北师大版2022-2023学年八年级数学上册第1课时 探索勾股定理 同步精品课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
1.1 勾股定理
初中数学
直角三角形
1. 三角形内角和为180 .
2.两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边.
3.斜边中线等于斜边一半.
4.两锐角互余.
知识回顾
1.探索并掌握勾股定理的证明过程.
2.熟练运用勾股定理解决数学问题.
学习目标
相传 2500 多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
课堂导入
请你观察一下地面的图案，从中发现了什么？
思考1 图中三个正方形的面积有什么关系？
知识点1：勾股定理的认识与证明
新知探究
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积.S1=S2+S3
你是如何得到呢？
思考2 等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
斜边的平方等于两直角边的平方和.
c2=a2+b2
a
b
c
你能说一下思路吗？
探究 等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗？
如图，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C， A' ， B' ， C' 的面积，看看能得出什么结论？
A B C A' B' C'
面积/格
4
34
25
9
13
9
你发现了什么规律吗？
我发现 SA+SB=SC，SA'+SB'=SC'
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
通过上面的思考和探究，我们可以猜想：
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．
有哪些证明方法呢？
证法一：赵爽弦图
b
b
a
a
c
c
a
b
边长分别为a，b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形.
四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形.
b
b
a
a
c
a
c
b
如图，左边图形的面积= a2+b2，右边图形的面积=c2.
∵右边图形由左边图形拼接而成，
∴得到a2+b2=c2 .
证法二：加菲尔德总统拼图
b
b
a
a
c
c
┐
┌
┌
（1）
+
（2）
∴ a2+b2=c2.
证法三：毕达哥拉斯拼图
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
分别计算左右两个正方形的面积，你能得出什么结论？
b
b
b
b
a
a
a
a
c
c
c
c
b
b
b
b
a
a
b
a
a
c
c
4
4
证法四：刘徽“青朱出入图”
设大正方形的面积为S，则S=
根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S=.
∴ =.
a
b
c
青出
青出
青入
青入
朱入
朱出
青方
朱方
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
注意：1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形.
2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解.
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形 A，B，C，D 的边长分别为12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
跟踪训练
新知探究
解：设另两个正方形中大的为M，小的为N，
由勾股定理和正方形的面积公式，
得，
而
1.在Rt△ABC中，∠A， ∠B， ∠C的对边分别为a，b，c， ∠C=90 . 已知a：b=1 : 2，c=5，求b.
解：∵∠C=90 ， a：b=1:2， ∴ b=2a.
由勾股定理，得
随堂练习
（），.
2.如图，每个小正方形的边长均为1，求三角形ABC的三边长.
解：由图可知，
AB=.
同理，AC=.
同理，BC=.
A
B
C
3.已知直角三角形的两条边长为2，4，则第三条边长为多少？
未说明已知的两条边长是直角边还是斜边，在解答的时候要注意分情况讨论，且要满足三角形的三边关系.
解：（1）当2，4均为直角边时；
由勾股定理，得第三边=
（2）当2为直角边，4为斜边时；
由勾股定理，得第三边=
∵2+4>，∴满足三角形三边关系.
∵2+>，∴满足三角形三边关系.
1.在△中， ∠B=90 ，，则两直角边的关系是（ ）.
A. a=c B. a>c C. a解析：因为 ∠B=90 ，所以b是斜边，a，c 是直角边.
由勾股定理，得
因为，所以，即.
所以a=c.
A
拓展提升
2.（2022 中考）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A. 统计思想 B. 分类思想
C. 数形结合思想 D. 函数思想
C
3.某直角三角形一直角边长为3，另一直角边和斜边的和为9，求斜边的长为多少？
解：设斜边长为 x，则另一直角边长为 9- x.
由勾股定理，得
化简得
∴斜边长为5.
解得 ， .
4.如图，在△中，AB=13，BC=14，AC=15，求边BC上的高AD的长.
解：设BD=x（x>0），则CD=14-x.
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
同理，在Rt△ABD中，
∴ ，
解得x=5.
∴ =144，即AD=12.
5.已知则以x，y，z为边长能否组成直角三角形？
解： ∵ ，
∴由绝对值、平方、二次根式的非负性，可得
由勾股定理得
∴可以组成直角三角形.
解得
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数.
知识点2：勾股数
新知探究
勾股数必须是正整数，例如0.3，0.4，0.5和1虽然满足， 但它们都不是勾股数.
判断一组数是否为勾股数的步骤
1.看：看是不是三个正整数；
2.找：找最大数；
3.算：计算最大数的平方与两个较小的数的平方和；
4.判：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数.
（1）常见的勾股数有：①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25； ④6,8,10； ⑤8,15,17； ⑥9,12,15.
（2）勾股数有无数组.
（3）一组勾股数中的各数都乘以相同的正整数可以得到一组新的勾股数，即如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k为正整数）也是一组勾股数.
1.判断下列各组数是不是勾股数.
（1）8,12,16；（2）12,16,20；（3）0.9,1.2,1.5
解：（1）因为.
所以不是一组勾股数.
（2）因为.
所以
（3）不是正整数，所以不是一组勾股数.
跟踪训练
新知探究
2.给出下列数组：①5、12、13；②2、3、4；③2.5、6、6.5；④21、20、29.其中勾股数的组数是（ ）.
A.4 B.3 C.2 D.1
解析： ①因为所以
②因为所以
③因为所以不
④因为所以
C
3.下列各组数据为勾股数的是（ ）.
A. B.1，
C.5，12，13 D.2，3，4
解析：勾股数必须是一组正整数，所以选项A，B不符合题意.
C
因为，所以符合题意.
因为，所以不符合题意.
4.（2021 常德中考）阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数. 依次正确的是（　）
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
C
勾股定理
证明
定理
刘徽“青朱出入图”
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
赵爽弦图
课堂小结