2.5 三角函数的应用 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
2.5 三角函数的应用
1.巩固用三角函数有关知识解决问题,学会解决坡度、坡角问题.
2.掌握坡度与坡角的关系,能利用解直角三角形的知识,解决与坡度有关的实际问题.
3.培养学生的数学意识,渗透数形结合的数学思想和方法.
重点:理解坡度和坡角的概念.
难点:利用坡度和坡角等条件,解决有关的实际问题.对于坡度i表示成1∶m的形式学生易疏忽,教学中应着重强调,引起学生的重视.
解直角三角形在实际问题中有着广泛的应用.
如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度. 他站在距离水杉树 8 m 的 E 处，测得树顶的仰角∠ACD = 52°，已知测角器的架高 CE = 1.6 m，问树高 AB 为多少米？(精确到0.1m)
E
B
D
C
A
52°
在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；
当视线在水平线下方时叫做俯角.
铅垂线
水平线
仰角
俯角
视线
视线
E
B
D
C
A
52°
解 在Rt△ACD 中，∠ACD = 52°，CD = EB = 8 m.
由 tan ∠ACD = ，得
AD = CD · tan ∠ACD
= 8×tan 52°
= 8×1.279 9
≈ 10.2（m）
E
B
D
C
A
52°
由 DB = CE = 1.6 m，得
AB = AD + DB
= 10.2 + 1.6
= 11.8（m）
答：树高 AB 为 11.8 m.
例1 如图，铁路路基的横断面是四边形 ABCD. AD∥BC，路基顶宽 BC = 9.8 m，路基高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1: 1.6，斜坡 CD 的坡度 i′ = 1: 2.5，求铁路路基下底宽 AD 的值（精确到 0.1 m）与斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)的值.
A
D
E
B
C
α
β
i = 1∶ 1.6
i′ = 1∶ 2.5
9.8
A
D
E
B
C
α
β
i = 1∶ 1.6
i′ = 1∶ 2.5
9.8
解 过点 C 作 CF ⊥AD 于点 F，得
CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠D = β.
F
∵ BE = 5.8 m， ， ，
A
D
E
B
C
α
β
i = 1∶ 1.6
i′ = 1∶ 2.5
9.8
F
∴AE = 1.6×5.8 = 9.28（m），
DF = 2.5×5.8 = 14.5（m）.
AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6（m）
A
D
E
B
C
α
β
i = 1∶ 1.6
i′ = 1∶ 2.5
9.8
F
由 tan α = i = ，tan β = i′ = ，得
α ≈ 32°，β ≈ 22°.
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32°和 22°
例2 已知：在直线 y = kx + b 上有任意两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），这条直线向上方向与 x 轴正方向所夹的锐角为 α.
求证：tan α = = k.
证明 由 α 是锐角，可知直线 y = kx + b 是上升的，即函数 y = kx + b 的值随 x 值的增大而增大.
x
y
O
α
Q1
Q2
α
R
P1（x1，y1）
P2（x2，y2）
如图，设 x1＜ x2，则 y1＜y2. 过点 P1，P2 作 x 轴的垂线，垂足分别为 Q1， Q2，再过点 P1 作 x 轴的平行线P1R 交 P2Q2 于点 R，得
∠P2P1R = α.
x
y
O
α
Q1
Q2
α
R
P1（x1，y1）
P2（x2，y2）
∵ P1，P2 都在直线 y = kx + b上，
∴ y1 = kx1 + b， ①
y2 = kx2 + b. ②
由 ② – ①，得
在△P2P1R 中，
tan α = = =
x
y
O
α
Q1
Q2
α
R
P1（x1，y1）
P2（x2，y2）
y2 – y1 = k（x2 – x1）
∴ k = .
即 tan α = = k.
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