苏科版九年级数学上册 第2章对称图形——圆 单元达标测试题（含答案解析）

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《第2章对称图形——圆》单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．平面上三个点确定一个圆 B．等弧所对的圆周角相等
C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线
2．如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．已知矩形ABCD的边AB＝5，BC＝12，以点A为圆心作圆A，使B、C、D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是（　　）
A．5≤r≤13 B．5≤r≤12 C．5＜r＜12 D．5＜r＜13
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（　　）
A．15° B．28° C．29° D．34°
6．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（　　）
A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm
C．6.5 cm D．5 cm或13cm
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为（　　）
A． B． C． D．1
8．如图，水平地面上有一面积为30cm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，且OA与地面垂直，在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则点O移动的距离为（　　）
A．20cm B．24cm C．10cm D．30cm
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．半径为2的圆的内接正三角形的面积是　 　．
10．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，那么OM的长为　 　cm．
11．如图，A、B、C是⊙上的三个点，∠ABC＝130°，则∠AOC的度数是　 　．
12．已知直角△ABC的两直角边的长分别为6、8，则此直角三角形的内切圆的半径为　 　．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝6，则⊙O的直径为　 　．
14．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数　 　．
15．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转，使斜边A′B′过B点，则线段CA扫过的面积为　 　．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝20°，求∠BOE的度数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．求证：AB是⊙O的切线．
19．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，CD＝，求⊙O的半径．
21．如图所示，已知圆锥底面半径r＝10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和侧面展开图的面积．
（2）若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？
22．如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．
（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．若AD＝2，CD＝3，求GF的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；
B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 相等，故选项B正确；
C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；
D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；
故选：B．
2．解：连接OD，OC，
∵∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝100°，
∴AC弧＝100°，
∵D是弧AC的中点，
∴AD弧＝50°，
∴BD弧＝130°，
∴∠DOB＝130°，
∴∠DAB＝∠DOB＝65°
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝12，
在Rt△ABC中，AC＝＝13，
∵以点A为圆心作圆A，使B、C、D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
即点B在圆内，点C在圆外，
∴5＜r＜13．
故选：D．
4．解：连接OC，如图所示：
∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对，
∴∠BOC＝2∠CDB，又∠CDB＝20°，
∴∠BOC＝40°，
又∵CE为圆O的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°，
则∠E＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
5．解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．
故选：B．
6．解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；
当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选：A．
7．解：作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为R，如图，
∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝4，
而AD为中线，
∴DC＝2，
∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，
∴EG＝EF＝R，
∴HC＝R，AH＝3﹣R，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ADC，
∴EH：CD＝AH：AC，即EH＝，
∵S△ABE+S△BCE+S△ACE＝S△ABC，
∴×5×R+×4×R+×3×（3﹣R）＝×3×4，
∴R＝．
故选：B．
8．解：由题意可得出：点O移动的距离为扇形的弧长，
∵面积为30cm2的扇形AOB，半径OA＝6cm，
∴30＝×l×6，
∴扇形弧长为：l＝10（cm）．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB＝90°，BD＝CD，
∠BOC＝＝120°，
则∠OBC＝30°，
∴OD＝OB＝1，
由勾股定理得，BD＝＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3××2×1＝3，
故答案为：3．
10．解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB最短的是垂直于直径的弦CD，
最短的是垂直平分直径的弦CD，
已知AB＝10cm，CD＝8cm，
则OD＝5cm，MD＝4cm，
由勾股定理得OM＝3cm．
11．解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝100°．
故答案为：100°．
12．解：∵直角三角形的两直角边分别为6，8，
∴直角三角形的斜边是：＝10，
∴内切圆的半径为：（6+8﹣10）÷2＝2．
故答案为：2．
13．解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠A＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴OB＝BC＝3，
∴⊙O的直径为6．
故答案为：6．
14．解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
15．解：如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，
∴∠AEC＝180°﹣（∠ACD+∠CAD）＝135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB＝∠AEC＝135°，
故答案为135°．
16．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，
∴BC＝AB＝4，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴AC＝＝＝4，
∵将Rt△ABC绕点C顺时针旋转，使斜边A′B′过B点，
∴CB′＝CB，∠B′＝∠ABC＝60°，∠A′CB′＝∠ACB＝90°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠A′CB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ACA′＝∠ACB﹣∠A′CB＝90°﹣30°＝60°，
∴线段CA扫过的面积为＝8π，
故答案为：8π．
三．解答题（共7小题，满分56分）
17．解：连接OD，
∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，
∴∠ODE＝2∠C＝40°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝40°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．
18．证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，
∴AB是⊙O的切线．
19．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+．
20．（1）证明：连接OD．
因为D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CED＝∠ODE．
∵DE⊥AC，
∴∠CED＝∠ODE＝90°．
∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接AD，
∵OD∥AC，
∴∠C＝∠ODB＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝，
∴∠ADO＝60°，AD＝1，
∴AD＝OD＝OA＝1．
21．解：（1）＝2π×10，
解得n＝90．
圆锥侧面展开图的面积＝π×10×40＝400πcm2．
（2）如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．
在Rt△ASB中，SA＝40，SB＝20，
∴AB＝20（cm）．
∴甲虫走的最短路线的长度是20cm．
22．（1）证明：连接OB，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵BE＝AB，
∴∠E＝∠BAE，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，
∴∠E＝∠BAE＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∴∠OBC＝30°+60°＝90°，
∴OB⊥CE，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝2，
过O作OH⊥AM于H，
则四边形OBCH是矩形，
∴OH＝BC＝2，
∴OA＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，
∴的长度＝＝．
23．（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．
在△OAC和△OAB中，
，
∴△OAC≌△OAB（SSS），
∴∠OAC＝∠OAB，
∴AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC．
又∵AD∥BC，
∴AD⊥AO，
∴AD是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AE．
∵∠BCE＝90°，
∴∠BAE＝90°．
又∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°．
∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，
∴∠BAG＝∠AEB．
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠BAG＝∠ABC，
∴AG＝BG．
在△ADC和△AFB中，
，
∴△ADC≌△AFB（AAS），
∴AF＝AD＝2，BF＝CD＝3．
设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝3，BG＝AG＝x+2，
∴FG2+BF2＝BG2，即x2+32＝（x+2）2，
∴x＝，
∴FG＝．