2.6 正多边形与圆 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
2.6 正多边形与圆
教学目标
（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；
（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；
（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．
教学重难点
教学重点：
　　正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．
教学难点：
　　对定理的理解以及定理的证明方法．
问题导入
1．等边三角形的边、角各有什么性质？
　　2．正方形的边、角各有什么性质？
等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
正多边形的概念：
　　（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．
正多边形与圆有什么关系呢？
正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．
　　分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？
多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
　　(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
　　(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
问题1：如图，已知⊙O．
（1）用量角器把⊙O五等分，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；
（2）五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？
O
E
A
B
C
D
∴AB=BC=CD=DE=EA
∴∠A=∠B
同理∠B=∠C=∠D=∠E
∵AB=BC=CD=DE=EA
）
）
）
）
）
BCE=CDA
）
）
∴五边形ABCDE是正五边形，
证明
问题2：如图，点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．
（1）在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起；
（2）把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？
O
E
A
B
C
D
F
O
E
A
B
C
D
F
六边形ABCDEF是正六边形
定义：一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点就得到这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆.正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.
归纳
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫作正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，
叫做正多边形的中心角.
中心角
A
B
D
E
F
O
C
M
半径
边心距
(
例 如图，正六边形ABCDEF的半径为4.求这个正六边形的周长和面积.
E
A
B
C
D
F
O
解: （1） 连接OA，OB，
根据题意，得∠AOB=360°÷6=60°.
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形,AB=OA＝4
正六边形的周长l=4×6=24.
例题精讲
（2）过点O作OG⊥AB,垂足为G.
在Rt△OAG中,OA＝4,AG＝2
正六边形的面积
问题1 正n边形的中心角怎么计算？
问题2 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
问题3 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
探 究 正多边形的有关计算
圆内接正多边形的辅助线
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
边心距r
边长一半
半径R
C
M
中心角一半
1.正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（　　）
B
课堂练习
2.如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，
则∠ADE的度数是 （ ）
A．60° B．45° C． 36° D． 30°
·
A
B
C
D
E
O
C
3.如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2，
则该圆的内接正三角形ACE的面积为（　　）
H
D
4.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥ CD，交DB的延长线于点F，
则∠DFA等于（　　）
A.30° B.36° C.45° D．32°
B
5．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为 ．
6.已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四边形的周长是 ．
12
7.如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH= 度．
15
A
B
C
D
E
8.求证：正五边形的对角线相等.
证明： 在△BCD和△CDE中
∵BC=CD
∠BCD=∠CDE
CD=DE
∴△BCD≌△CDE
∴BD=CE
同理可证对角线相等.
已知：五边形ABCDE是正五边形.
求证：DB=CE.
9.如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON= ;
图③中∠MON= ;
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
.
A
B
C
M
N
M
N
M
N
O
O
O
90 °
72 °
120 °
图①
图②
图③
正多边形和圆
正多边形和圆的关系
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆
中心
半径
边心距
中心角
把圆分成n(n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.
课堂小结
通过本节课的学习,你有哪些收获？