22.1.2 二次函数y=ax?的图象和性质 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质
教学目标
1、准确掌握二次函数y=ax2(a≠0)图象的形状、开口方向、对称轴和顶点的坐标；
2、经历用描点法画函数图象的过程,感受数形结合的思想和方法,能够由图像直观地观察得到函数的性质；
【知识点一】二次函数y=ax2(a≠0)的图象
二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图象都是抛物线，y轴是抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点。
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象
（1）按步骤列表、描点、连线。
（2）用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在O（0,0）点左右两侧（或在对称轴左右两侧）对称的选取自变量x的值，在计算y的值，这样的对应值选择月密集，描出的图象越精准。通常情况下，画图一般选取9个点，草图通常取5或7个点，但必须画出抛物线的顶点，然后对称的取其他各点。实际问题应在自变量取值范围内选取适当的几个点，一般选7个点，再进行描点。连线时要注意图象的平滑，特别是顶点处更要注意，不能画得太平或者太尖，要顺势用平滑曲线连接。
【知识点2】 二次函数y=ax2(a≠0)的性质
（1）二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线。我们把二次函数y=ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y=ax2(a≠0)。
（2）抛物线y=ax2(a≠0)的对称轴是y轴（即直线x=0），顶点是原点。
（3）当a>0时，抛物线y=ax2(a≠0) 的开口向上，顶点是它的最低点，抛物线在x轴上方（顶点在x轴上），并且向上无限延伸；
当a<0时，抛物线y=ax2(a≠0)的开口向下，顶点是它的最高点，抛物线在x轴下方（顶点在x轴上），并且向下无限延伸。
（4）当a＞0时，在y 轴左侧，y随x的增大而减小，在y 在右侧，y随x的增大而减大，函数y的值，当x=0时最小，最小值是0；
当a＜0时，在y 在左侧，y随x的增大而增大，在y 在右侧，y随x的增大而减小，函数y的值，当x=0时最大，最大值是0。
（5）当a的绝对值越大，图象越靠近y轴，抛物线开口越窄；
当a的绝对值越小，图象越远离y轴，抛物线开口越宽。
【知识点3】 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质列表如下：
函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而增大；x<0时，y随x增大而减小. 当x=0时，y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 x>0时，y随x增大而减小；x<0时，y随x增大而增大. 当x=0时，y最大=0
知识点一
探究新知
二次函数y=ax2的图象
y
x
O
2
-2
4
-4
6
8
4
2
-2
-8
-6
-4
1.请用用描点法画出二次函数y=x2和y=-x2的图象？
1.列表
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· ···
y = -x2 ··· ···
9
4
1
0
1
4
9
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
2.描点
3.连线
用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图象.
根据表中x, y的数值在坐标平面中描点(x, y)
【思考 1】
①自变量x的取值范围是什么
②要画二次函数y=ax2的图象,你认为x取整数好还是取其他数较好
③若选7个点画图,你准备怎样选
【思考 2】
描点:画坐标系时,应注意什么 如何描点
连线:这7个点是不是在同一条直线上
从图象可以看出,二次函数y=x2和y=-x2的图象都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
二次函数y=ax2的图象
01
二次函数y=ax2的性质
02
知识要点
精讲精练
【问题3】在同一直角坐标系中画出函数y=x2、y=0.5x2、y=2x2和y=-x2、y=-0.5x2、y=-2x2的图象.
知识点二
探究新知
二次函数y=ax2的性质
y
x
O
2
-2
4
-4
6
8
4
2
-2
-8
-6
-4
y=x2
y=2x2
y=0.5x2
y=-x2
y=-2x2
y=-0.5x2
利用“赣教云”或“希沃白板”画出上面的函数图象.
根据抛物线的图象从以下几点分析：
①抛物线的开口方向和开口大小(性质)；
②抛物线的对称轴；
③抛物线的最高(低)点即抛物线的顶点坐标；
④函数图象的增减性。
开口向上
y＝ax2 a＞0 a＜0
图 象
开 口
对称性 顶 点
增减性
关于y轴(或直线x=0)对称
顶点坐标是原点(0，0)
顶点是最低点(有最小值)
顶点是最高点(有最大值)
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
x
0
y
x
y
0
方向
大小
|a|越大,开口越小；|a|相同,抛物线的形状相同.
开口向下
知识点二
知识归纳
二次函数y=ax2的性质
知识点二
典例精讲
二次函数y=ax2的性质
【例2】根据条件,求下列个体中m的取值或取值范围.
(1)函数y=(2m-1)x2有最小值；
(2)函数y=(m-2)x2,当x＜0时,y随着x的增大而增大；
(3)y=(m+1)x2与y=2x2的函数图象形状相同；
(4)函数y=mxm2+m的图象是开口向下的抛物线.
解:(1)∵函数y=(2m-1)x2有最小值，
∴2m-1＞0,
∴m＞1/2,
(2)∵当x＜0时,y随着x的增大而增大，
∴m-2＜0,
∴m＜2,
(3)∵y=(m+1)x2与y=2x2的函数图象形状相同，
∴m+1=±2,
∴m=1或-3.
(4)∵函数y=mxm2+m的图象是开口向下的抛物线，
∴m2+m=2且m＜0,
∴m=-2.
1.抛物线y=2x2,y=-2x2,y=0.5x2的相同点是( )
A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最高点D.y随x的增大而增大
2.二次函数 的图象的顶点坐标是_____,对称轴是____,
开口向___,当x=___时,y有最___值,为___.
3.函数y=-6x2的图象的顶点坐标是_____,对称轴是　　,
开口向___,当x=___时,y有最____值,为____.
4.二次函数y=(m-3)x2的图象开口向下,则m的取值范围为_____.
5.已知 是二次函数,且当x＞0时,y随x增大而增大,则k=___.
B
(0,0)
y轴
上
0
小
0
(0,0)
y轴
下
0
大
0
m＜3
2
知识点二
当堂训练
二次函数y=ax2的性质
6.如图,观察函数y=(k-1)x2的图象,则k的取值范围是 .
7.已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)均在抛物线y=-4x2上,
下列说法中正确的是( )
A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y3＜y2＜y1
知识点二
当堂训练
二次函数y=ax2的性质
D
k＞1
x
y
O
8.已知函数 , , ， 的图象如图所示.抛物线①②③④分别对应哪个函数？
x
y
①
②
③
④
开口向上
y＝ax2 a＞0 a＜0
图 象
开 口
对称性 顶 点
增减性
关于y轴(或直线x=0)对称.
顶点坐标是原点(0，0)
顶点是最低点(有最小值)
顶点是最高点(有最大值)
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
x
0
y
x
y
0
方向
大小
|a|越大,开口越小；|a|相同,抛物线的形状相同.
开口向下
知识梳理
课堂小结
二次函数y=ax 的图象和性质
1.已知抛物线y=ax2经过点(1,3).
(1)求a的值；
(2)当x=3时,求y的值；
(3)说出此二次函数的三条形形状.
解：(1)把(1,3)代入y=ax2,得a=3.
(2)当x=3时,y=3×32=27.
(3)①该抛物线的开口向上；
②该抛物线的对称轴是y轴；
③当x＞0时,y随着x的增大而增大.
查漏补缺
巩固训练
二次函数y=ax 的图象和性质
2.已知二次函数y=x2,若x≥m时,y最小值为0,求实数m的取值范围.
解：∵二次函数y=x2，
∴m≤0．
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
提升能力
强化训练
二次函数y=ax 的图象和性质