江西省萍乡市芦溪中学2022-2023学年高三上学期9月开学考试数学（理）试题（Word版含解析）

芦溪中学2022-2023学年年度第一学期
高三数学（理）测试
姓名：___________班级：___________
一、单选题（60分）
1．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合中所含元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．已知函数．则的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知全体实数集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
7．如果函数y=f（x）在区间I上是减函数，而函数在区间I上是增函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．可以证明函数的单调增区间为，；单调减区间为，．若函数是区间I上“缓减函数”，则下列区间中为函数I的“缓减函数区间”的是（ ）
A．（﹣∞，2] B． C． D．
8．函数对任意，都有的图形关于对称，且 则（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2
9．函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若存在使不等式成立，则整数的最小值为( )A． B．0 C．1 D．
12．已知，若 x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞） B． C．（0，＋∞） D．
二、填空题（20分）
13．函数的单调减区间为__________.
14．函数的值域为________.
15．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值___.
16．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.
三、解答题（70分）
17．设集合，，．
(1)，求；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
18．已知一元二次函数，满足．
(1)求的解析式；
(2)解关于x的不等式．
19．已知二次函数．
(1)若在区间上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围．
20．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
21．已知函数 是奇函数．
(1)求实数的值；并说明函数的单调性（需证明）；
(2)若对任意的实数，不等式恒成立， 求实数的取值范围．
22已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。
参考答案：
1．D2．C3．B4．C5．D6．C
【详解】设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，
当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
故
故选：C
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.
7．C
【详解】由题意可知，对于，是二次函数，
其对称轴为，在区间上为减函数，
对于，
在区间和上为减函数，
在和为增函数，
若函数是区间上“缓减函数”，
则在区间上是减函数，
函数在区间上是增函数，
区间为或 ，
故选.
8．B
【详解】函数周期为，，
的图形关于对称，故关于对称，.
故.
故选：B.
9．A
【详解】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
10．A
【分析】由的特性结合函数图象平移变换可得是奇函数，由可得函数的周期，由此探讨出的值域，再将所求问题转化为不等式在上有解即可.
【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，
由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，
又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，
又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，
而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，
因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，
当时，取，成立，即得，
当时，在上有解，必有，解得，则有，
综上得，
所以满足条件的实数构成的集合为.
故选：A
11．A
【分析】求f(x)导数判断f(x)单调性，根据单调性去掉不等式的“f”，参变分离出参数m，构造函数，问题转化为，通过g(x)导数判断g(x)单调性求其最小值即可.
【详解】由，可得，
∴在上单调递增，
∴不等式成立等价于，
∴对于有解，
令，只需，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴，，
∴，∴．
∴整数的最小值为．
故选：A．
12．B
【分析】分和进行分类讨论，分别确定m的取值范围，最后综合得答案.
【详解】时，，符合题意；
时，，即
显然在R上递增，则对恒成立
对恒成立
则：；
综上，，
故选：B．
13．##
【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.
【详解】函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，
函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，
而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：.
14．
【分析】先求出的取值范围，再求出，且，即得解.
【详解】解：由题得且.
因为, 且.
所以原函数的值域为.
故答案为：
15．1
【分析】先将函数化简变形得，然后构造函数，可判断为奇函数，再利用奇函数的性质结合可得，从而可求得结果
【详解】由题意知，（），
设，则，
因为，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以.
故答案为：1
16．
【分析】分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.
【详解】解：当时，，
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
则此时函数的值域不是，
故不符合题意；
当时，，，
，，
因为函数的值域为，
所以，解得，
综上所述实数的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)
(2)或
18．(1)
(2)解集见解析
【分析】（1）将已知代入解析式即可求出c、b的值；
（2）不等式化为，计算讨论a的取值范围，求出不等式对应的方程的解，即可写出对应不等式的解集.
(1)
解：函数，由，得
因为，所以解得；
所以.
(2)
关于x的不等式可化为
因为
所以当即时，原不等式对应的方程无实数根，
又二次函数的图像开口向上，所以原不等式的解集为；
当，即时，原不等式对应的方程有两个相等的实数根，
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
当即或时，原不等式对应的有两个相等的实数根，
分别为且
所以原不等式解集为.
综上所知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当或时，原不等式解集为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；
（2）将在上恒成立，转化为在恒成立求解．
(1)
解：因为在单调递增，
所以，
解得；
(2)
因为在上恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立．
令，则，
当且仅当时等号成立．
所以．
20．（1）；（2）．
【分析】（1）把代入即可求得的值；
（2）根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.
【详解】（1）由题意可知，故；
（2）因为，所以，
又因为时，药物释放量对人体有害，
所以或，解得或，所以，
由，故对人体有害的时间为．
21．(1)，增函数
(2)
22解：（1）．……1分
因为为的极值点，所以．…………………………………2分
即，解得． ………………………………………3分
又当时，，从而的极值点成立．……………4分
（2）因为在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立．…5分
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故符合题意．…………………………………………6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，
所以上恒成立． …………………7分
令，其对称轴为， ………8分
因为所以，从而上恒成立，只要即可，
因为，解得． ………………………………9分
因为，所以．
综上所述，的取值范围为． ………………………10分
（3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域． ……………………11分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则 ， ……………………12分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数， ………………13分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0． …………………………14分
方法2：因为，所以．
设，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，
因此必存在实数使得，
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0． …………………………………………12分
试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页