江西省萍乡市芦溪中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（尖子班)（Word版含解析）

芦溪中学2022-2023学年第一学年高二（尖子班）
数学测试题
姓名：
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
设，且，则
A. B. C. D.
甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是
A. 甲被录用了B. 乙被录用了C. 丙被录用了D. 无法确定谁被录用了
用数学归纳法证明：“”从“到”左端需增乘的代数式为
A. B. C. D.
如图，已知：与x轴的正半轴交于点A，与曲线C：交于第一象限的点B，则阴影部分的面积为
A. B.
C. D.
的展开式的常数项是
A. 5 B. C. D.
设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为
A. B. C. ， D.
曲线在点处的切线方程是
A. B. C. D.
有10件产品，其中4件是正品，其余都是次品，现不放回的从中依次抽2件，则在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是
A. B. C. D.
若是函数的极值点，则的极小值为
A. B. C. D. 1
已知：，则
A. B. C. 112 D. 448
为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为
A. B. C. D.
设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数在区间上的最大值为10，则其最小值为________________________
对任意复数，i为虚数单位，下列结论正确的是 填序号．
．
2020年第55届斯韦思林杯世界乒乓球男子团体赛由五场单打组成，中国乒乓球队计划派出许昕、樊振东、马龙、林高远、梁靖崑参赛，其中许昕、马龙两人不连续出场，林高远、梁靖崑两人也不连续出场，则出场顺序有________种
若，，且函数在处取得极值，则的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
在体育课投篮测试中，规定每个学生最多有5次投球机会，若学生累计投中3次或累计3次投不中即终止投球，投中3次为合格，3次投不中则不合格，已知某同学每次投球投中的概率为。
求该同学投球3次就结束投篮测验的概率；
求该同学在投篮测验中投球次数X的分布列，并求X的数学期望。
已知函数．
若，求函数的单调区间；
对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x与物理成绩y如下表：
数学成绩 x 145 130 120 105 100
物理成绩 y 110 90 102 78 70
数据表明y与x之间有较强的线性关系．
求y关于x的线性回归方程；
该班一名同学的数学成绩为110分，利用中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误的概率不超过的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据：回归直线的系数，．，．
，．
已知函数，，其中，．
试讨论函数的极值；
当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值．
为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
经计算，样本零件直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为x，并根据以下不等式进行评判表示相应时间的概率：
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁试判断设备M的性能等级．
将直径小于或直径大于的零件认为是次品
从设备M的生产流水线上任意抽取2件零件，求其中次品个数的数学期望；
从样本中任意抽取2件零件，求其中次品个数的数学期望．
设a，b，c都是正数，且．
求的最小值；
证明：．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题由题意直接化简求解即可．
【解答】
解：
，
，
，
解得．
故选A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
利用反证法，即可得出结论．
【解答】
解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；
假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，
若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用；
若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立．
故选A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
写出从到时左边需增乘的代数式，化简即可．
【解答】
解：当时，左端，
当时，左端，
从到时左边需增乘的代数式是：．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查定积分，属于基础题．
首先求出B点的坐标和扇形OAB的面积，再根据进行求解．
【解答】
解：由
．
连接OB．
：，
则，
．
故过D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
由于的通项为，可得的展开式的常数项．
【解答】
解：由于的通项为，
故的展开式的常数项是，
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正态分布的简单应用根据正态分布的性质，直接求即可．
【解答】
解：随机变量服从正态分布，若，
，．
故选C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数导数的几何意义，属基础题．
将进行求导然后代入计算即可得的值，再求出，根据点斜式即可求得切线方程．
【解答】
解：，
，又，
函数的图象在点处的切线方程是，
即，
故选C．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，属于基础题，解题时要认真审题，注意条件概率的性质的合理运用．
设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，则，
由此能求出在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
【解答】
解：设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，
则，
，
在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
故选C．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究函数的极值，属中档题．
求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
【解答】
解：
，
是的极值点，，
即，解得，
，，
由，得或；由，得，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二项式定理的应用及二项展开式的特定项的系数，考查了推理与计算能力，属于基础题．
令，则原式变形为，即求的系数，从而运用二项式定理求解即可．
【解答】
解：令，，
故，
故选A．
11.【答案】D
【解析】 【分析】
本题主要考查古典概型及其概率计算公式，对立事件的概率计算，组合公式，属于中档题．
利用对立事件，先求得不能获奖的概率，用1减去此概率，即求得可获奖的概率．
【解答】
解：5袋食品中放入的卡片所有可能的情况有种，
因为不能获奖表明5袋食品中所放的卡片类型不超过2种，
故不能获奖的所有可能的情况有种因为5袋食品中所放的卡片全是相同的情况每一种都重复记了一次，故减，
所以获奖的概率是，
故选：D．
12.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，属于较难题．
分别设，利用导数研究单调性，作出两个函数的大致图象，从而列出不等式，解得a的范围．
【解答】
解：由题意可知存在唯一的整数，使得，
设，，
由，
可知在上单调递减，在上单调递增；
过定点，
作出与的大致图象如图所示，
由题可知，且，
可得，
又，
故由题还需满足：
故解得：
所以，
故选D．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的最值，根据题意求出函数的导函数，令导函数为0，求出导函数的根，求出函数在导函数的两个根处的函数值及区间的两个端点对应的函数值，进而可得k的值，从而即可求得结果．
【解答】
解：，
令得或，
所以，，，，
则，
解得，
因此最小值为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查复数求模，共轭复数，考查复数的概念的应用和复数的运算，属于基础题．
利用复数模的概念和复数的运算，结合不等式判断即可．
【解答】解：对于，，，不正确
对于，，不正确
对于，不一定成立，不正确
对于，，正确．
15.【答案】48
【解析】【分析】
本题考查了排列问题的解决，属于中档题．
由题意可知，五个元素排列，AB不相邻，CD不相邻，可借助反向考虑，所有情况去掉相邻情况即可．
【解答】
解：由题意可知，五个元素排列，AB不相邻，CD不相邻，可借助反向考虑，所有情况去掉相邻情况即可．
所以所有排列方法有
种，
故答案为48．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数极值的概念，以及根据导数符号判断函数极值和最值的方法及过程，清楚函数在极值点处的导数为0，注意正确求导．
先求导可得，则可推出，令，进而利用导函数与函数单调性的关系，即可求出的取值范围，即可得的取值范围．
【解答】
解：因为，
由题意得，
所以，所以，
令，
，
因为，所以．
又，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
故的取值范围是．
故答案为．
17.【答案】解：该同学投球3次就结束了投篮测验的概率为：；
由题知：X可能取的值为3，4，5，且；
所以X的分布列为：
X 3 4 5
P
．
【解析】略
18.【答案】解：若，则，定义域为，
，
令，得；令，得．
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
对任意的，不等式恒成立，等价于在恒成立，
令，，
则，
令，，
则，
所以在单调递增，而，
所以时，，即，单调递减；
时，，即，单调递增．
所以在处，取得最小值，
所以，
即实数a的取值范围是．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及不等式恒成立问题，属于较难题．
求导，令求出函数的单调递增区间；令求出函数的单调递减区间；
由题意得到在恒成立，令，，求出的最小值即可求解．
19.【答案】解：由题意可知，，
故，
，
故回归方程为．
将代入上述方程，
．
由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36．
抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，
故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人．
于是可以得到列联表为：
物理优秀 物理不优秀 合计
数学优秀 24 6 30
数学不优秀 12 18 30
合计 36 24 60
，
因此在犯错误概率不超过的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关．
【解析】本题考查统计的相关知识．
由题意可知，，求出相关系数即可求解；
将代入上述方程，即可得到估计值；
由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人，得到列联表，求出观测值即可判断．
20.【答案】解：由题意得的定义域为，．
当时，在区间内恒成立，
在区间内单调递增，无极值．
当时，令，得；令，得．
在区间内单调递增，在区间内单调递减，
在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值．
由知当时，的最大值为．
由题意得，且在区间内单调递增．
又，，
存在，使得，
且当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
．
，
，
，
．
令，
则由对勾函数的性质可知函数在区间内单调递减，
，
，即，即．
对任意的，，总有成立，
，
即，
，即．
又，
的最大值为0．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值及恒成立问题，属于困难题．
解决问题的关键是：结合其导函数，对a分类讨论，求解单调性，得到函数的极值；
问题转化为，即，求解不等式即可．
21.【答案】解：，
，
，
因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；
易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为，
由题意可知，于是；
由题意可知Z的分布列为
Z 0 1 2
P
故E．
【解析】本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；
易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为，
由题意可知，于是；
确定Z的取值，求出相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望
22.【答案】解：因为a，b，c都是正数，且，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
因此的最小值为4．
证明：因为
，
当且仅当时，等号成立，
而a，b，c都是正数，且，
所以当且仅当时，等号成立．
又因为
，
当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立．
【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，基本不等式和运用综合法证明，考查了学生的推理论证能力和运算能力，属于较难题
利用题目条件得，再利用基本不等式求最值，计算得结论；
利用基本不等式，结合综合法证明不等式，并注意有两个或两个以上等号时，要找到统一的等号成立的条件，最后结果才能取等号，从而得结论．