2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册2.1锐角三角函数同步知识点分类练习题(含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册2.1锐角三角函数同步知识点分类练习题(含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 442.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-15 07:52:47 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《锐角三角函数》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．锐角三角函数的定义
1．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，那么BC边的长是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．12
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则下列等式中不正确的是（ ）
A．a＝csinA B．a＝ C．b＝csinB D．c＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（ ）
A．8 B．12 C．13 D．18
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝，则AC＝ ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，用含α和β的代数式表示的值为 ．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是 ．
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则cosA的值是 ．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为
12．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
13．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝ ．（用锐角α的三角比表示）
15．如图所示在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知AC＝，AB＝3，那么sin∠ACD＝ ．
16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长．
18．已知a，b，c是△ABC的三边a，b，c满足等式（2b）2＝4（c+a）（c﹣a），且5a﹣3c＝0，则sinA+sinB+sinC＝ ．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，tanB＝，求AB的值．
20．在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么
sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：
sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝
我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，
（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是 ；
（2）若角α的终边与直线y＝2x重合，则sinα+cosα＝ ；
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα＝，则tanα ；
（4）若0°≤α≤90°，则sinα+cosα的取值范围是 ．
21．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．
23．已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0的两个正整数根之一，且另两边长为BC＝4，AB＝6，求cosA．
二．锐角三角函数的增减性
24．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
25．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤ B．0＜m≤ C．＜m＜ D．0＜m≤
26．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
27．下列说法正确的个数有（ ）
（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1
（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2
（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2
（4）如果cotα1＜cotα2，那么锐角α1＞锐角α2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．比较sin53° tan37°的大小．
29．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2＝0有实数根，那么锐角α的取值范围是 ．
30．若有意义，则锐角α的取值范围是 ．
31．cos21°，cos37°，sin41°，cos46°按从小到大的顺序排列为 ．
32．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinα cosα；若0°＜α＜45°，则sinα cosα；若45°＜α＜90°，sinα cosα．
33．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
三．同角三角函数的关系
34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA+cosA的值是（ ）
A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．不能确定
36．下列选项正确的是（ ）
A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2
C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞1
37．对于锐角α，下列等式中成立的是（ ）
A．sinα＝cosα tanα B．cosα＝tanα cotα
C．tanα＝cotα sinα D．cotα＝sinα cosα
38．已知tanα＝5，则＝ ．
39．已知0°＜θ＜90°，且sinθ+cosθ＝m，则tanθ+cotθ＝ ．
四．互余两角三角函数的关系
40．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值．
41．已知α+β＝90°，且sinα+cosβ＝，求锐角α．
42．计算：
43．化简：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°．
五．特殊角的三角函数值
44．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
45．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
46．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
47．已知α、β均为锐角，且满足|cosα﹣|+＝0，则α+β的度数为 ．
48．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °．
49．直角坐标系内，点A与点B（sin60°，）关于y轴对称，如果函数的图象经过点A，那么k＝ ．
50．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tanx+＝0，则x＝ ．
51．计算：
（1）tan260°+4sin30°cos45° （2）+tan60°．
52．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣．
53．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）
54．计算
（1）cos60°+
（2）﹣|1﹣tan60°|
55．计算下列各式
（1）tan30°×sin45°+tan60°×cos60°
（2）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°．
56．（1）2sin60°+3tan30°
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
（3）
（4）．
57．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°＝
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
58．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
59．求下列各式的值：
（1） tan30°；
（2）sin248°+sin242°﹣tan244° tan245° tan246°．
60．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
参考答案
一．锐角三角函数的定义
1．解：由sinA＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
即（4）2+（2k）2＝（3k）2，
解得k＝4（取正值），
所以BC＝2k＝8，
故选：B．
2．解：设AC为x，则BC＝2x，
由勾股定理得AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．
故选：B．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，
所以sinA＝，即a＝c sinA，因此选项A不符合题意，
tanA＝，即a＝b tanA，因此选项B符合题意，
sinB＝，即b＝c sinB，因此选项C不符合题意，
cosA＝，即c＝，因此选项D不符合题意，
故选：B．
4．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，
又∵cosA＝＝，
∴AB＝，
故选：B．
5．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
6．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，
∴＝，
∴AB＝13，
∴BC＝＝12，
故选：B．
7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝＝，
不妨设AC＝12k，则AB＝13k，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2，
即（12k）2+32＝（13k）2，
解得k＝（取正值），
所以AC＝12k＝，
故答案为：．
8．解：在Rt△ABC中，sinα＝，
∴AB＝，
在Rt△ADC中，sinβ＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
故答案为：．
9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，
不妨设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得，
AC＝＝2k，
所以tanB＝＝，
故答案为：2．
10．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB，
∵CD＝4，
∴AB＝8，
∵AC＝6，
∴cosA＝＝＝，
故答案为：
11．解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝＝，
∴BC＝×4＝，
∴AC＝＝，
∵CD AB＝AC BC，
∴CD＝＝，
即斜边上的高为．
故答案为：．
12．解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a＝＝5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH＝，
故答案为：．
13．解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，
∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴＝＝，
故答案为：．
14．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠BCD＝∠A＝α，
∴CD＝AC sinα＝4sinα，
∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．
故答案为：4sinαtanα．
15．解：∵直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
则sin∠ACD＝sinB＝＝，
故答案为：
16．解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2
17．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝．
∵BC＝2，
∴＝，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB＝．
18．解：∵（2b）2＝4（a+c）（c﹣a），
∴4b2＝4（c2﹣a2），
∴b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°．
∵5a﹣3c＝0，
∴＝，
∴sinA＝．
设a＝3k，c＝5k，
∴b＝＝4k，
∴sinB＝＝＝．
sinA+sinB+sinC＝++1＝．
19．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，tanB＝，
∵tanB＝，
∴BC＝＝＝，
则AB＝＝．
20．解：（1）∵270°＜α＜360°，∴x＞0，y＜0，
∴角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是cosα．
（2）∵角α的终边与直线y＝2x重合，
∴sinα＝，cosα＝或sinα＝﹣，cosα＝﹣．
∴sinα+cosα＝或sinα+cosα＝﹣．
（3）cosα＝＝，则r＝2，
∴x＝，
∴tanα＝＝﹣＝﹣．
（4）若 0°≤α≤90°，设OP＝1，
则sinα+cosα＝x+y，
∵当α＝0°时，x+y＝x＝OP＝1，
当α≠0时，根据三角形的两边之和大于第三边，则x+y＞1，
因而sinα+cosα≥1，
∵x2+y2＝1，
∴（x+y）2﹣2xy＝1，
∴（x+y）2＝1+2xy≤1+（x2+y2），
∵当x＝y时，（x+y）2的值最大，当x＝y时，x＝y＝，
∴（x+y）2≤2．
∴x+y≤
故其取值范围为：[1，]
故答案为：cosα，，﹣，[1，]．
21．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sinC＝sin60°＝．
故答案为：．
22．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，
而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，
即：m2﹣2（2m﹣2）＝25
解得，m1＝7，m2＝﹣3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．
∴m＝7，
当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得，x1＝3，x2＝4，
不妨设a＝3，则sinA＝＝，
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．
23．解：根据与系数的关系可知：
x1 x2＝4，
又∵x1、x2为正整数解，
∴x1，x2可为1、4或2、2（2分）
又∵BC＝4，AB＝6，
∴2＜AC＜10，
∴AC＝4，（5分）
∴AC＝BC＝4，△ABC为等腰三角形，
过点C作CD⊥AB，∴AD＝3，（7分）
cosA＝＝．（8分）
二．锐角三角函数的增减性
24．解：∵cos60°＝，＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
25．解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，
∴m的最大值为＝＝，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D＝＝，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
故选：A．
26．解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
27．解：（1）根据锐角三角函数的概念，三边都是正数，且斜边最大，故正确；
（2）余弦值是随着角的增大而减小，故错误；
（3）正弦值是随着角的增大而增大，故正确；
（4）余切值是随着角的增大而减小，故正确．
所以正确的有（1），（3），（4）．
故选：C．
28．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，
∴sin53°＞tan37°．
故答案为＞
29．解：由Δ＝16cos2α﹣24sinα＝16（1﹣sin2α）﹣24sinα≥0得：2sin2α+3sinα﹣2≤0，
∴（sinα+2）（2sinα﹣1）≤0．
又∵sinα+2＞0，
∴．
故答案为：0＜α≤30°．
30．解：根据二次根式有意义的条件，得﹣cosα≥0，
即cosα≤．
∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴锐角α的取值范围是60°≤α＜90°．
31．解：∵sin41°＝cos49°，余弦值随着角的增大而减小，
∵21°＜37°＜46°＜49°，
∴sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
32．解：
（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞，
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
（2）由（1）可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．
（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．
故答案为：＝，＜，＞．
33．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，
∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．
三．同角三角函数的关系
34．解：由题意得：
sin2A+cos2A＝1，
∴cos2A＝1﹣＝，
∴cosA＝，
故选：C．
35．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA＝，
∴sinA+cosA＝+＝，
∵BC+AC＞AB，
∴＞1，
∴sinA+cosA的值是：大于1，
故选：A．
36．解：如图：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°，
∴sin31°＝，cos31°＝，
∴sin31°+cos31°＝+＝，
∵BC+AC＞AB，
∴+＞1，
∴sin31°+cos31°＞1，
故选：D．
37．解：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A＝α，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
有sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝，于是：
A． cosα tanα＝ ＝＝sinα，因此选项A符合题意；
B． tanα cotα＝ ＝1≠cosα，因此选项B不符合题意；
C． cotα sinα＝ ＝＝cosα，因此选项C 不符合题意；
D． sinα cosα＝ ＝≠cotα，因此选项D不符合题意；
故选：A．
38．解：∵tanα＝5＝，
∴sinα＝5cosα，
∴原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
39．解：∵0°＜θ＜90°，sinθ+cosθ＝m，
∴（sinθ+cosθ）2＝m2，
∴sin2θ+cos2θ+2sinθ cosθ＝m2，
∴1+2sinθ cosθ＝m2，
解得：sinθ cosθ＝，
∴tanθ+cotθ
＝+
＝
＝
＝，
故答案为：．
四．互余两角三角函数的关系
40．解：∵sinA+sinB＝，
∴（sinA+sinB）2＝，
∴sin2A+sin2B+2sinA sinB＝，
∵sinB＝cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinA sinB＝，
∴2sinA sinB＝，
∴（sinA﹣sinB）2＝1﹣＝，
∴sinA﹣sinB＝±．
41．解：由α+β＝90°，得sinα＝cosβ．
sinα+cosβ＝2sinα＝，
sinα＝，
α＝60°．
42．解：
＝（sin266°+sin224°）﹣1+（）2+（）2+
＝1﹣1+++9
＝10．
43．解：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°
＝cos21°+cos289°+…+cos244°+cos246°+cos245°
＝（cos21°+cos289°）+…+（cos244°+cos246°）+（）2
＝+
＝44．
五．特殊角的三角函数值
44．解：∵|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，
∴tanB＝，2cosA＝1，
则∠B＝60°，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
45．解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
46．解：由题意得，tan2B﹣3＝0，2sinA﹣＝0，
即tanB＝，sinA＝，
∠B＝60°，∠A＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故选：A．
47．解：由题意得，cosα﹣＝0，tanβ﹣＝0，
解得，α＝60°，β＝60°，
则α+β的度数为120°，
故答案为：120°．
48．解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
49．解：∵sin60°＝，
∴点B（，）．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：
点A为（﹣，），
∵函数的图象经过点A，
∴k＝×＝．
50．解：∵tan2x﹣（+1）tanx+＝0，
∴（tanx﹣1）（tanx﹣）＝0，
∴tanx＝1或，
当tanx＝1时，x＝45°；
当tanx＝时，x＝60°．
故x＝45°或60°．
51．解：（1）原式＝3+4××
＝3+；
（2）原式＝+
＝．
52．解：原式＝（）﹣1×（﹣）﹣（﹣1）
＝2×（﹣）﹣+1
＝﹣﹣+1
＝1﹣．
53．解：原式＝﹣×（1﹣）
＝﹣×
＝．
54．解：（1）原式＝+×+×
＝++1
＝2；
（2）原式＝﹣|1﹣|
＝﹣|1﹣|
＝|﹣1|﹣（﹣1）
＝1﹣﹣+1
＝．
55．解：（1）原式＝×+×
＝；
（2）原式＝（）2+2×+1﹣+（）2
＝++1﹣+
＝2．
56．解：（1）2sin60°+3tan30°＝2×+3×＝+＝2；
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°＝1﹣1＝0；
（3）＝＝9﹣5
（4）sin45°+sin60°﹣2cos45°＝×+﹣2×＝+﹣．
57．解：（1）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
∴cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin 45°，
＝×﹣×＝；
（2）∵，
∴tan75°＝＝＝2+；
（3）如下图：tan75°＝tan∠CBD＝＝+2．
58．解：（1）原式＝+＝2﹣+＝2；
（2）原式＝ ++＝1+1＝2；
（3）原式＝2××﹣1×＝﹣＝1．
59．解：（1）原式＝×＝×＝；
（2）∵互余的两锐角的正弦的平方和等于1，
互余的两锐角的正切的平方之积等于1．
∴原式＝1﹣12×1＝0．
60．解：（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°＝，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°＝﹣，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°＝；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，﹣，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，
解得：m＝0，
经检验﹣是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，
解得：m＝0，
经检验不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．
同步知识点分类练习题（附答案）
一．锐角三角函数的定义
1．在△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，sinA＝，那么BC边的长是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．12
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝1：2，则∠A的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，则下列等式中不正确的是（ ）
A．a＝csinA B．a＝ C．b＝csinB D．c＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝2，cosA＝，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，则BC的长为（ ）
A．8 B．12 C．13 D．18
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝，则AC＝ ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，用含α和β的代数式表示的值为 ．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是 ．
10．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则cosA的值是 ．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝，则斜边AB边上的高CD的长为
12．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为 ．
13．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝ ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，如果∠A＝α，AC＝4，那么BD＝ ．（用锐角α的三角比表示）
15．如图所示在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知AC＝，AB＝3，那么sin∠ACD＝ ．
16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝2，求AB的长．
18．已知a，b，c是△ABC的三边a，b，c满足等式（2b）2＝4（c+a）（c﹣a），且5a﹣3c＝0，则sinA+sinB+sinC＝ ．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，tanB＝，求AB的值．
20．在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么
sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：
sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝
我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题，
（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是 ；
（2）若角α的终边与直线y＝2x重合，则sinα+cosα＝ ；
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα＝，则tanα ；
（4）若0°≤α≤90°，则sinα+cosα的取值范围是 ．
21．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．
23．已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0的两个正整数根之一，且另两边长为BC＝4，AB＝6，求cosA．
二．锐角三角函数的增减性
24．已知＜cosα＜sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
A．30°＜α＜80° B．10°＜α＜80° C．60°＜α＜80° D．10°＜α＜60°
25．如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m≤ B．0＜m≤ C．＜m＜ D．0＜m≤
26．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
27．下列说法正确的个数有（ ）
（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1
（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2
（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2
（4）如果cotα1＜cotα2，那么锐角α1＞锐角α2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．比较sin53° tan37°的大小．
29．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．如果关于x的方程3x2sinα﹣4xcosα+2＝0有实数根，那么锐角α的取值范围是 ．
30．若有意义，则锐角α的取值范围是 ．
31．cos21°，cos37°，sin41°，cos46°按从小到大的顺序排列为 ．
32．（1）如图锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
（2）根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
（3）比较大小（在空格处填写“＞”“＝”“＜”号），若α＝45°，则sinα cosα；若0°＜α＜45°，则sinα cosα；若45°＜α＜90°，sinα cosα．
33．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．
三．同角三角函数的关系
34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
35．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sinA+cosA的值是（ ）
A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．不能确定
36．下列选项正确的是（ ）
A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2
C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞1
37．对于锐角α，下列等式中成立的是（ ）
A．sinα＝cosα tanα B．cosα＝tanα cotα
C．tanα＝cotα sinα D．cotα＝sinα cosα
38．已知tanα＝5，则＝ ．
39．已知0°＜θ＜90°，且sinθ+cosθ＝m，则tanθ+cotθ＝ ．
四．互余两角三角函数的关系
40．在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA+sinB＝，求sinA﹣sinB的值．
41．已知α+β＝90°，且sinα+cosβ＝，求锐角α．
42．计算：
43．化简：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°．
五．特殊角的三角函数值
44．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，则△ABC是（ ）
A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形
C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形
45．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
46．在△ABC中，已知∠A、∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2＝0，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
47．已知α、β均为锐角，且满足|cosα﹣|+＝0，则α+β的度数为 ．
48．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C＝ °．
49．直角坐标系内，点A与点B（sin60°，）关于y轴对称，如果函数的图象经过点A，那么k＝ ．
50．若锐角x满足tan2x﹣（+1）tanx+＝0，则x＝ ．
51．计算：
（1）tan260°+4sin30°cos45° （2）+tan60°．
52．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣．
53．计算：﹣sin60°（1﹣sin30°）
54．计算
（1）cos60°+
（2）﹣|1﹣tan60°|
55．计算下列各式
（1）tan30°×sin45°+tan60°×cos60°
（2）sin230°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos230°．
56．（1）2sin60°+3tan30°
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°
（3）
（4）．
57．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ
例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30° cos45°+cos30° sin45°＝
（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；
（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；
（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．
58．计算：
（1）+；
（2）tan30° tan60°+sin245°+cos245°；
（3）2cos30° sin60°﹣tan45° sin30°．
59．求下列各式的值：
（1） tan30°；
（2）sin248°+sin242°﹣tan244° tan245° tan246°．
60．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
参考答案
一．锐角三角函数的定义
1．解：由sinA＝＝，不妨设BC＝2k，则AB＝3k，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
即（4）2+（2k）2＝（3k）2，
解得k＝4（取正值），
所以BC＝2k＝8，
故选：B．
2．解：设AC为x，则BC＝2x，
由勾股定理得AB＝＝x，
∴sinA＝＝＝．
故选：B．
3．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，
所以sinA＝，即a＝c sinA，因此选项A不符合题意，
tanA＝，即a＝b tanA，因此选项B符合题意，
sinB＝，即b＝c sinB，因此选项C不符合题意，
cosA＝，即c＝，因此选项D不符合题意，
故选：B．
4．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝2，
又∵cosA＝＝，
∴AB＝，
故选：B．
5．解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
6．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，
∴＝，
∴AB＝13，
∴BC＝＝12，
故选：B．
7．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝＝，
不妨设AC＝12k，则AB＝13k，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2，
即（12k）2+32＝（13k）2，
解得k＝（取正值），
所以AC＝12k＝，
故答案为：．
8．解：在Rt△ABC中，sinα＝，
∴AB＝，
在Rt△ADC中，sinβ＝，
∴AD＝，
∴＝＝，
故答案为：．
9．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，
不妨设BC＝k，则AB＝3k，由勾股定理得，
AC＝＝2k，
所以tanB＝＝，
故答案为：2．
10．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AB，
∵CD＝4，
∴AB＝8，
∵AC＝6，
∴cosA＝＝＝，
故答案为：
11．解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACB中，∵sinA＝＝，
∴BC＝×4＝，
∴AC＝＝，
∵CD AB＝AC BC，
∴CD＝＝，
即斜边上的高为．
故答案为：．
12．解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，
∴a＝＝5，
∵PH⊥x轴于H，
∴PH＝5，OH＝12，
∴tan∠POH＝，
故答案为：．
13．解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，
∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴＝＝，
故答案为：．
14．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠BCD＝∠A＝α，
∴CD＝AC sinα＝4sinα，
∴BD＝CDtanα＝4sinαtanα．
故答案为：4sinαtanα．
15．解：∵直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
则sin∠ACD＝sinB＝＝，
故答案为：
16．解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PF＝CF＝BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
故答案为：2
17．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴tanA＝＝．
∵BC＝2，
∴＝，AC＝6．
∵AB2＝AC2+BC2＝40，
∴AB＝．
18．解：∵（2b）2＝4（a+c）（c﹣a），
∴4b2＝4（c2﹣a2），
∴b2＝c2﹣a2，
∴a2+b2＝c2．
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°．
∵5a﹣3c＝0，
∴＝，
∴sinA＝．
设a＝3k，c＝5k，
∴b＝＝4k，
∴sinB＝＝＝．
sinA+sinB+sinC＝++1＝．
19．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，tanB＝，
∵tanB＝，
∴BC＝＝＝，
则AB＝＝．
20．解：（1）∵270°＜α＜360°，∴x＞0，y＜0，
∴角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是cosα．
（2）∵角α的终边与直线y＝2x重合，
∴sinα＝，cosα＝或sinα＝﹣，cosα＝﹣．
∴sinα+cosα＝或sinα+cosα＝﹣．
（3）cosα＝＝，则r＝2，
∴x＝，
∴tanα＝＝﹣＝﹣．
（4）若 0°≤α≤90°，设OP＝1，
则sinα+cosα＝x+y，
∵当α＝0°时，x+y＝x＝OP＝1，
当α≠0时，根据三角形的两边之和大于第三边，则x+y＞1，
因而sinα+cosα≥1，
∵x2+y2＝1，
∴（x+y）2﹣2xy＝1，
∴（x+y）2＝1+2xy≤1+（x2+y2），
∵当x＝y时，（x+y）2的值最大，当x＝y时，x＝y＝，
∴（x+y）2≤2．
∴x+y≤
故其取值范围为：[1，]
故答案为：cosα，，﹣，[1，]．
21．解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sinC＝sin60°＝．
故答案为：．
22．解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2＝0的解，
∴a+b＝m，ab＝2m﹣2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2＝c2，
而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，c＝5，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25，
即：m2﹣2（2m﹣2）＝25
解得，m1＝7，m2＝﹣3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b＝m＞0，m＝﹣3不合题意，舍去．
∴m＝7，
当m＝7时，原方程为x2﹣7x+12＝0，
解得，x1＝3，x2＝4，
不妨设a＝3，则sinA＝＝，
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．
23．解：根据与系数的关系可知：
x1 x2＝4，
又∵x1、x2为正整数解，
∴x1，x2可为1、4或2、2（2分）
又∵BC＝4，AB＝6，
∴2＜AC＜10，
∴AC＝4，（5分）
∴AC＝BC＝4，△ABC为等腰三角形，
过点C作CD⊥AB，∴AD＝3，（7分）
cosA＝＝．（8分）
二．锐角三角函数的增减性
24．解：∵cos60°＝，＜cosα＜sin80°
锐角α的余弦值随着α的变大而减小，
故α＜60°
∵sin80°＝cos10°
∴10°＜α＜60°
故选：D．
25．解：如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，
∴m的最大值为＝＝，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D＝＝，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
故选：A．
26．解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
27．解：（1）根据锐角三角函数的概念，三边都是正数，且斜边最大，故正确；
（2）余弦值是随着角的增大而减小，故错误；
（3）正弦值是随着角的增大而增大，故正确；
（4）余切值是随着角的增大而减小，故正确．
所以正确的有（1），（3），（4）．
故选：C．
28．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，
∴sin53°＞tan37°．
故答案为＞
29．解：由Δ＝16cos2α﹣24sinα＝16（1﹣sin2α）﹣24sinα≥0得：2sin2α+3sinα﹣2≤0，
∴（sinα+2）（2sinα﹣1）≤0．
又∵sinα+2＞0，
∴．
故答案为：0＜α≤30°．
30．解：根据二次根式有意义的条件，得﹣cosα≥0，
即cosα≤．
∵cos60°＝，余弦函数随角增大而减小，
∴锐角α的取值范围是60°≤α＜90°．
31．解：∵sin41°＝cos49°，余弦值随着角的增大而减小，
∵21°＜37°＜46°＜49°，
∴sin41°＜cos46°＜cos37°＜cos21°．
32．解：
（1）在图中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞，
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＞AB2＞AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＜cos∠B2AC＜cos∠B1AC；
结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小．
（2）由（1）可知：
sin88°＞sin62°＞sin50°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos62°＜cos50°＜cos34°＜cos18°．
（3）若α＝45°，则sinα＝cosα；若0°＜α＜45°，则sinα＜cosα；若45°＜α＜90°，则sinα＞cosα．
故答案为：＝，＜，＞．
33．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，
∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．
三．同角三角函数的关系
34．解：由题意得：
sin2A+cos2A＝1，
∴cos2A＝1﹣＝，
∴cosA＝，
故选：C．
35．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA＝，
∴sinA+cosA＝+＝，
∵BC+AC＞AB，
∴＞1，
∴sinA+cosA的值是：大于1，
故选：A．
36．解：如图：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°，
∴sin31°＝，cos31°＝，
∴sin31°+cos31°＝+＝，
∵BC+AC＞AB，
∴+＞1，
∴sin31°+cos31°＞1，
故选：D．
37．解：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A＝α，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
有sinα＝，cosα＝，tanα＝，cotα＝，于是：
A． cosα tanα＝ ＝＝sinα，因此选项A符合题意；
B． tanα cotα＝ ＝1≠cosα，因此选项B不符合题意；
C． cotα sinα＝ ＝＝cosα，因此选项C 不符合题意；
D． sinα cosα＝ ＝≠cotα，因此选项D不符合题意；
故选：A．
38．解：∵tanα＝5＝，
∴sinα＝5cosα，
∴原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
39．解：∵0°＜θ＜90°，sinθ+cosθ＝m，
∴（sinθ+cosθ）2＝m2，
∴sin2θ+cos2θ+2sinθ cosθ＝m2，
∴1+2sinθ cosθ＝m2，
解得：sinθ cosθ＝，
∴tanθ+cotθ
＝+
＝
＝
＝，
故答案为：．
四．互余两角三角函数的关系
40．解：∵sinA+sinB＝，
∴（sinA+sinB）2＝，
∴sin2A+sin2B+2sinA sinB＝，
∵sinB＝cosA，
∴sin2A+cos2A+2sinA sinB＝，
∴2sinA sinB＝，
∴（sinA﹣sinB）2＝1﹣＝，
∴sinA﹣sinB＝±．
41．解：由α+β＝90°，得sinα＝cosβ．
sinα+cosβ＝2sinα＝，
sinα＝，
α＝60°．
42．解：
＝（sin266°+sin224°）﹣1+（）2+（）2+
＝1﹣1+++9
＝10．
43．解：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°
＝cos21°+cos289°+…+cos244°+cos246°+cos245°
＝（cos21°+cos289°）+…+（cos244°+cos246°）+（）2
＝+
＝44．
五．特殊角的三角函数值
44．解：∵|tanB﹣|+（2cosA﹣1）2＝0，
∴tanB＝，2cosA＝1，
则∠B＝60°，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
故选：B．
45．解：由题意得，sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，＝cosB，
解得，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°，
故选：C．
46．解：由题意得，tan2B﹣3＝0，2sinA﹣＝0，
即tanB＝，sinA＝，
∠B＝60°，∠A＝60°，
则∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
故△ABC为等边三角形．
故选：A．
47．解：由题意得，cosα﹣＝0，tanβ﹣＝0，
解得，α＝60°，β＝60°，
则α+β的度数为120°，
故答案为：120°．
48．解：由题意得，tanA＝1，cosB＝，
则∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故答案为：75．
49．解：∵sin60°＝，
∴点B（，）．
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：
点A为（﹣，），
∵函数的图象经过点A，
∴k＝×＝．
50．解：∵tan2x﹣（+1）tanx+＝0，
∴（tanx﹣1）（tanx﹣）＝0，
∴tanx＝1或，
当tanx＝1时，x＝45°；
当tanx＝时，x＝60°．
故x＝45°或60°．
51．解：（1）原式＝3+4××
＝3+；
（2）原式＝+
＝．
52．解：原式＝（）﹣1×（﹣）﹣（﹣1）
＝2×（﹣）﹣+1
＝﹣﹣+1
＝1﹣．
53．解：原式＝﹣×（1﹣）
＝﹣×
＝．
54．解：（1）原式＝+×+×
＝++1
＝2；
（2）原式＝﹣|1﹣|
＝﹣|1﹣|
＝|﹣1|﹣（﹣1）
＝1﹣﹣+1
＝．
55．解：（1）原式＝×+×
＝；
（2）原式＝（）2+2×+1﹣+（）2
＝++1﹣+
＝2．
56．解：（1）2sin60°+3tan30°＝2×+3×＝+＝2；
（2）sin260°+cos260°﹣tan45°＝1﹣1＝0；
（3）＝＝9﹣5
（4）sin45°+sin60°﹣2cos45°＝×+﹣2×＝+﹣．
57．解：（1）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
∴cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin 45°，
＝×﹣×＝；
（2）∵，
∴tan75°＝＝＝2+；
（3）如下图：tan75°＝tan∠CBD＝＝+2．
58．解：（1）原式＝+＝2﹣+＝2；
（2）原式＝ ++＝1+1＝2；
（3）原式＝2××﹣1×＝﹣＝1．
59．解：（1）原式＝×＝×＝；
（2）∵互余的两锐角的正弦的平方和等于1，
互余的两锐角的正切的平方之积等于1．
∴原式＝1﹣12×1＝0．
60．解：（1）由题意得，
sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°＝，
cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°＝﹣，
sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°＝；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，﹣，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，
解得：m＝0，
经检验﹣是方程4x2﹣1＝0的根，
∴m＝0符合题意；
②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根为，，不符合题意；
③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为，，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1＝0，
解得：m＝0，
经检验不是方程4x2﹣1＝0的根．
综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．