1.2.1 矩形的性质 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
1.2.1 矩形的性质
教学目标
【知识与技能】
1.了解矩形的定义，理解矩形的性质，能利用矩形的性质解决问题.
2.掌握直角三角形斜边上的中线的性质，能运用它解决直角三角形中的线段求值问题.
【过程与方法】
在观察、探究、归纳、推理论证等活动过程中，加深学生对知识的理解和掌握，锻炼分析问题、解决问题的能力，增强数学应用意识.
【情感态度】
进一步增强学生的逻辑推理能力，发展数学思维.
教学重难点
【教学重点】
矩形的性质及其推论.
【教学难点】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
情景导入
观察思考，如图（1）将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形ABCD；转动这个四边形使A′B′⊥B′C′时如图（2），就得到一个特殊的平行四边形，你能说出这时平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？与同伴交流.
活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形
思考探究
做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.
（1）矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .
轴对称图形
2条
活动探究：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,
发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
填一填
根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横线上.
角： .
对角线： .
A
B
C
D
四个角为90°
相等
O
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线)
AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°,
∴∠BCD = 90°.
求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等.
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线 AC与DB相较于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
（2）AC=DB.
A
B
C
D
O
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
证明猜想
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
1.矩形的四个角都是直角.
2.矩形的对角线相等.
定理
A
B
C
D
O
归纳结论
矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
角：四条角都是90°.
对角线：相等.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
矩形的特殊性质
平行四边形的性质
例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
A
B
C
D
O
典例精析
A
B
C
D
O
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA=2×2.5=5.
你还有其他解法吗？
例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.
求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE= DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
已知：如右图,四边形ABCD是矩形,对角线AC与BD交于点E.
证明：在Rt△ABC中,BE= AC.
A
B
C
D
E
证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
BE= DE= BD,AE=CE= AC (矩形对角线相互平分),
∴BE= AC.
直角三角形斜边上的中线上的性质
三
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
定理
例3：如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝2(1)BC，DG＝2(1)BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理．
练一练：根据右图填空
已知△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则
AC =_____cm, BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
归纳总结
直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知∠AOB=60° , AC=16,则图中长度为8的线段有（ ）
A.2条 B.4条 C.5条 D.6条
D
A
B
C
D
O
60°
当堂练习
2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= (4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
平行四边形
1.矩形是轴对称图形和中心对称图形
2.矩形四个角都是直角
3.矩形的对角线相等且相互平分
矩形
性质
有一个角是直角
转换
直角三角形
等腰三角形
课堂小结
课后作业
1.布置作业:61页9题
2.完成练习册中本课时练习.