华师大版数学九年级下册 第27章综合素质评（含答案）

第27章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定
2．【教材P40练习T2变式】如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(　　)
A．8 B．4 C．10 D．5
3．给出下列四个结论，其中正确的结论为(　　)
A．三点确定一个圆 B．直径是最长的弦
C．圆周角是圆心角的一半 D．长度相等的弧是等弧
4．【2022·兰州】如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则
∠B＝(　　)
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．【2022·自贡】P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为(　　)
A．5 B．5 C．8 D．9
6．【2022·青岛一模】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，AC＝5 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相交
7．【2022·清苑区一模】已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D＝70°，则∠C的度数是(　　)
A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定
8．【教材P55习题T4改编】【2022·娄底】如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与三角形ABC的面积之比是(　　)
A． B． C． D．
9．已知一弧长为l的弧所对的圆心角为120°，那么它所对的弦长为(　　)
A．l B．l C．l D．l
10．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为(　　)
A．2 B． C． D．3
二、填空题(每题3分，共24分)
11．【2022·内江】如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于________．
12．【2022·南京建邺区一模】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角
∠DCE＝122°，则另一个外角∠DAF＝________．
13．【教材P49图27.2.6改编】如图，已知⊙O的半径为3，点O到直线l的距离OA＝5，将直线l沿射线AO方向平移m个单位后，⊙O与直线l相切，则m＝________．
14．直角三角形的两边长分别为16和12，则此直角三角形的外接圆的半径是________．
15．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线EF也是⊙O的切线，Q是切点，分别交PA、PB于点E、F．若∠APB＝50°，则∠EOF的度数为________．
16．一个圆锥形漏斗，某同学测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为________．
17．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、D均在小正方形的顶点上，且点B、C在上， ∠BAC＝22．5°，则的长为________cm．
18．中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘徽提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，由此求得圆周率π的近似值．如图，设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，当n＝6时，π≈＝＝3，则当n＝12时，π≈≈________．(结果精确到0．01，参考数据：sin 15°＝cos 75°≈0.259，sin 75°＝cos 15°≈0.966)
三、解答题(19、20题每题10分，21、22题每题11分，23、24题每题12分，共66分)
19．【2022·怀化】如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：
(1)AC＝BD；
(2)△ABE∽△DCE．
20．【教材P52练习T2变式】如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C＝40°．
(1)求∠B的度数；
(2)求的长(结果保留π)．
21．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，连结OP、CD．
(1)求证：OP⊥CD；
(2)连结AD、BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
22．如图，是一座拱形桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．
(1)求桥拱所在圆的半径；
(2)现有一艘宽60米，顶部截面为长方形且高出水面9米的轮船要通过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．
23．【2022·滨州】如图，已知AC为⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，直线PD经过⊙O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连结OP交AB于点M．求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)AM2＝OM·PM．
24．如图①，已知抛物线y＝ax2－x－4(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，点C的坐标为(－2，0)．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)如图②，连结AC，P是抛物线上一动点，且在直线AB的下方，过点P作y轴的平行线，交线段AB于点F，以PF为直径的⊙M与AB的另一个交点为E，连结PE．求劣弧EF长的最大值．
答案
一、1．A　2．D　3．B　4．C　5．A　6．A 7．C　8．A
9．C　点拨：设该弧所在⊙O的半径为r，所对的弦为AB．如图，过点O作OC⊥AB于点C．∵∠AOB＝120°，∴的长为＝l，则r＝l．
∵∠AOB＝120°，∴∠OBC＝30°，∴OC＝OB，
∴BC＝＝l，∴AB＝2BC＝l．
10．C　点拨：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径
AD最短，连结OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，
∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，
由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，
∴在Rt△EOH中，EH＝OE·sin∠EOH＝1×＝，
∴EF＝2EH＝．
故选C．
二、11．100°　12．58°　13．2或8
14．8或10　15．65°
16．15π　17．
18．3.11　点拨：圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，
其顶角为30°．作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°．∵AO＝BO＝r，
∴在Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin 15°＝，∴AH＝r×sin 15°，
∴AB＝2AH＝2r×sin 15°，∴C＝12×2r×sin 15°＝24r×sin 15°．
又∵d＝2r，∴π≈＝≈3.11．
三、19．证明：(1)∵＝，
∴＝，
∴AC＝BD．
(2)∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABE∽△DCE．
20．解：(1)∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，
∴∠BAC＝90°．
∵∠C＝40°，∴∠B＝50°．
(2)如图，连结OD．∵∠B＝50°，
∴∠AOD＝2∠B＝100°，
∴的长为＝π．
21．(1)证明：连结OD、OC，∵PD、PC是⊙O的切线，
∴PD＝PC．
∵OD＝OC，∴P、O在CD的中垂线上，
∴OP⊥CD．
(2)解：∵OA＝OD＝OC＝OB＝2，
∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°，
∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°，
∴∠COD＝60°．
∵OD＝OC，
∴△COD是等边三角形．
由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OP＝＝．
22．解：(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．
过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交⊙E于点C，连结AE，
则CF＝20米．由垂径定理知，F是AB的中点，
∴AF＝FB＝AB＝40米．设桥拱所在圆的半径为r米，由勾股定理，
得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，
即r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50．
∴桥拱所在圆的半径为50米．
(2)这艘轮船能顺利通过．理由如下：
如图，设MN＝60米，MN∥AB，
EC与MN的交点为D，连结EM．
易知DE⊥MN，
∴MD＝30米，
∴DE＝＝40米．
∵EF＝EC－CF＝30米，
∴DF＝DE－EF＝10米．
∵10米>9米，
∴这艘轮船能顺利通过．
23．证明：(1)连结OB，如图所示．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC．
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°．
∴∠CAB＋∠OCB＝90°．
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD＋∠OBC＝90°．
∴∠OBD＝90°．
又∵OB是⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)由PD是⊙O的切线，直线PA与⊙O相切，易得PO垂直平分AB．
∴∠AMP＝∠AMO＝90°．
∴∠APM＋∠PAM＝90°．
∵∠OAP＝90°，
∴∠PAM＋∠OAM＝90°．
∴∠APM＝∠OAM．
∴△OAM∽△APM．
∴＝．
∴AM2＝OM·PM．
24．解：(1)把C(－2，0)的坐标代入抛物线y＝ax2－x－4(a≠0)，
即0＝a×(－2)2－(－2)－4，解得a＝．
∴抛物线的表达式为y＝x2－x－4．
∴A(0，－4)．
令y＝0，解得xB＝4．
∴B(4，0)．
设直线AB为y＝kx＋b，将A、B点的坐标代入y＝kx＋b，得解得∴直线AB的函数表达式为y＝x－4．
(2)连结EM，由条件可知∠OAB＝∠OBA＝45°．∵PF∥y轴，
∴∠EFP＝45°．∴∠EMP＝90°，∴∠EMF＝90°．
∴劣弧EF的长为＝·MF＝·PF，
∴当PF最大时劣弧EF的弧长最大．
设点F(m，m－4)，则点P(m，m2－m－4)，其中0所以PF＝m－4－＝－m2＋2m＝－(m－2)2＋2．
∴PF的最大值为2，∴劣弧EF长的最大值是．