 D. 8
3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②5、12、13；③8、5、17
④4、5、6.其中能构成直角三角形的有（ ）
A.4组 B. 3组 C. 2组 D.1组
4、在ΔABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列说法中正确的个数有（ ）
①如果∠B-∠C=∠A，则ΔABC是直角三角形 ②如果c2=b2-a2，则ΔABC是直角三角形，且∠C=900 ③如果(c+a)(c-a)=b2,则ΔABC是直角三角形 ④如果∠A:∠B:∠C =5:2:3， 则ΔABC是直角三角形　　
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90，∠DBC＝90，AD＝3，AB＝4，BC＝12，
求CD。
6、如图，已知AD是BC边上的中线，如果BC＝10㎝，AC＝4㎝，AD＝3㎝，求△ABC的面积。
400
64
A
400
64
A