2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共17张PPT）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1．知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。 2．过程与方法：经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。 3．情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重难点
1．根与系数关系及运用 2．定理的发现及运用。
我们知道生活中许多事物存在着一定的规律，有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如： 抛出的重物总会落下------------------万有引力定律（牛顿）
电路中的电流、电压、电阻存在一定关系：U=
-------------------欧姆定律（欧姆）
而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如：
直角三角形的三边a，b，c满足关系：
+
=
————————勾股定理（毕达哥拉斯）
　
1.一元二次方程的一般形式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
探索规律
1.解下列方程：
(1) x2-2x+1=0;
(3) 2x2 - 3x + 1 = 0
因式分解
配方法
公式法
方程
x1
x2
x1 + x2
x1 · x2
x2 - 2x + 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0
1
1
2
-1
-1
1
探索规律
思考：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
思考：对于任何一个一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)都成立吗？
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
探究新知
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
探究新知
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么
注意
1.满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
得出结论
2.注意符号问题
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
例题讲解
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，
其中x1=2 .
∴ x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=-7.
答：方程的另一个根是 ，k=-7.
探究新知
例3：已知x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根，
(1)求x12+x22的值
(2)求(x1-x2)2的值
解： 由题意，得
x1 + x2= 4 ，x1·x2=1
∴ x12+x22 = (x1+x2 )2- 2 x1x2 = 16 - 2×1 =14
∴ (x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2 = 16 - 4×1 =12
探究新知
两根均为负的条件： x1+x2 ，且x1x2 .
两根均为正的条件： x1+x2 ，且x1x2 .
两根一正一负的条件：x1x2 .
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：
b2-4ac≥0
规律补充
<0
>0
>0
>0
<0
课堂练习
1.若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是( )
A. -10 B. 10 C. -16 D. 16
A
2. 已知x1，x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，则ba的值是（ ）
A. 1/4 B. -1/4 C. 4 D. -1
A
　
3.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.
解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1.
Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .
(2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1.
Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0 ∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .
课堂练习
总结常见的求值:
(2) (x1-x2)2
(3) (x1+1) (x2+1)
=x1x2+(x1+x2 )+1
= (x1+x2 )2-4x1x2
(1) x12 + x22
= (x1+x2 )2-2x1x2
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
课堂小结