2022-2023学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）第3课时 勾股定理的应用 课件（共39张PPT）

(共39张PPT)
1.3 勾股定理
初中数学
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的4种证明方法：
赵爽弦图
刘徽“青朱出入图”
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
知识回顾
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b , c 满足，那么这个三角形是直角三角形.
△ABC的三边a，b，c满足
是直角三角形
A
C
B
a
b
c
1.熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
2.进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识.
3.学会将实际问题构建成数学模型，并运用勾股定理的逆定理解决.
学习目标
这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题.
波平如镜一湖面，3尺高处出红莲.
亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处6尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？
课堂导入
分析：①梯子下滑前和下滑后的长度不变;②梯子下滑前和下滑后均与墙AO和地面构成直角三角形.
例1 如图，一架 2.6m 长的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4m. 如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？
A
C
O
B
D
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△中，由勾股定理得，
,
所以
A
C
O
B
D
在Rt△中，由勾股定理得，
所以.
A
C
O
B
D
所以梯子的顶端下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
运用勾股定理解决实际问题的一般步骤
1.从实际问题中抽象出几何图形；
2.确定所求线段所在的直角三角形；
3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4.求得结果.
勾股定理应用的常见类型
1.已知直角三角形的任意两边求第三边；
2.已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；
3.证明包含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
4.求解几何体表面上的最短路程问题；
5.构造方程（或方程组）计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题.
1.在一次台风中，小红家的树在离地面 3 米的地方被拦腰截断，树的顶部落在离根部 4 米的地方，你能计算出这棵树没截断前的高度吗？
跟踪训练
新知探究
分析：根据题意，可以将地面、截断倒地的树的部分、剩余未截断的树的部分构建成一个直角三角形.
解：在Rt△ABC中，AC=3m，BC=4m.
由勾股定理得.
则.
所以这棵树没截断前的高度是
AC+AB=3+5=8m.
A
C
B
2.已知,在 Rt△ABC和 Rt△中, ∠C=∠=90 ,
=，AC=.
求证： △.
A
C
B
分析：根据勾股定理可以得出直角三角形的第三边也相等，然后利用“三边相等”来证明全等.
证明：在Rt△和Rt△中，
∠C=∠=90 ，根据勾股定理得，
所以=.
因为=，=，=，
所以△.
1.如图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得 BC=60m，AC=20m. 求 A，B 两点间的距离（结果取整数）.
解：由勾股定理得，
=
则 A，B 两点间的距离约为 57m.
A
B
C
随堂练习
2.《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图1），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 ______尺．
解析：依题意画出图形（如图2），
设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E=10尺，∴ C′B=5尺.
在Rt△′中，52+（x﹣1）2= x2，解得x=13，即芦苇长13尺，水深12尺.
故答案为12.
解：把台阶展成如图的平面图形，连接AB.
3.如图，台阶下 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它走的最短路程是多少？
在Rt△ABC中，AC=20，BC=15.
由勾股定理得，AB2=BC2+AC2=625
所以AB=25.
则蚂蚁走的最短路程是25.
1.小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米，顶端距离地面 2.4 米.如果保持梯子底端位置不动，
将梯子斜靠在右墙时，顶端距
离地面 2米，则小巷的宽度为
（ C ）.
A. 0.7米 B. 1.5米
C. 2.2米 D. 2.4米
0.7
2.4
2.5
2
1.5
拓展提升
2.已知一个三角形工件尺寸如图，计算高 l 的长（结果取整数）.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
因为AB= AC=88mm，
所以mm.
所以
mm.
A
B
C
D
l
88mm
64mm
88mm
3.有一块土地形状如图所示， ∠B=∠D=90 ，AB=20米，BC=15米， CD=7米，请计算这块土地的面积.
解：连接AC，则S四边形ABCD= S△ABC + S△ADC.
在Rt△中，AC=25米.
在Rt△中，AD=24米.
所以S四边形ABCD = AB·BC + AD·CD
= ×20×15 + ×24×7 = 234.
答：这块土地的面积为234平方米.
思考 我们已经学会用勾股定理解决实际问题，那么勾股定理的逆定理在实际生活中有哪些应用呢？
船只在航行的时候需要确定方向和位置.
课堂导入
如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行， “远航”号每小时航行 16n mile，“海天”号每小时航行 12n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距
30n mile.如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
知识点1：勾股定理逆定理的应用
新知探究
通过题目已知条件可以得出：
1.PR 的长度 2. PQ 的长度
3.∠1 的度数 4. RQ 的长度
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了.
解：根据题意，
PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， RQ=30.
因为，即
所以∠RPQ=90 .
由“远航”号沿东北方向航行可知， ∠1=45 .因此∠2=45 ，即“海天”号沿西北方向航行.
1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？
跟踪训练
新知探究
分析：根据图示的距离，可以判断出以 A，B，C 三地位置构成的三角形是直角三角形.
解：设A，B，C三地对应点A，B，C，则在△ABC中，
因为
.
所以 .
所以△ABC是直角三角形，且∠B=90 ，
所以 C 地在 B 地的正北方向 .
2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， ∠B=90 .求四边形ABCD的面积.
C
B
A
D
分析：△ABC是直角三角形，所以可以求出斜边 AC. 根据 AC，CD，AD 的长度及勾股定理的逆定理可以判定△ACD也是直角三角形.
解：因为∠B90 ，所以△ABC是直角三角形.
在△ACD中，
所以△ACD是直角三角形，且∠ACD=90 .
根据勾股定理,得 所以AC=5.
所以S四边形ABCD S ABC +S ACD =
+30=36.
3.小明向东走 80m 后，沿另一方向又走了 60m，再沿第三个方向走 100m 回到原地.小明向东走 80m 后是向哪个方向走的？
北
南
东
西
O
A
分析：如图所示，小明先向东走到 A 处，则 OA=80m. 根据题意，小明应该是往东西方向坐标以上或者以下行走的，所以应该分两种情况讨论.
解：（1）小明从O走到A，再走到B1，最终由B1回到O.
因为OA=80m， AB1 =60m， OB1 =100m，
所以
所以△AOB1是直角三角形，且∠OAB1 =90 .
因此小明向东走 80m 后，又向北走了 60m，再走 100m 回到原地.
北
南
东
西
O
B1
A
（2）小明从O走到A，再走到B2，最终由B2回到O.
同理，△AOB2是直角三角形，且∠OAB2 =90 .
因此小明向东走 80m 后，又向南走了 60m，再走 100m 回到原地.
综上所述，小明向东走 80m 后，又向南或向北走了 60m，最后走 100m 回到原地.
北
南
东
西
O
B1
B2
A
1.如图所示，甲、乙两船从港口 A 同时出发，甲船以 30 海里/时的速度向北偏东 35 的方向航行，乙船以 40 海里/时的速度向另一方向航行，2 小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C，B 两岛相距 100 海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？
北
A
B
C
35
拓展提升
解：由题意得：AC=30×2=60（海里）， AB=40×2=80（海里）.
因为
因为 C 岛在港口 A 的北偏东 ，所以 B 岛在港口 A 的南偏东 方向.
即乙船航行的方向是南偏东 .
所以
2.某探险队的 A 组从驻地 O 点出发，以 12km/h 的速度前进，同时 B 组也从驻地 O 点出发，以 9km/h 的速度向另一方向前进. 2h 后同时停下来，如图所示，这时 A，B 两组相距 30km. 此时，A，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
O
B
A
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24（ km ），
B组行了9×2=18（km）.
又因为A，B两组相距30 km，且满足
所以A，B两组行进的方向成直角.
勾股定理的应用
实际问题
数学问题
勾股定理
直角三角形
转化
构建
运用
解决
课堂小结