人教A版（2019)高中数学必修第一册 4.4　对数函数课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
4.4　对数函数
第四章　指数函数与对数函数
目录
二、知识讲解
三、小结
四、练习
一、上节回溯
一、上节回溯
对数
指数幂的运算性质
指数幂及其运算
对数的运算性质
换底公式
二、知识讲解
　　在 4.2 节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．
二、知识讲解
4.4.1　对数函数的概念
　　 在 4.2.1 的问题 2 中，我们已经研究了死亡生物体内碳 14 的含量 y 随死亡时间 x 的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳 14 的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间 x 是碳 14 的含量 y 的函数吗？
？
思考
二、知识讲解


y
x
1
O
y0
(x0，y0)
图 4.4-1
二、知识讲解

二、知识讲解
例1　求下列函数的定义域：
（1）y＝log3 x2；
（2）y＝loga (4－x) (a>0，且 a≠1)．
解：（1）因为 x2>0，即 x≠0，所以函数 y＝log3 x2 的定义域是
{x | x≠0}．
（2）因为 4－x>0，即 x<4，所以函数 y＝loga (4－x) 的定义域是
{x | x<4}．
二、知识讲解
例2　假设某地初始物价为 1，每年以 5% 的增长率递增，经过 y 年后的物价为 x．
（1）该地的物价经过几年后会翻一番？
（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．
物价 x
年数 y
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
0
二、知识讲解
解：（1）由题意可知，经过 y 年后物价 x 为 x＝(1＋5%)y，即 x＝1.05y (y∈ [0，＋∞))．由对数与指数间的关系，可得 y＝log1.05 x，x∈[1，＋∞)．由计算工具可得，当 x＝2 时，y≈14．所以，该地区的物价大约经过 14 年后会翻一番．
（2）根据函数 y＝log1.05 x，x∈[1，＋∞)，利用计算工具，可得下表：
　　由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加 1 倍所需要的时间在逐渐缩小．
物价 x
年数 y
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
0
23
14
28
33
37
40
43
45
47
二、知识讲解
4.4.2　对数函数的图象和性质
　　与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质．
　　不妨先画函数 y＝log2 x 的图象．
　　请同学们完成 x，y 的对应值表 4.4-1，并用描点法画出函数 y＝log2 x 的图象（图 4.4-2）．
二、知识讲解
x
y
8
－1
1
4
0.5
0
1
12
2
6
16
表 4.4-1
x
y
O
图 4.4-2
-6
-2
-4
5
10
15
2
4
y＝log2 x
6
8
二、知识讲解

？
思考

二、知识讲解
　　为了得到对数函数 y＝loga x (a>0，且 a≠1) 的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察．
y
x
O
log2 x

P
P1
1
图 4.4-3

二、知识讲解
选取底数 a (a>0，且 a≠1) 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数 y＝loga x (a>0，且 a≠1) 的值域和性质吗？
探究
二、知识讲解
　　如图 4.4-4，选取底数 a 的若干值，用计算工具画图，发现对数函数 y＝loga x 的图象按底数 a 的取值，可分为 01 两种类型．因此，对数函数的性质也可以分 01 两种情况进行研究．
y
x
O
y＝log2 x

1
图 4.4-4
y＝log3 x
y＝log4 x


二、知识讲解
　　一般地，对数函数的图象和性质如表 4.4-2 所示．
x
y
O
x＝1
y＝loga x
(1，0)
定义域
图象
值域
性质
（2）减函数
（1）过定点 (1，0)，即 x＝1 时，y＝0
（2）增函数
(0，＋∞)
R
0a>1
表 4.4-2
x
y
O
x＝1
y＝loga x
(1，0)
二、知识讲解
例3　比较下列各题中两个值的大小：
（1）log2 3.4，log2 8.5；
（2）log0.3 1.8，log0.3 2.7；
（3）loga 5.1，loga 5.9 (a>0，且 a≠1)．
解：（1） log2 3.4 和 log2 8.5 可看作函数 y＝log2 x 的两个函数值．因为底数2>1，对数函数 y＝log2 x 是增函数，且 3.4<8.5，所以 log2 3.4（2）log0.3 1.8 和 log0.3 2.7 可看作函数 y＝log0.3 x 的两个函数值．因为底数0.3<1，对数函数 y＝log0.3 x 是减函数，且 1.8<2.7，所以 log0.3 1.8>log0.3 2.7．
二、知识讲解
例3　比较下列各题中两个值的大小：
（1）log2 3.4，log2 8.5；
（2）log0.3 1.8，log0.3 2.7；
（3）loga 5.1，loga 5.9 (a>0，且 a≠1)．
解：（3） loga 5.1 和 loga 5.9 可看作函数 y＝loga x 的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数 a 是大于 1 还是小于 1，因此需要对底数 a 进行讨论．
　　当 a>1 时，因为函数 y＝loga x 是增函数，且 5.1<5.9，所以 loga 5.1　　当 0 loga 5.9．
二、知识讲解
例4　溶液酸碱度的测量．
　　溶液酸碱度是通过 pH 计算的．pH 的计算公式为 pH＝－lg [H+]，其中[H+] 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
（1）根据对数函数性质及上述 pH 的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]＝10－7 摩尔/升，计算纯净水的 pH．
二、知识讲解

　　 胃酸中氢离子的浓度是 2.5×10－2 摩尔/升，胃酸的pH 是多少？
？
二、知识讲解

二、知识讲解

二、知识讲解
　　一般地，指数函数 y＝ax (a>0，且 a≠1) 与对数函数 y＝loga x (a>0，且 a≠1) 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．
对于指数函数 y＝2x，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？
探究
二、知识讲解
4.4.3　不同函数增长的差异
　　在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间 [0，＋∞) 上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？
探究
二、知识讲解
　　不妨以函数 y＝2x 和 y＝2x 为例．
　　利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表 4.4-3），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图 4.4-5）．
x
y＝2x
2.5
1
2
1.5
0
1.414
0.5
3
1
2

表 4.4-3
y＝2x
2.828
4
5.657
8


0
1
2
3
4
5
6
x
y
O
图 4.4-5
3
1
5
1
2
3
2
4
y＝2x
6
8
y＝2x
7
二、知识讲解
　　下面在更大的范围内，观察 y＝2x 和 y＝2x 的增长情况．
　　从表 4.4-4 和图 4.4-6 可以看到，当自变量 x 越来越大时，y＝2x 的图象就像与 x 轴垂直一样，2x 的值快速增长；而函数 y＝2x 的增长速度依然保持不变，与函数 y＝2x 的增长速度相比几乎微不足道．
x
y＝2x
10
1
16
6
0
4
2
12
4
8

表 4.4-4
y＝2x
64
256
1 024
4 096


0
4
8
12
16
20
24
x
y
O
图 4.4-6
600
200
1 000
5
10
15
400
800
y＝2x
y＝2x
20
二、知识讲解

选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间 [0，＋∞) 上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？
探究
二、知识讲解
x
y＝lg x
50
不存在
1.301
30
0
1
10
60
20
40

表 4.4-5

1.477
1.602
1.699
1.778


0
1
2
3
4
5
6
x
y
O
图 4.4-7
60
50
3
10
30
40
1
2
y＝lg x

20
4
5
6

？
思考
二、知识讲解
类比上述过程，
（1）画出一次函数 y＝2x，对数函数 y＝lg x 和指数函数 y＝2x 的图象，并比较它们的增长差异；
（2）试着概括一次函数 y＝kx (k>0)，对数函数 y＝loga x (a>1) 和指数函数 y＝bx (b>1) 的增长差异；
（3）讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义．
探究
三、小结
图象
对数函数
概念
性质
不同函数增长的差异

四、练习

四、练习
3．比较下列各题中两个值的大小：
（1）lg 0.6，lg 0.8；（2）log0.5 6，log0.5 4；（3）logm 5，logm 7．
答案： （1）lg 0.6（3）当 0logm 7；当 m>1 时，logm 54．某地去年的 GDP（国内生产总值）为 3 000 亿元人民币，预计未来 5 年的平均增长率为 6.8%．
（1）设经过 x 年达到的年 GDP 为 y 亿元，试写出未来 5 年内，y 关于 x 的函数解析式；
（2）经过几年该地 GDP 能达到 3 900 亿元人民币？
答案：（1）y＝3 000×1.068x，0四、练习
四、练习
5．三个变量 y1，y2，y3 随变量 x 变化的数据如下表：
其中关于 x 呈指数增长的变量是___________．
答案：y2．
y3
y2
5
x
130
30
5
10
90
15
20
30
5
y1
505
1 130
2 005
0
4 505
3 130
1 620
524 880
170 061 120
25
29 160
5
9 447 840
55
80
105
130
155
6．如图，对数函数 y＝lg x 的图象与一次函数 y＝f (x) 的图象有 A，B 两个公共点．求一次函数 y＝f (x) 的解析式．
答案：f (x)＝(x－1)lg 2．
四、练习
y
x
O
A
B
y＝lg x
y＝f (x)
2
谢谢观看