22.2 二次函数与一元二次方程 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
22.2 二次函数与一元二次方程
教学目标
知识与技能：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
过程与方法：通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
情感、态度、价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．
教学重难点
教学重点：会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
教学难点：一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系，数形结合思想的灵活。
问题: 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系 h＝20t—5t2。
情景导入
考虑以下问题
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数
h=20t－5t2。
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。
解：（1）解方程 15＝20t—5t2。 t2—4t＋3=0。 t1＝1,t2＝3。
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。
（2）解方程 20＝20t－5t2。 t2－4t＋4＝0。 t1＝t2＝2。
当球飞行2s时，它的高度为20m。
（3）解方程 20.5＝20t－5t2。 t2－4t＋4.1＝0。
因为（－4）2－4×4.1<0。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。
（4）解方程 0＝20t－5t2。 t2－4t＝0。 t1＝0,t2＝4。
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。
例如：已知二次函数y＝－x2＋4x的值为3。求自变量x的值。可以解一元二次方程－x2＋4x＝3（即x2－4x＋3＝0） 。反过来，解方程x2－4x＋3＝0又可以看作已知二次函数y＝x2－4＋3的值为0，求自变量x的值。
一般地，我们可以利用二次函数y＝ax2＋bx＋c深入讨论一元二次方程ax2＋bx＋c＝0。
图形 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
a＞0
a＜0
向上
向下
直线x=
-
在对称轴左侧即当x< -时，y 随 x的增大而减小.
在对称轴右侧即当x> -时,y随 x 的增大而增大.
在对称轴左侧即当x< -时, y 随 x的增大而增大，
在对称轴右侧即当x> -时,y随 x 的增大而减小.
当x=-
时,
y最小值=
当x=-
时,
y最大值=
x
y
O
y
x
x= -
x= -
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
问题一：球的飞行高度能否达到 15 m 若能，需要多少时间
【分析】：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程．
【注意】根据实际问题，讨论h的取值．
解：当h=15时，20t-5t2=15，
解得，t1=1，t2=3.
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
探索二次函数与一元二次方程的联系
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
问题二 球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
当h=20时，20t-5t2=20，
解得，t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
探索二次函数与一元二次方程的联系
【提问】结合图形，你知道为什么在问题一中有两个点符合题意，而在问题二中只有一个点符合题意？
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
问题三 球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
探索二次函数与一元二次方程的联系
当h=20.5时，20t-5t2=20.5，
化简得，t2-4t+4.1=0，
因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.
故球的飞行高度达不到20.5m.
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系：h= 20t–5t2 .
考虑下列问题:
问题四 球从飞出到落地要用多少时间
探索二次函数与一元二次方程的联系
当h=0时，20t-5t2=0，
解得，t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，
即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.
探索二次函数与一元二次方程的联系
从上面发现，一般地，当 y 取定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程。如：y=5 时，5=ax2+bx+c 就是一个一元二次方程。所以二次函数与一元二次方程关系密切。
例如：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x 的值。就是求方程3=-x2+4x(即x2-4x+3=0)的解。
反过来，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值。
探索二次函数与一元二次方程的联系

解题技巧
1.画出下列二次函数图象
1)y=x2+x-2；
2)y=x2-6x+9；
3)y=x2-x+1，
2.你得出相应的一元二次方程的解吗
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
x
O
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
二次函数 y=x2+x-2 y=x2-6x+9 y=x2-x+1
与x轴交点坐标 (-2,0)，(1,0) (3,0) 无交点
相应方程的根 x1=-2，x2=1 x1=x2=3 无实根
y=x2+x-2
探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴的公共点的个数 一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根
b2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
判别式(△) b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0） 图象 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有两个不同的交点
（x1，0）（x2，0）
与x轴没有交点
x
y
O
x
y
O
x
y
O
有两个不同的解x=x1，x=x2
没有实数根
有两个重合的公共点
有两个相等的实数根
探索二次函数和x轴公共点与一元二次方程的根的关系
图象伐解一元二次方程
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。
例：利用函数图象求方程的实数根（结果保留小数后一位）。
解：如右图它与x轴的公共点的横坐标
大致为-0.7，2.7。
所以方程的实数根为：
探索二次函数与一元二次方程的联系
P(2,-2)
P’(3,1)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越接近根的值.因而可以作为根的近似值。
当x=2时，y=-2(点(2,-2)在x轴下方）；
当x=3时，y= 1(点(3, 1)在x轴上方) ；
而二次函数是一条连续不断的曲线，
所以二次函数在2即方程在在2P(2,-2)
P’(3,1)
尝求出方程
（求抛物线与坐标轴交点）
典例1．抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1-1．已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）
变式1-2 已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3
变式1-3 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),则这条抛物线的对称轴是( )
A.直线x=-1 B.直线x=0 C.直线x=1 D.直线x=3
（求抛物线与坐标轴交点）
变式1-4如图二次函数的图象交轴于，两点，交轴于，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：在中，
当时，、；
当时，；
即、、
故的面积为：；
故选C．
（求抛物线与坐标轴交点）
变式1-5 在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；
(2) x取什么值时，函数值大于0；
(3) x取什么值时，函数值小于0.
解：图象如图所示.
(1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -13
y
O
-3
3
x
（已知二次函数函数值求自变量的值）
典例2．根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(　　)
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【详解】解：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．故选C．
（已知二次函数函数值求自变量的值）
变式2-1．若抛物线的对称轴是直线，则方程 =5的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【详解】解：由题意： ，解得：b=-4
∴ =5
解得：，，故选：C
（抛物线与x轴有交点，求未知数取值范围）
典例3．已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【详解】∵二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，
∴△=(-1) 2-4×1×( m-1)≥0，
解得：m≤5，故选A．
（抛物线与x轴有交点，求未知数取值范围）
变式3-1．已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( )
A．k<4 B．k≤4
C．k<4且k≠3 D．k≤4且k≠3
【解析】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.
（图像法确定一元二次方程近似根）
典例4 下列表格是二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（）
A． B．
C． D．
【详解】
利用二次函数和一元二次方程的性质．
由表格中的数据看出-0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选C．
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系


有两个交点
根据函数图象求一元二次方程的近似解

一个交点
无交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
无实数根