2022-2023学年人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
知识与技能：
1）掌握一元二次方程根与系数的关系。
2）利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。
过程与方法:
通过求解一元二次方程，观察求得结果，初步猜想一元二次方程根与系数的关系，再通过配方法和公式法进行验证，从而得出韦达定理内容。通过本课程的学习，学生可以利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。
1.一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
3.一元二次方程的求根公式.
复习引入：
新知探究：
x +2x+3=0
x -2x-8=0
x -3x-10=0
解方程，并分别求出方程的两个根 的值。
你发现了什么规律？
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为：
，
.
,
==.
思考：
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：
根与系数的关系
方程化为x2＋px＋q＝0的形式,则有
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
=.
归纳总结：
例1 不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0; (2) 3x2＋7x－9＝0;
(3) 5x－1＝4x2.
解: (1)x1+x2=-(-6)=6，
x1x2=-15.
(3) 5x-1＝4x2.
化一般式，得4x2-5x+1＝0，
用根与系数的关系前，一定要化成一般式.
例2 已知实数 a，b 分别满足 a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且 a≠b，则 的值是( )
A. B. C. D.
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
A
∴.
解：设方程的两根分别为 x1，x2，
例3 已知关于x的一元二次方程
2x2-mx-2m+1=0的两根的平方和为 ，求m的值.
由已知得
因为 ，所以，
所以，解得 m1=-11，m2=3.
当m=-11时,方程为 2x2+11x+23=0,
Δ=121-4×2×23=-63<0，
方程无实数根，不合题意，应舍去；
当m=3时,方程为 2x2-3x-5=0，
Δ=(-3)2-4×2×(-5)=49>0，
方程有两个不相等的实数根.
综上所述，m 的值为 3.
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
x1＋x2＝－ ， x1x2＝ .
巩固练习：
解：(3)方程化为 x2－x－1＝0，
x1＋x2＝－(－1)＝1，x1x2＝－1.
(4)方程化为 2x2－4x＋1＝0，
x1＋x2＝－＝2， x1x2 ＝.
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
2.已知关于 x 的一元二次方程 x2-6x+q＝0 有一个根为 2，求方程的另一根和 q 的值.
解：设方程的另一个根为 a，则
2+a=-(-6)=6，
解得 a=4，
则 q=2×4=8.
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+3)x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(2k+3)2-4k2>0，
解得 k>.
3.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围；
∴ ，解得 k1=3，k2=-1.
注意b2 - 4ac > 0.
经检验， k1=3，k2=-1都是原分式方程的根，
∵k>，∴ k=3.
(2)若 ，求k的值.
(2)∵ x1，x2 是方程 x2+(2k+3)x+k2＝0 的实数根，
∴ x1+x2 =-(2k+3)，x1x2=k2，
解：根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=-1，
所以 x1-1+x2-1=-5, (x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=3，
所以以 x1-1 和 x2-1 为根的一个一元二次方程可以是 x2+5x+3=0(答案不唯一).
4.已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二次方程.
课堂小结
通过今天的学习，你有什么收获呢？