华师大版数学九年级下册第26章《二次函数》综合素质评（含答案）

第26章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列函数中是二次函数的是(　　)
A．y＝3x－1 B．y＝3x2－1 C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝
2．抛物线y＝4(x－2)2＋3的顶点坐标是(　　)
A．(2，－3) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－2，3)
3．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是(　　)
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
4．【2021·山西】抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(　　)
A．y＝3(x＋1)2＋3 B．y＝3(x－5)2＋3
C．y＝3(x－5)2－1 D．y＝3(x＋1)2－1
5．【2021·福建】二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象过A(－3，y1)、B(－1，y2)、C(2，y3)、D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是(　　)
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
6．点A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)都在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个近似解可能是(　　)
A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45
7．【2022·铜仁一模】二次函数y＝－ax2＋bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax－b的图象大致是(　　)
　　
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －5 －4 －3 －2 －1 0 …
y … 4 0 －2 －2 0 4 …
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－
9．【教材P30习题T1改编】【2022·杭州一模】一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当足球飞行的水平距离为6 m时，达到最高点，此时球离地面3 m．已知球门高是2.44 m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是(　　)
A．10 m B．8 m C．6 m D．5 m
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是(　　)
A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0
C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知函数y＝(x＋1)2，当1＜x＜2时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
12．【教材P17做一做(2)变式】二次函数y＝－2(x－1)2＋4的最大值是________．
13．若y＝(a＋1)x|a＋3|－x＋3是关于x的二次函数，则a＝________．
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
15．【2022·巨野县期末】如图，已知函数y＝－与y＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2＋bx＋＝0的解是________．
16．【2022·南充】如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，水柱落点距O点3 m，那么喷头高________m时，水柱落点距O点4 m.
17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②a＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0.其中正确的结论是________(填写序号)．
18．如图，抛物线y＝ax2＋1(a＜0)与过点(0，－3)且平行于x轴的直线相交于点A、B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝________．
三、解答题(19题9分，20～23题每题11分，24题13分，共66分)
19．【教材P33复习题T6变式】如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．
20．【2022·常州】在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为y＝x；②函数表达式为y＝x2；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子A中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
(1)从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________；
(2)先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．
21．【2022·青岛】已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
22．【2022·贺州】2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数表达式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
23．【2022·石景山区二模】在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数
y＝x2＋bx＋c.
(1)当b＝－2时，
①若c＝4，求该函数的最小值；
②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；
(2)当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b＋2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．
24．我们规定当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A、B时，线段AB称为该抛物线的“横截弦”，其长度记为d.
(1)已知抛物线y＝2x2－x－3，则d＝________；
(2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(1，0)，当d＝2时，求该抛物线所对应的函数表达式；
(3)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的交点为点A(1，0)和点B，与y轴交于点D.
①若抛物线恒存在“横截弦”，求c的取值范围；
②求d关于c的函数表达式；
③连结AD，BD，设△ABD的面积为S.当1≤S≤10时，请直接写出c的取值范围．
答案
一、1．B　2．B　3．B　4．C　5．C 6．D　7．C　8．D　9．A　
10．B　点拨：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，
∴0＝a－b＋c，－3＝c，
∴b＝a－3．
∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6．
∵抛物线顶点在第四象限，a＞0，
∴b＝a－3＜0，∴a＜3，
∴0＜a＜3，∴－6＜2a－6＜0，
即－6＜P＜0．故选B．
二、11．增大　12．4　13．－5　
14．－1＜x＜3
15．x＝－3　16．8　17．①④　
18．－　点拨：设直线AB与y轴交于点D，则D(0，－3)．易知C(0，1)，
∴CD＝4．易知△ABC为等腰三角形，又∠ACB＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．∴AD＝BD＝CD＝4．∴B(4，－3)．把B(4，－3)的坐标代入y＝ax2＋1得16a＋1＝－3，解得a＝－．
三、19．解：(1)将A(－1，－1)，B(3，－9)的坐标分别代入y＝ax2－4x＋c，
得解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6．
∵y＝x2－4x－6＝(x－2)2－10，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－10)．
(2)∵点P(m，m)在该函数的图象上，
∴m2－4m－6＝m．∴m1＝6，m2＝－1．
∴m的值为6或－1．
20．解：(1)
(2)列表如下：
① ②
③ ①③ ②③
④ ①④ ②④
⑤ ①⑤ ②⑤
由表知，共有6种等可能的结果，其中抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①③、①⑤、②④，所以抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为＝．
21．解：(1)将点P(2，4)的坐标代入y＝x2＋mx＋m2－3，得4＝4＋2m＋m2－3，
解得m1＝1，m2＝－3．
又∵m＞0，
∴m＝1．
(2)二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴有2个交点．理由如下：
∵m＝1，
∴y＝x2＋x－2．
当y＝0时，Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0，
∴二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴有2个交点．
22．解：(1)根据题意，得y＝200－×4(x－48)＝－2x＋296，
∴y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋296．
(2)根据题意，得W＝(x－34)·(－2x＋296)＝－2(x－91)2＋6 498，
∵a＝－2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
∴当x＝91时，W最大值＝6 498．
答：每套售价定为91元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是6 498元．
23．解：(1)①由题意知，二次函数的表达式为y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
∴图象的顶点坐标为(1，3)，
∴函数的最小值为3．
②∵y＝x2－2x＋c，
∴图象的对称轴是直线x＝1．
∵当2≤x≤3时，x对应的函数值的最小值是5，
∴当x＝2时，y＝5，
∴5＝4－4＋c，
∴c＝5．
(2)b＝2或b＝－2－2．
点拨：当c＝2b时，y＝x2＋bx＋2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝－．
①当－0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b＋2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2＋b·b＋2b＝2b2＋2b为最小值，
∴2b2＋2b＝12，解得b1＝－3(舍去)，b2＝2；
②当b≤－≤b＋2，即－≤b≤0时，
当x＝－时，y的值最小，
∴b2－＋2b＝12，方程无解．
③当－>b＋2，即b<－时，
在自变量x的值满足b≤x≤b＋2的情况下，y随x的增大而减小，
∴当x＝b＋2时，y＝(b＋2)2＋b(b＋2)＋2b＝2b2＋8b＋4为最小值，
∴2b2＋8b＋4＝12，解得b1＝－2＋2(舍去)，b2＝－2－2．
综上所述，满足条件的b的值为2或－2－2．
24．解：(1)
(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(1，0)，d＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(－1，0)或(3，0)，
将A(1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，得a＋b＝－2，将(－1，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，得a－b＝－2，将(3，0)的坐标代入y＝ax2＋bx＋2，得9a＋3b＝－2．由得
由得
∴y＝－2x2＋2或y＝x2－x＋2．
(3)将A(1，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c得b＋c＝1，∴b＝1－c．
∴y＝－x2＋(1－c)x＋c．令y＝0，
得－x2＋(1－c)x＋c＝0，
∴x1＋x2＝1－c，x1·x2＝－c．
①∵抛物线恒存在“横截弦”，
∴Δ＝(1－c)2＋4c＝c2＋2c＋1
＝(c＋1)2＞0，
∴c≠－1．
②d＝|x1－x2|＝＝＝|c＋1|，当c＞－1时，
d＝c＋1；
当c＜－1时，d＝－c－1．
③－5≤c≤－2或1≤c≤4．