人教版2022-2023学年九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=ax?＋k的图象和性质同步精品 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
二次函数y=ax2+k的图象和性质
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）
3.理解y=ax 与 y=ax +k之间的联系.（重点）
向上
向下
(0,0)
(0,0)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
方向
向上
向下
大小
越小
越大
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.
解：1.列表：
2.在坐标系内，描点.
3.用平滑的曲线连线.
y=x2+1
y=x2-1
1.抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
y=x2+1
y=x2-1
(1)抛物线y=2x2+1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
(2)抛物线y=2x2-1的开口____、对称轴____、顶点是_______.
向上
y轴
(0,1)
向上
y轴
(0,-1)
2.抛物线y=2x2+1，y=2x2-1的最值、增减性又如何？
y=x2+1
y=x2-1
(1)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最____值分别为______、_______;
(2)函数的增减性都相同：当x＞0(对称轴右侧)时_______________，当x＜0时(对称轴左侧) _______________.
低
小
y=1
y=-1
y随x增大而增大
y随x增大而减小
小
3.抛物线y=ax2+k(a＞0)的图象有哪些性质？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2+k的开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最低点，函数有最小值，最小值为k.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
4.抛物线y=2x2+1，y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？
y=x2+1
y=x2-1
(1)把抛物线y=2x2向上平移1个单位，就得到抛物线y=2x2+1；
(2)把抛物线y=2x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=2x2-1.
5.抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2有什么关系？
y=ax2
向上平移
k个单位
y=ax2+k(k＞0)
y=ax2
向下平移
k个单位
y=ax2-k(k＞0)
口决：上加下减
画出二次函数 ， ， 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 ；
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________；
(4) 从上而下顶点坐标分别是
___________________;
抛物线
向下
y轴
(0,0)
(0,2)
(0,-2)
画出二次函数 ， ， 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最____值分别为_____、_____、_____;
(6)函数的增减性都相同：当x＞0(对称轴右侧)时_______________，当x＜0时(对称轴左
侧) _______________.
高
大
y=2
y=0
y随x增大而增大
y随x增大而减小
大
y=-2
抛物线y=ax2+k(a＜0)的图象有哪些性质？
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0,k)，顶点是抛物线的最高点，函数有最大值，最小值为k.
在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升趋势；在对称轴的右侧，抛物线从左到右下降趋势.也就是说，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
向上
向下
(0,k)
(0,k)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
例1.已知抛物线y=ax2+b过点(-2,-3)和点(1,6)．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而增大．
解:(1)∵抛物线y=ax2+b过点(-2,-3)和点(1,6)．
∴ ，解得
∴这个函数得关系式为：y=-3x2+9．
(2)∵二次函数y=-3x2+9开口向下，对称轴为y轴(x=0)，
∴当x＜0时，函数y随x的增大而增大．
二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
（1）求函数y=ax2+c的表达式．
（2）若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．
解:(1)将A（1，-1），B（2，5）代入y=ax2+c得：
，解得： ，
则二次函数解析式为y=2x2-3；
(2)将x=-2，y=m代入二次函数解析式得：y=m=5，即C（5，-2）；
将x=n，y=7代入二次函数解析式得：7=2n2-3，即n= ，
即D（ ，7）或（ ，7）．
例2.已知点A（-1,y1），B（-2,y2），C（4,y3）在二次函数y＝-x2+c的图象上，则y1,y2 ,y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
【分析】解：∵y＝-x2+c的开口向下，对称轴为直线x=0，
∴离对称轴越近函数值越大，
∵点A（-1，y1），B（-2，y2），C（4，y3）在二次函数y＝-x2+c的图象上，
∴|-1|＜|-2|＜4，
∴y3＜y2＜y1.
A
1.已知二次函数y=x2-1图象上三点(-1,y1),(2,y2),(3,y3）比较y1,y2 ,y3的大小（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
B
2.若点A（-1，m）和B（-2，n）在二次函数y=-x2+20图象上，则m____n（填大小关系）
3.已知点A(1,y1),点B(2,y2)在二次函数y=ax2-2(a≠0)的图象上，且y1＜y2，那么a的取值范围是______．
＞
a＞0
例3.已知函数 是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
解:(1)∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2+m-4=2，
解得：m1=2，m2=-3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：(0,1)，
由于抛物线的对称轴为y轴，故当x＞0时，y随x的增大而增大；
例3.已知函数 是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
解:(3)当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=-x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
1.已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为(-2,3)
C．图象的对称轴是直线x=-3 D．有最大值，为－3
D
2.二次函数 的图象开口向上，则k＝_____．
例4.已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
【分析】由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
【点睛】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
二次函数y＝-2x2+1的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1＝y2，当x＝x1+x2时，对应的函数值y＝___．
1
例5.函数y＝ax-a和y=ax2+2(a为常数,且a≠0),在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A B C D
C
【分析】解：由y=ax2+2的顶点坐标为(0,2), 故A，B不符合题意；
由C，D中二次函数的图象可得：a＜0，
∴-a＞0，
∴函数y＝ax－a过一，二，四象限，故C符合题意，D不符合题意，
在同一直角从标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c.的图象大致是如图中的( )
B
例6.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，
此时P点坐标为( ，2)，(－ ，2)．
典例解析
1.若将抛物线y=-2x2-2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是( )
A.向上平移2个单位 B.向下平移2个单位
C.向左平移2个单位 D.向右平移2个单位
2.当a<0时,函数y=ax2+a的图象经过的象限是( )
A.第三、四象限 B.第一、二象限
C.第二、三、四象限 D.第一、三象限
A
A
3.抛物线y=-3x2-2的开口方向是_____,顶点坐标是_______,对称轴是____,
抛物线y=-3x2-2可由抛物线y=-3x2向____平移____个单位得到.
4.若拋物线y=ax2-1经过点(4，31)，则a=____,在这个函数图象上该点关于对称轴对称的点为_________.
向下
(0,-2)
y轴
下
2
2
(-4,31)
6.将抛物线y=x2-1向上平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_________.
5.抛物线y=-4x2+8的开口______,对称轴是______,顶点坐标是_______,抛物线与x轴的交点坐标__________________,与y轴的交点坐标______,当x<0时，y随着x的增大而_____，当x>0时，y随着x的增大而______，当______________时，y>0.
向下
(0,8)
y轴
(,0)、(,0)
(0,8)
增大
减小
＜
y=x2+1
7.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
D
8.已知二次函数y＝ax2与y＝-2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝____；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝-2x2+c的图象完全重合，则c＝_____；
（3）二次函数y＝-2x2+c中x、y的几组对应值如表：
表中m、n、p的大小关系为__________(用“＜”连接)．
x -2 1 5
y m n p
解:(1)二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝-2x2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝-2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2-2，与y＝-2x2+c的图象完全重合，
∴c＝-2，
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
向上
向下
(0,k)
(0,k)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.