21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1.掌握根与系数的关系；
2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值
教学重难点
重点：掌握根与系数的关系.
难点：利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
情景导入
前两天悄悄地听到咱班的小明和小青的一段对话，内容如下：
　　小明：我说小青，我有一个秘密，你想听吗？
　　小青：什么秘密？
　　小明：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗？
　　小青：哦？
小明：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么
说吧：她的年龄啊是方程
的两根的积，回去你把两根求出来就知道了．
小青：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，
而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程
的两根的和呢．
小明：哈哈，你太有才了．对了，咱们应该也让同学们猜一猜，不解方程，能不能求出张老师的年龄
完成下列表格，回答问题：
问题 你发现上面表格有什么规律？
思考1：从因式分解可知，方程(x-x1)(x-x2)=0（x1、x2已知数）的两根为x1，x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
归纳：
如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2,那么x1+x2= -p， x1 ·x2=q.
思考2：一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，二次根式系数a未必是1，它的两个根x1和x2的和、积与系数a,b,c有又怎样的关系呢？
证明猜想：一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
于是得到，一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间有怎样的关系？
归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）
即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
●注意,韦达定理使用的前提：(b2-4ac≥ 0且a≠0)
完成表格，你发现了什么规律.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2 x2+6x+8=0
x2-2x-3=0
x2-x-12=0
-4
-2
x1+x2=-6
x1 · x2=8
-1
3
x1+x2=3
x1 · x2=-3
4
-3
x1+x2=1
x1 · x2=-12
由因式分解法可知方程（x-x1)(x-x2)=0的两根为x1、x2，将方程展开化为x2+px+q=0的形式，试着总结一下x1、x2与p、q的关系.
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
可以发现:
当方程的二次项系数为1时,
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
思考:假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，你又有什么发现 如何证明
提示,利用求根公式
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
x1+x2= , x1 ·x2=
前提条件:b2-4ac≥0.
例题讲解
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根的和与积.
(1) x2 + 8x + 2 = 0;
(2) 2x2 + 8x -4 = 0;
(3) x2 - 6x - 15 = 0.
x1 + x2 = -8 , x1 x2 = 2.
x1 + x2 = -4 , x1 x2 = -2.
x1 + x2 = 6 , x1 x2 = -15.
例题讲解
例2 已知方程x2+kx-8=0的一个根是4，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=4 .
所以：x1 · x2=4x2=-8 即：x2=-2
由于x1+x2=4+(-2)=-k
得：k=2.
答：方程的另一个根是-2, k=2
例题讲解
例3 已知方程x2+6x+3=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，求
(1) x12+x22 的值; (2) + 的值
解：由根与系数的关系可知:
x1+x2 = -6 x1 · x2=3
(1) ∵(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22
∴ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
=(-6)2-2×3
=30
(2) +
=
例题讲解
例4 已知方程x2-7x-2=0的两个根为x1、 x2，求
(1) x1+x2= , (2) x1·x2= ,
(3) (x1-x2)2 = ,
(4) x12+x22 = .
7
-2
53
57
例题讲解
例5 设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.
解：由方程有两个实数根，得Δ= 4(k - 1)2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2.
∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
= 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4.
由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4,
解得 k1= 0 , k2 = 4 .
经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.
巩固训练
1.若方程 x2+bx+c=0的两个根为2022、 -2，那么b= , c= ．
-2020
-4044
2. 当k= 为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.
已知关于x的一元二次方程 mx2-2mx+ m -2=0
（1）若方程有实数根,求实数m的取值范围.
（2）若方程两根x1，x2满足∣x1-x2∣= 1 求m的值.
(1) m>0
(2) m=8
课堂小结
根与系数的关系（韦达定理）
内容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么x1+x2= , x1 ·x2=
应用
x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
+ =