2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册 2.4解直角三角形解答专项练习题(含答案）

2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《2.4解直角三角形》
解答专项练习题（附答案）
1．在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；
（2）已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c．
2．已知△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0．
（1）分别求出三个内角度数；
（2）若AC＝2，求AB长度．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，若AC＝15，cosA＝．求BC长．
4．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝10，求△ABC的面积．
5．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，b＝10，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠DCB＝90°，AB＝6，CD＝2，△ABP与△PCD全等．
（1）求AD的长；
（2）求tan∠DAC的值．
8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
9．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝，求BC的长．
10．如图，在平面直角坐标系中，OB＝5，sin∠AOB＝，点A的坐标为（10，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）求sin∠OAB的值．
11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，BC＝13，AD＝12，sinB＝．
（1）求线段CD的长；
（2）求tan2∠ADE的值．
12．如图，AD是△ABC的高，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求AB的长．
13．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝．
（1）求BC；
（2）求sin∠A．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
15．（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；
（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．
16．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．
（1）求高CD的长；
（2）求tan∠EAB的值．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接BE，若AB＝2，tanC＝，求BE的长．
18．在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
19．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，且BG⊥DG于点G，交BC于点F．
（1）求∠ABD的正弦值；
（2）求BG的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，已知AE＝16，sinA＝．
（1）求CD的长；
（2）求∠DBC的余切值．
22．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．
（1）求BC的长；
（2）求∠ACB的正切值．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　 　．
参考答案
1．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∴b＝c＝×8＝4，
a＝c sin60＝8×＝12，
∴∠B＝30°，a＝12，b＝4；
（2）∵∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝45°，
∴a＝b＝3，
c＝＝＝a＝×3＝6，
∴∠B＝45°，b＝3，c＝6．
2．解：（1）∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，（cosA﹣）2≥0，|tanB﹣1|≥0，
∴cosA﹣＝0，tanB﹣1＝0，
∴cosA＝，tanB＝1，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
综上所述：∠A＝60°，∠B＝45°，∠C＝75°；
（2）过点C作CH⊥AB于H，
在Rt△ACH中，AC＝2，∠A＝60°，
则AH＝AC cosA＝2×＝1，CH＝AC sinA＝2×＝，
在Rt△CHB中，∠B＝45°，
∴BH＝CH＝，
∴AB＝AH+BH＝1+．
3．解：在Rt△ABD中，
∵AB＝AC＝15，cosA＝，
∴AD＝AB cosA＝15×＝12，
∴BD＝＝＝9．
∴CD＝AC﹣AD＝3．
在Rt△CBD中，
∴BC＝．
答：BC的长为．
4．解∵∠C＝90°，sinA＝，
设BC＝2x，AB＝3x
∴（3x）2﹣（2x）2＝102，
解得x1＝﹣2（舍去），x2＝2，
∴BC＝4，AB＝6，
∴S△ABC＝＝＝20．
5．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图，
在Rt△ACD中，
∵∠C＝60°，AC＝2，
∴sinC＝＝，cosC＝＝，
∴＝，＝，
∴AD＝，CD＝1，
在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，AD＝，
∴AD＝BD＝，sinB＝＝，
∴，
∴AB＝，BC＝BD+CD＝．
6．解：∵∠C＝90°，∠B＝25°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣25°＝65°，
∵b＝10，
∴sin25°＝，tan25°＝，
∴c＝＝≈23.8，
a＝＝≈21.3，
∴∠A＝65°，c≈23.8，a≈21.3．
7．解：（1）∵△ABP≌△PCD，
∴AB＝CP＝6，BP＝CD＝2，AP＝PD，∠APB＝∠CDP，
∵∠PCD＝90°，
∴∠CPD+∠CDP＝90°，
∴∠APB+∠CPD＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴PD＝＝＝2，
∴AD＝＝＝4；
（2）过点D作DH∠AC于点H．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10．
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCH，
∵∠B＝∠CHD＝90°，
∴△ABC∽△CHD，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CH＝，DH＝，
∴AH＝AC﹣CH＝10﹣＝，
∴tan∠DAC＝＝＝．
8．解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．
∵AB＝AD，
∴BH＝HD＝BD＝2．
∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD＝4．
∴HC＝HD+CD＝6．
∵＝，
∴．
∵
＝
＝．
（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．
∵，
∴．
∴．
∴点C到直线AB的距离为．
9．解：∵AD⊥BC于点D，
∴△ABD，△ADC为直角三角形．
∵Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝2，BD＝．
∵Rt△ADC中，tan∠CAD＝，AD＝2，
∴tan∠CAD＝．
∴CD＝1．
∴BC＝+1．
10．解：（1）如图，过点B作BC⊥OA于点C，
在Rt△BOC 中，∠OCB＝90°，OB＝5，sin∠AOB＝，
∴sin∠AOB＝，
∴BC＝3，
∴，
∴点B的坐标为（4，3）．
（2）∵点A的坐标为（10，0），
∴OA＝10，
∴AC＝OA﹣OC＝10﹣4＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∴sin∠OAB＝．
11．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝13﹣9＝4；
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AE＝CE＝AC＝2，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴∠DEC＝2∠ADE，
∴tan2∠ADE＝tan∠DEC，
过D作DF⊥AC于F，
∵S△ADC＝ AD CD＝AC DF，
∴DF＝＝＝，
∴CF＝＝＝，
∴EF＝CE﹣CF＝，
∴tan2∠ADE＝tan∠DEC＝＝＝．
12．解：在Rt△ACD中，sinC＝，
∵sinC＝，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝．
在Rt△ABD中，
∵cosB＝，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴AB＝6．
13．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝4，AC＝，
∴BC＝＝＝3，
即BC＝3；
（2）由（1）知：BC＝3，
∵∠A＝90°，AB＝4，
∴sinA＝＝，
即sinA＝．
14．解：（1）如图，在Rt△ABC中，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x、BC＝4x，
∵BD＝2，
∴DC＝BC﹣BD＝4x﹣2，
∵∠ADC＝45°，
∴AC＝DC，即4x﹣2＝3x，
解得：x＝2，
则AC＝6、BC＝8，
∴AB＝＝10；
（2）作DE⊥AB于点E，
由tanB＝＝可设DE＝3a，则BE＝4a，
∵DE2+BE2＝BD2，且BD＝2，
∴（3a）2+（4a）2＝22，解得：a＝（负值舍去），
∴DE＝3a＝，
∵AD＝＝6，
∴sin∠BAD＝＝．
15．解：（1）如图甲，过C点作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，AC＝4，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝CD＝2，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BD＝CD＝2，
∴AB＝AD+BD＝2+2；
（2）如图乙，过C点作CD⊥AB于点D，在BD上取点E，使CE＝BE，
∴∠BCE＝∠B＝15°，
∴∠CED＝∠BCE+∠B＝30°．
在Rt△ACD中，∠A＝45°，AC＝1，
∴AD＝CD＝AC＝，
在Rt△CDE中，∠CED＝30°，
∴DE＝CD＝，CE＝2CD＝，
∴BE＝CE＝，
∴．
16．解：（1）在Rt△BCD中，
∵cos∠ABC＝，
∴，
∴BC＝5，
∴CD＝＝3；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，
∵EF⊥BD，
∴CD∥EF，
∵E为BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝＝＝，DF＝＝＝2，
∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，
在Rt△AEF中，
∴tan∠EAB＝＝＝．
17．（1）证明：∵点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，
∴DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵∠A＝90°，AB＝2，tanC＝，
∴＝，
即＝，
解得AC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
即BE的长是2．
18．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．
19．解：（1）过D点作DM⊥AB于M，则∠AMD＝90°，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，
∴AB＝，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD＝3，
∴BD＝，
∵∠C＝∠AMD＝90°，
∴cos∠A＝，
即，
解得AM＝，
∴DM＝，
∴sin∠ABD＝；
（2）过F作FN⊥BD于N，
∵DG平分∠BDC，∠C＝90°，
∴∠CDF＝∠BDF，∠C＝∠DNF＝90°，
在△DCF和△DNF中，
∴△DCF≌△DNF（AAS），
∴DC＝DN＝3，CF＝NF，
∴BN＝BD﹣DN＝5﹣3＝2，
在Rt△BFN中，BN2+FN2＝BF2，
即22+CF2＝（4﹣CF）2，
解得CF＝，
∴DF＝，
∵BG⊥DG，
∴∠C＝∠BGD＝90°，
∴△DCF∽△DGB，
∴，
即，
解得BG＝．
20．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
AD＝BC．AE∥FC，
∵ED＝BF，
∴AD﹣ED＝BC﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠ACF＝∠FAC，
∴AF＝FC，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴平行四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，
在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，
∴EO＝3，
∴S△AEO＝AO EO＝6，
S菱形＝4S△AEO＝24．
21．解：（1）设DE＝3x，
∵sinA＝，
∴AD＝5x，
由勾股定理可知：25x2＝9x2+162，
∴x＝4，
∴DE＝12，
∵∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝12．
（2）设BC＝y，
∴BC＝BE＝y，
∴AB＝16+y，
∵sinA＝，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
∴cot∠DBC＝＝2．
22．解：（1）设DE＝3x，DE⊥BC，
∵sin∠BCD＝，
∴，
∴CD＝5x，CE＝4x，
∵CD＝5，
∴x＝1，
∴CE＝4，
∵∠B＝45°，
∴DE＝BE＝3x，
∴BC＝BE+CE＝7x＝7．
（2）过点A作AF⊥BC于点F，
∴DE∥AF，
∵D是AB的中点，
∴DE是△ABF的中位线，
∴AF＝2DE，BF＝2BE，
由（1）可知：DE＝BE＝3，
∴AF＝6，BF＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
∴tan∠ACB＝6．
23．（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．