2022—2023学年人教版数学九年级上册 第二十一章 一元二次方程 单元检测 (含答案)

2022-2023人教版九年级数学上册
第二十一章一元二次方程 单元检测（附带答案）
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+3）＝0
B．x2﹣4y＝0
C．x2﹣＝5
D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
2．将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣1 D．﹣2，﹣1
3．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
4．把一元二次方程x2+6x﹣3＝0化成a（x+h）2＝k的形式，下列化法中正确的是（　　）
A．（x+3）2＝12 B．（x+3）2＝6 C．（x﹣3）2＝12 D．（x﹣3）2＝6
5．若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C．k＜﹣且k≠﹣1 D．k≤﹣且k≠﹣1
6．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
7．要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）
A．x（x+1）＝15 B．x（x﹣1）＝15
C．x（x+1）＝15 D．x（x﹣1）＝15
8．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（　　）
A．（7+x）（5+x）×3＝7×5 B．（7+x）（5+x）＝3×7×5
C．（7+2x）（5+2x）×3＝7×5 D．（7+2x）（5+2x）＝3×7×5
9．已知：
问题1，某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年平均增长的百分数；
问题2，总产值用2年的时间在原来a万元的基础上增加了b万元，求每年平均增长的百分数；
问题3，某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分数．
设每年平均增长的百分数x，那么下面的三个方程：①（1+x）2＝b，②a（1+x）2＝a+b，③（1+x）2＝b+1，按问题1、2、3的序号排列，相对应的是（　　）
A．①②③ B．③②① C．①③② D．②①③
10．欧几里得的《原本》记载，形如x2+2ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使
∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝a．则该方程的一个正根是（　　）
A．AD的长 B．AC的长 C．BC的长 D．CD的长
二．填空题（共5小题）
11．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2＝9有一个根为0，则a的值为 　 　．
12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2022+a﹣b的值是 　 　．
13．若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝11﹣x1x2，则m的值为 　 　．
14．对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2+6x}＝16，则x＝　 　．
15．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则+的值为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．按要求解下列一元二次方程：
（1）x2+8x+1＝0（“配方法”）；
（2）3x2﹣5x＝2（“公式法”）．
17．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
18．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由．
19．随着全球疫情的爆发，医疗物资需求猛增，某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产口罩5000盒，第三天生产口罩7200盒，若每天增长的百分率相同．
（1）求每天增长的百分率．
（2）经调查发现，1条生产线的最大产能是15000盒/天，但是每增加1条生产线，每条生产线的产能将减少500盒/天，现该厂要保证每天生产口罩65000盒，在增加产能的同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
20．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　 　件．
（2）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）
（3）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；
B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
2．【解答】解：将一元二次方程2x2﹣1＝3x化为一般形式为：2x2﹣3x﹣1＝0，其中二次项系数、一次项系数分别是2，﹣3．
故选：A．
3．【解答】解：把x＝﹣3代入方程得：9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
4．【解答】解：x2+6x﹣3＝0，
移项，得x2+6x＝3．
配方，得x2+6x+32＝3+32，
即（x+3）2＝12．
故选：A．
5．【解答】解：依题意得：，
解得：k≤﹣且k≠﹣1．
故选：D．
6．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴a2+a﹣2021＝0，
∴a2＝﹣a+2021，
∴a2+2a+b＝﹣a+2021+2a+b＝a+b+2021，
∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝﹣1+2021＝2020．
故选：B．
7．【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝15．
故选：B．
8．【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：（7+2x）（5+2x）＝3×7×5，
故选：D．
9．【解答】解：问题1，设每年平均增长的百分数是x，则
（1+x）2＝b+1．
问题2，设每年平均增长的百分数是x，则．
a（1+x）2＝a+b．
问题3，设每年平均增长的百分数是x，则．
（1+x）2＝b．
故选：B．
10．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC2+BC2＝AB2．
∵AC＝b，BD＝BC＝a，
∴b2+a2＝（AD+a）2＝AD2+2aAD+a2，
∴AD2+2aAD＝b2，
比较AD2+2aAD＝b2与方程x2+2ax＝b2可得AD的长是方程x2+ax＝b2的一个正根．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2＝9，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∵a+3≠0，即a≠﹣3，
∴a＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+2＝0，
∴a﹣b＝﹣2，
∴2022+a﹣b＝2022﹣2＝2020．
故答案为：2020．
13．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1，
∵x1+x2＝11﹣x1x2，
∴2m＝11﹣（m2﹣m﹣1），
解得m＝3或m＝﹣4，
∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4＞0，
∴m＞﹣1，
∴m＝3，
故答案为：3．
14．【解答】解：根据题意，
①当（x﹣1）2＝16，
解得：x1＝5，x2＝﹣3，
当x＝5时，x2+6x＝52+6×5＝55，
∵16＜55，
∴x＝5，不符合题意；
当x＝﹣3时，x2+6x＝（﹣3）2+3×（﹣6）＝﹣9，
∵16＞﹣9，
∴x＝﹣3符合题意；
②当x2+6x＝16，
即x2+6x﹣16＝0，
（x+8）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝2，
当x＝﹣8时，（x﹣1）2＝（﹣8﹣1）2＝81，
∵81＞16，
∴x＝﹣8不符合题意；
当x＝2时，（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1，
∵1＜16，
∴x＝2符合题意；
综上：x＝﹣3或x＝2．
故答案为：﹣3或2．
15．【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴+＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
16．【解答】解：（1）x2+8x+1＝0，
x2+8x＝﹣1，
x2+8x+16＝﹣1+16，
（x+4）2＝15，
x+4＝±，
x+4＝或x+4＝﹣，
x1＝﹣4，x2＝﹣﹣4；
（2）3x2﹣5x＝2，
3x2﹣5x﹣2＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）
＝25+24
＝49＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝2，x2＝﹣．
17．【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
18．【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣3x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
19．【解答】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意得：5000（1+x）2＝7200，
x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%．
（2）设增加y条生产线，则每条生产线的产量为（15000﹣500y）盒/天，
依题意得：（1+y）（15000﹣500y）＝65000，
整理得：y2﹣29y+100＝0，
解得：y1＝4，y2＝25．
又∵要节省投入，
∴y＝4．
答：应该增加4条生产线．
20．【解答】解：（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为50+10×＝100（件），
故答案为：100；
，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（3）依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70