华师大版数学九年级下册 期末综合素质评（含答案）

期末综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．【2022·三元区模拟】要调查下列问题，必须采用普查的是(　　)
A．中央电视台(开学第一课)的收视率
B．某城市居民3月份人均网上购物的次数
C．即将发射的载人航天器的零部件质量
D．某品牌新能源汽车的最大续航里程
2．【教材P40练习T1变式】【2022·通辽】在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－1)2＋1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为(　　)
A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x－2)2＋3
C．y＝x2＋1 D．y＝x2－1
3．【教材P40练习T1变式】如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是(　　)
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁四名同学最近五次数学成绩的相关数据如下表，如果从这四名同学中，选出一名成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选(　　)
甲 乙 丙 丁
平均数 80 85 85 80
方差 2.8 2.8 4 7.8
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以
3 cm长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
6．【2022·遵义】2021年7月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，明确要求初中生每天的书面作业时间不得超过90分钟，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图表，则下列说法不正确的是(　　)
A．调查的样本容量为50
B．频数分布表中m的值为20
C．若该校有1 000名学生，作业完成的时间超过90分钟的约100人
D．在扇形统计图中B组所对的圆心角是144°　　　
作业时间频数分布表
组别 作业时间
(单位：分钟) 频数
A 60＜t≤70 8
B 70＜t≤80 17
C 80＜t≤90 m
D t>90 5
7．【教材P41思考变式】如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损圆形玻璃镜的圆弧上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆形玻璃镜的直径是(　　)
A． cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
8．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为(　　)
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
9．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按如图方式折叠，使EA′恰好与⊙O相切于A′(△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于G，则A′G的长是(　　)
A．6 B． C．7 D．
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中结论正确的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分，共24分)
11．【教材P18练习T1变式】抛物线y＝－2(x－1)2＋8的顶点坐标是________．
12．【2022·苏州】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连结AC，AD.若∠BAC＝28°，则∠D＝________．
13．某学校九年级举行了一次数学竞赛(满分为10分)，为了估计平均成绩，抽取了一部分试卷，这些试卷中有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分．在这个问题中，样本容量是________，样本的平均成绩是________分．
14．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s(米)关于滑行的时间t(秒)的函数表达式是s＝－0.25t2＋10t，无人机着陆后滑行________秒才能停下来．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝a，BC＝2a，分别以AC，BC为直径的半圆形交于C、D两点，D点恰好在AB上，则图中阴影部分的面积是________．
16．【教材P61例1变式】【2022·新疆】如图，⊙O的半径为2，点A，B，C都在⊙O上，若∠B＝30°，则的长为________．(结果用含有π的式子表示)
17．如图，AB是半圆形的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为点E，交⊙O于点D，连结BE.设∠BEC＝α，则sin α＝________．
18．【2022·淮南月考】已知函数y＝|x2－4|的大致图象如图所示，那么方程|x2－4|＝m(m为实数)．
①若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是________；
②若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是____________．
三、解答题(19、20题每题9分，21、22题每题11分，23、24题每题13分，共66分)
19．【教材P33复习题A组T7变式】已知二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，且经过原点(0，0)，求该二次函数的表达式．
20．【2022·天津】已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连结CA，CB.
(1)如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
(2)如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
21．为庆祝“神舟十四号”飞船顺利进入太空，某校航天兴趣小组开展“航天科技促我前行”的活动．该校随机抽取部分学生，按四个类别：A表示“很喜欢”， B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”，调查他们对航天的喜爱情况，将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题．
(1)这次共抽取学生________人进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是________；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有学生1 500人，则该校表示“喜欢”的学生大约有多少人？
22．某网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x(元) 12 14 16
每周的销售量y(本) 500 400 300
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)通过与其他网店对比，该网店将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周所获利润最大？最大利润是多少元？
23．【2022·南充】如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连结OD交BC于点E.
(1)求证：CD是⊙O的切线．
(2)若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．
24．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋n经过点M(－1，0)，顶点为C.
(1)求点C的坐标；
(2)设直线y＝2x与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．
①在抛物线的对称轴上是否存在点G，使∠AGC＝∠BGC？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
②点P在直线y＝2x上，点Q在抛物线上，当以O，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标．
答案
一、1．C　2．D 　3．B　4．B　5．A
6．D　7．D　8．D
9．B　点拨：作FS⊥CD于点S，由于点O是正方形ABCD的中心，正方形是
中心对称图形，则AF＝CG.
易知△EFA≌△EFA′，则有AF＝A′F.易知四边形ADSF是矩形，设AF＝A′F＝DS＝CG＝x，在Rt△FSG中，利用勾股定理，得[2(2＋x)]2＝(8－2x)2＋82，解得x＝.
∴A′G＝GF－ A′F＝2(2＋x)－x＝4＋x＝.
10．C　点拨：①∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴－＞0.∴b＜0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0.∴abc＞0，故①错误；②由图象可知，当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵－＝1，∴b＝－2a，把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，故②正确；③由图象可知，当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，∴(a＋c)2－b2＝(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0.故③正确；④∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴当x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c.当x＝m时，y＝am2＋bm＋c.∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c，即a＋b≤m(am＋b)，故④正确．
二、11．(1，8)　12．62°　13．40；6.85
14．20　15．a2
16．π　17．
18．①4　②m＝0或m>4　点拨：①方程|x2－4|＝m(m为实数)有3个不相等的
实数根，可以转化为函数y＝|x2－4|的图象与直线y＝m有3个交点，
因为函数y＝|x2－4|的图象与y轴的交点坐标为(0，4)，观察图象可知，当两个函数图象有3个交点时，m＝4.
②方程|x2－4|＝m(m为实数)有2个不相等的实数根，可以转化为函数
y＝|x2－4|的图象与直线y＝m有2个交点，
因为函数y＝|x2－4|的图象与y轴的交点坐标为(0，4)，观察图象可知，当两个函数图象有2个交点时，m>4或m＝0.
三、19．解：设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－1(a≠0)，
∵抛物线经过原点(0，0)，
∴a(0－1)2－1＝0，解得a＝1.
∴该二次函数的表达式为y＝(x－1)2－1，即y＝x2－2x.
点拨：本题运用待定系数法解答．由于已知二次函数图象的顶点坐标为
(1，－1)，因此可设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－1(a≠0)，再把
(0，0)代入函数表达式中确定a的值．
20．解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵C为的中点，
∴＝，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴AC＝AB·cos∠CAB＝3.
(2)∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF.
∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD＝EC.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝2，AB＝6，
则BC＝＝4.
∵OD⊥BC，
∴EC＝BC＝2，
∴FD＝2.
点拨：(1)根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，进而求出∠CAB，根据余弦的定义求出AC；(2)根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD＝EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．
21．解：(1)50；72°　点拨：这次共抽取学生12÷24%＝50(人)，
D类所对应的扇形圆心角的大小是360°××100%＝72°.
(2)A类学生有50－23－12－10＝5(人)．
补充条形统计图如图所示．
(3)1 500××100%＝690(人)．
答：该校表示“喜欢”的学生大约有690人．
22．解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
易得解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝－50x＋1 100.
(2)由题意可得，
w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50(x－16)2＋1 800，
∵a＝－50<0，且对称轴为直线x＝16，
∴当x<16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，且x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝－50×(15－16)2＋1 800＝1 750.
答：当销售单价定为15元时，每周所获利润最大，最大利润是1 750元．
23．(1)证明：连结OC，如图所示．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BCD＝∠BAC，
∴∠OCB＋∠DCB＝90°，
∴OC⊥CD.
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：如图，过点O作OH⊥BC于点H.
∵sin∠BAC＝＝，
∴设BC＝4k，则AB＝5k，
∴AC＝3k，AO＝OC＝CE＝2.5k.
∵OH⊥BC，
∴CH＝BH＝2k.
∵OA＝OB，
∴OH＝AC＝k，
∴EH＝CE－CH＝2.5k－2k＝0.5k，
∴tan∠CEO＝＝＝3.
24．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋n经过点M(－1，0)，
∴0＝－(－1)2＋2×(－1)＋n，解得n＝3.
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴点C的坐标为(1，4)．
(2)①存在点G，使∠AGC＝∠BGC.
易得
解得
∴A(－，－2)，B(，2)．
分别过点A，B作对称轴x＝1的垂线AE，BF，垂足分别为点E，F，设G(1，a)．
在△AEG和△BFG中，
∴△AEG∽△BFG.∴＝.
∴＝，解得a＝6.
∴G(1，6)．
②设P(m，2m)．
当四边形OMPQ是平行四边形时，Q(m＋1，2m)．
∵点Q在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，
∴2m＝－(m＋1)2＋2(m＋1)＋3，
解得m＝－1±，
∴Q1(－，－2－2)，
Q2(，－2＋2)；
当四边形OMQP是平行四边形时，Q(m－1，2m)．
∵点Q在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，
∴2m＝－(m－1)2＋2(m－1)＋3，
解得m＝2或0.
∴Q3(1，4)，Q4(－1，0)(舍去)；
当OM为平行四边形的对角线时，Q(－1－m，－2m)．
∵点Q在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，
∴－2m＝－(－1－m)2＋2(－1－m)＋3，解得m＝－2或0.
∴Q5(1，4)，Q6(－1，0)(舍去)．
综上可知，点Q的坐标为(－，－2－2)或(，－2＋2)或(1，4)．