一元二次方程 过关检测
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）.
1．关于x的方程是一元二次方程的条件是
A． B． C． D．
2．如果非零实数、、满足，则关于的一元二次方程必有一根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=0 D．x=2
3．将一元二次方程化成一般形式可得（ ）
A． B． C． D．
4．一元二次方程y2﹣4y﹣3＝0配方后可化为( )
A．(y﹣2)2＝7 B．(y+2)2＝7 C．(y﹣2)2＝3 D．(y+2)2＝3
5.方程x2＝2x的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝﹣2
6．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
7．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．-5 D．一5
8．设a，b是方程的两个实数根，则的值为
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
9．为宣传“扫黑除恶”专项行动，社区准备制作一幅宣传版面，喷绘时为了美观，要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边，已知图案的长为2米，宽为1米，图案面积占整幅宣传版面面积的90%，若设白边的宽为x米，则根据题意可列出方程（ ）
A．90%×（2+x）（1+x）=2×1 B．90%×（2+2x）（1+2x）=2×1
C．90%×（2﹣2x）（1﹣2x）=2×1 D．（2+2x）（1+2x）=2×1×90%
10．等腰的三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，则的周长是（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．不能确定
二、填空题（共5小题，共15分）
11．当________时，方程是一元二次方程．
12．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．
13．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是__．
14．关于的一元二次方程有一个解是，另一个根为 _______．
15．如图所示，点阵的层数用表示，点数总和用表示，当时，则__．
16.一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手78次，则这次会议参加的人数是__．
三、解答题
17．（9分）解下列方程
（1）（配方法） (2) （公式法）
（3）（因式分解法）
18.（7分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两实数根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若，则m的值为多少？
19．（7分）已知关于的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0
（1）若方程的一个根为 -1，求的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
20.（5分）有一人感染上新冠状肺炎，经过两轮传染后有100人患这种肺炎．则每一轮传染中平均一个人传染了多少人？
21．（8分）列一元二次方程解应用题
某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．
（1）求每个月增长的利润率；
（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
22.（8分）某天猫店销售某种规格学生软式排球，成本为每个30元．以往销售大数据分析表明：当每只售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个，若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价上涨m元，每月能售出 个排球（用m的代数式表示）．
（2）为迎接“双十一”，该天猫店在10月底备货1300个该规格的排球，并决定整个11月份进行降价促销，问售价定为多少元时，能使11月份这种规格排球获利恰好为8400元．
23．（8分）如图，在中，，，，动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿着边向点以的速度移动（不与点重合）．若、两点同时移动；
当移动几秒时，的面积为．
设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？
一元二次方程 答题卡
一、选择题（共30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．
11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题（共7小题，共55分）
17．（9分）解下列方程
（1）（配方法） (2) （公式法）
（3）（因式分解法）
学校 班级 姓名 考场 考号
————————————————密——————————封——————————线———————————
学校 班级 姓名 考场 考号
————————————————密——————————封——————————线———————————
18．（7分）
19．（7分）
22．（8分）
20．（5分）
22．（8分）
21．（8分）一元二次方程过关检测答案（中秋）
1．A【详解】解：由题意得，即，故选A
2．B【分析】由求得，将其代入方程中，可得方程的一个根是-1．
【详解】∵，
∴，①
把①代入方程中，
，
，
，
，
∴ （非零实数a、b、c）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键.
3．D【分析】一元二次方程的一般形式为：（是常数且a≠0）.
【详解】解：，
移项，得
故选D.
【点睛】考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式（是常数且a≠0）的分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
4．A【分析】先表示得到，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可 ．
【详解】解：，
，
．
故选．
【点睛】本题考查解一元二次方程配方法： 将一元二次方程配成的形式， 再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法 ．
5．C【分析】用提公因式法解方程即可.
【详解】方程变形得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得：x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的解法，针对每一个一元二次方程选用适合的解法是解题的关键.
6．A【分析】根据根的判别式，判断方程根的情况即可.
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为A.
【点睛】本题考查了一元二次方程是常数且的根的判别式.根判别式，
(1)当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2)当时，一元二次方程有两个相等的实数根；
(3)当时，一元二次方程没有实数根.
7．B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可.
【详解】∵，是一元二次方程的两个根，
∴=2，-3，
∴=-3+2=-1.
故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键.
8．C【详解】解：∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1，a2+a﹣2017=0，
∴a2=﹣a+2017，
∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b=2017﹣1=2016．
故选C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，．也考查了一元二次方程的解．
9．B【分析】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，然后根据矩形的面积公式列出方程即可.
【详解】设白边的宽为x米，则整幅宣传版面的长为（2+2x）米、宽为（1+2x）米，
根据题意得：90%（2+2x）（1+2x）=2×1．
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的面积问题，需要注意的是图案加上四周的白边才构成了宣传版面.
10．B【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．
【详解】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；
解得b=2，b=-10（舍去）；
①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；
②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；
此时△ABC的周长为：5+5+2=12．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．
11．=-1【分析】根据一元二次方程的定义即可解答.
【详解】∵方程是一元二次方程，
∴=2，m-1≠0，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键.
12．12【分析】先求方程x2-6x+8=0的根，再由三角形的三边关系确定出三角形的第三边的取值范围，即可确定第三边的长，利用三角形的周长公式可求得这个三角形的周长．
【详解】∵三角形的两边长分别为3和5，∴5-3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
又∵第三边长是方程x2-6x+8=0的根，∴解之得根为2和4，2不在范围内，舍掉，
∴第三边长为4．即勾三股四弦五，三角形是直角三角形．
∴三角形的周长：3+4+5=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．属于基础题型，应重点掌握．
13．且【分析】由于关于的一元二次方程有实数根， 计算根的判别式， 得关于的不等式， 求解即可
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
则△，且．
解得且．
故答案为且．
【点睛】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 ． 题目难度不大， 解题过程中容易忽略条件而出错 ．
14．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值；把m的值代入一元二次方程中，求出x的值，即可得出答案．
【详解】解：把x=0代入方程（m+2）x2+3x+m2-4=0得到m2-4=0，
解得：m=±2，
∵m-2≠0,
∴m=-2，
当m=-2时，原方程为：-4x2+3x=0
解得：x1=0，x2=，
则方程的另一根为x=．
【点睛】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出m的值是解此题的关键．
15.11【分析】由等差数列的求和公式结合，即可得出关于n的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论 ．
【详解】解：根据题意得：，
化简得：，
解得：，（舍 去） ．
故答案为 11 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题关键 ．
16.13【分析】设参加会议有x人, 每个人都与其他 (x-1) 人握手,共握手次数为x(x-1),根据题意列方程.
【详解】解：设参加会议有x人,依题意得:x(x-1)=78,
整理得:x2-x-156=0
解得=13,=-12,(舍去).
答: 参加这次会议的有13人,
故答案为13.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程式解题的关键.
17．（1）；（2）；（3） .【分析】（1）运用配方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可；
（3）先移项变形后再运用因式分解法求解即可.
【详解】（1）
；
（2）
∴；
（3）方程变形为
、
.
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
18．（1）；（2）m的值为3．【分析】（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥-；
（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∵即=-1,
∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0
解得：m1=﹣1，m1=3，
由（1）知m≥-，
∴m1=﹣1应舍去，
∴m的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
19．（1）k= -1，另一根为x=2；(2)见解析．【分析】（1）把x=-1代入方程可求得k的值，再解方程可求得另一根；
（2）由方程根的情况可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
【详解】解：（1）把x=-1代入方程可得1+（k+2）+k-1=0，
解得k=-1，
当k=-1时，原方程为x2-x-2=0，
解得x1=-1，x2=2，
即k的值为-1，方程的另一根为2；
（2）∵a=1，b=-（k+2），c=k-1，
∴△=b2-4ac=[-（k+2）]2-4×1×（k-1）=k2+8＞0，
∴不论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
20.每轮传染中平均一个人传染9个人．
【分析】由1个人患了新冠且经过两轮传染后共有100个人患新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：每轮传染中平均一个人传染m人，
依题意，得：1+m+m（m+1）=100，
解得：m1=9，m2=11（不合题意，舍去）．
∴每轮传染中平均一个人传染9个人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.（1）每个月增长的利润率为5%．（2）4月份该公司的纯利润为23.1525万元．【分析】（1）设出平均增长率,根据题意表示出1月份和3月份的一元二次方程即可解题,
（2）根据上一问求出的平均增长率,用3月份利润即可求出4月份的纯利润.
【详解】解：（1）设每个月增长的利润率为x，
根据题意得：20×（1+x）2=22.05，
解得：x1=0.05=5%，x2=﹣2.05（不合题意，舍去）．
答：每个月增长的利润率为5%．
（2）22.05×（1+5%）=23.1525（万元）．
答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,理解平均增长率的含义是解题关键.
22.（1）；（2）每个排球的售价为37元．【分析】（1）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个”列出代数式；
（2）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量=总利润列出方程并解答.
【详解】（1）依题意得：600-20x ；
（2）设每个排球的售价为x元．
根据题意，得(x-30)[(40-x)×200+600]=8400
解得x2=36，x2=37,
当x=36时，销量为1400>1300,舍去；当x=37，销量为1200<1300,适合题意．
答：每个排球的售价为37元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．(1)秒或秒;(2)秒【分析】（1）根据三角形的面积公式列出方程（12-2t）×4t=32，解方程即可求得t值；（2）根据列出方程，解方程即可.
【详解】（1）P、Q同时出发后经过的时间为ts，的面积为，则有：
（12-2t）×4t=32，
解得：t=2或t=4.
答:当移动秒或秒时，的面积为．
，
解得：．
答：当移动秒时，四边形的面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用三角形的面积公式结合已知条件列出方程是解决问题的关键.
