21.3.1 实际问题与一元二次方程（1） 课件（共18张PPT）

21.3.1 实际问题与一元二次方程（1）
教学目标
知识与技能： 1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2）根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。 3）通过一元二次方程解决实际生活问题。 过程与方法: 通过利用一元二次方程求解实际问题，进而总结解决此类问题的方法，利用多媒体生动形象引导学生理解解题思路，再选用合适的方法求解一元二次方程,根据实际情况，选择合适的解。 情感态度与价值观： 1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。 2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重难点
重点：通过一元二次方程解决实际生活问题。
难点：通过实际问题中的数量关系，列方程并求解。
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽,左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
情景导入
封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm,则上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？
= 9：7
如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠, 水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m? 的 6 个矩形小 块，水渠应挖多宽？
水渠将耕地分为6个小矩形，而水渠的宽都相等，如何通过方程求解呢？下面我们先将几何图形变形，通过观察列方程求解？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}现有一个长方体木箱，底面是一个正方形，高为3m，体积为4.32m3，求该木箱的底面周长。
解：设这个长方体底面边长为xm，则 3x?＝4.32， 解得：x＝1.2 或 x＝﹣1.2（舍去） ∴该木箱的底面周长为4x＝4.8（m）， 答：该木箱的底面周长4.8m．
等腰梯形的面积为160cm? ，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求梯形的高。
根据题意得
整理，得
解得 x1=8 , x2=－20 ( 不合题意，舍去 ) 答：这个梯形的高为8cm.
变式1-1 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm? ，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ） A．x? +130x-1400=0 B．x? +65x-350=0 C．x? -130x-1400=0 D．x? -65x-350=0
（利用一元二次方程解决表格问题）
典例2 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？某风景区的旅游信息如下：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80=2400<2800，∴x>30．
根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，
解得：x1=40，x2=70．
当x=40时，80-（x-30）=70>55，
当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
利用一元二次方程解决动点问题
如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？
A
B
C
D
P
Q
【提示】设x s后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt △DAP 、 Rt △PBQ、 Rt △QCD的面积也都可以用含x的代数式表示，于是可以列出方程。
x
6
12
12-2x
2x
6-x
设x s后△DPQ的面积等于28cm2，则S△APD =______________ ，
S△PBQ =________________， S△DCQ =_________________
根据题意得，
?
????????×????×????????
?
????????×????????×(?????????)
?
????????×????×(?????????????????)
?
????????×????×????????+????????×????????×(?????????)+ ????????×????×(?????????????????)+28=72
?
解这个方程得，????2?6????+8=0
x1=2，x2=4
答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2
?
（利用一元二次方程解决动点问题）
典例3 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
设经过x s时间P、Q两点之间的距离是10cm。
3x
2x
2x
16-5x
?????????????????????+????????=????????????
解这个方程得x1=1.6，x2=4.8
答：1.6s或4.8s后P、Q距离是10cm
?
（利用一元二次方程解决动点问题）
变式3-1 当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？
当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
3x
2x
2x
16-5x
E
x=2时，由运动知AP＝3×2＝6 cm，CQ＝2×2＝4 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
∴QE＝AD＝6，
∴PE＝AB﹣BE﹣AP＝16﹣6﹣4＝6，
根据勾股定理得PQ=????????????+????????????=????????,
∴当x＝2 s时，P，Q两点的距离为6???? cm；
?
2x
（利用一元二次方程解决动点问题）
变式3-1 当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为多少？
当运动时间为4s时，P，Q两点的距离为多少？
P’
Q’
E
x=4时，由运动知AP’＝3×4＝12 cm，CQ’＝2×4＝8 cm，
∴四边形ABCD是矩形，
∴P’E＝AD＝6，
P’B=CE=AB-AP’=16-12=4
∴Q’E＝Q’C﹣CE＝8﹣4＝4，
根据勾股定理得P’Q’=????′????????+????????′????=????????????,
∴当x＝4 s时，P，Q两点的距离为?????????????cm；
?
（利用一元二次方程解决动点问题）
变式3-2 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．4秒钟 D．5秒钟
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，
由三角形的面积计算公式列方程得： ×（8﹣t）×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．
故当动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选B．