人教版2022-2023学年九年级数学上册 第二十二章 二次函数 章末小结 课件(共70张PPT)

(共70张PPT)
二次函数章末小结
1.梳理本章的知识要点，回顾与复习本章知识.
2.进一步巩固二次函数的概念、图象和性质，能熟练应用二次函数的图象和性质解决有关问题.（重点）
3.能应用二次函数与一元二次方程之间的关系解决函数与方程的问题，会用待定系数法求二次函数解析式.
4.熟练应用二次函数的有关知识解决实际问题，体会其中的建模思想.（难点）
1.二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式，a,b,c为常数，且a≠0;
（2）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；
（3）一般情况下，自变量x的取值范围是任意实数.
向上
向下
(0,0)
(0,0)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
方向
向上
向下
大小
越小
越大
2.二次函数y=ax2的图象与性质：
向上
向下
(0,k)
(0,k)
y轴
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小.
当x=0时，
y最小=0.
当x=0时，
y最大=0.
3.二次函数y=ax2+k的图象与性质：
y=a(x-h)2 a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 （h,0） （h,0）
最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
4.二次函数 y=a(x-h)2(a≠0)的图象与性质：
上
下
直线x=h
直线x=h
(h,k)
低
(h,k)
高
减小
增大
减小
增大
5.二次函数 y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质：
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(或右)
平移h个单位
平移k个单位
向上(或下)
向左(或右)
平移h个单位
平移k个单位
向上(或下)
(h＞0、k＞0)
6.二次函数图象平移规律：
配 方
对称轴是直线 ，顶点是 .
如果a＞0时，那么当 时，y最小值= ；
如果a＜0时，那么当 时，y最大值= .
7.二次函数y=ax2+bx+c的性质：
如果a＞0，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小.
7.二次函数y=ax2+bx+c的性质：
8.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系：
向上
向下
y
左
右
正
负
9.二次函数解析式的类型及适用情况：
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
10.二次函数与一元二次方程的关系：
(1)二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
11.利用二次函数解决典型实际问题：
(2)求解最大利润问题的一般步骤
1.建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
2.结合实际意义，确定自变量的取值范围；
3.在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
11.利用二次函数解决典型实际问题：
(3)在“拱桥类”问题中，一般知道拱高和拱长，这时可根据抛物线的对称性建立以对称轴为y轴的坐标系，然后根据所建立的坐标系，确定抛物线上一些点的坐标.若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k.
步骤：
(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数关系式；
(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；
(5)利用关系式求解问题.
11.利用二次函数解决典型实际问题：
例1.下列函数一定是二次函数的是__________．
① y=ax2+bx+c ；② ；③ y=4x2-3x+1；④ y=(m-1)x2-bx+c ；
⑤ y=(x-3)2-x2
解：①y=ax2+bx+c，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；
②等号右边为分式，故②不是二次函数；
③y=4x2-3x+1是二次函数，故③是二次函数；
④y=(m-1)x2-bx+c，m=1时，该式不是二次函数；
⑤y=(x-3)2-x2=x2-6x+9-x2=-6x+9，该式不是二次函数；
③
【点睛】判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
二次函数的概念
1
解：(1)∵这个函数是二次函数，
∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，
∴m≠0且m≠1.
(2)∵这个函数是一次函数，
∴ ∴m＝0.
例2.已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.
(1)若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
(2)若这个函数是一次函数，求m的值．
(3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
(3)不可能．∵当m＝0时，y＝－x＋2，
∴不可能是正比例函数．
二次函数的概念
1
【1-2】已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　）
A．-2 B．2 C．±2 D．0
B
【1-1】已知函数：①y=2x-1；②y=-2x2-1；③y=3x3-2x2；④y=2x2-x-1；⑤y=ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
【1-3】把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项.
y=2x2+2x+1
2
2
1
y=2x2+x+2
2
1
2
y=-8x2-12x
-8
-12
0
y=x2-1
1
0
-1
例3.已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C.y3＜y1＜y2 D. y3＜y2＜y1
【分析】∵二次函数的解析式为： ，
∴该二次函数的对称轴为：直线x=2，
∴点 关于对称轴的对称点 为(0,y3)，
∵点A,B, 都在对称轴左侧，对称轴左侧随的增大而增大
∴ y1＜y3＜y2
C
二次函数的图象与性质
2
例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
【分析】根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
A
二次函数的图象与性质
2
例5.已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D .
D
二次函数的图象与性质
2
【2-1】下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（ ）
A．它的图象经过点（－1，－2）
B．它的图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0
D
【2-2】已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上 B．图象的顶点坐标为(-2,3)
C．图象的对称轴是直线x=-3 D．有最大值，为－3
D
【2-3】已知二次函数y=2(x-3)2+1，下列说法:①其图象开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③当x=3时，函数有最大值1;④当x<3时，y随x增大而减小其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
【2-4】抛物线的图象经过点A（-3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则，，大小关系是（ ）
A．y2y1y3 B．y2y3y1 C．y1y3y2 D．y3y2y1
B
例6.抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得：
∴平移后二次函数关系式为 .
【点睛】根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
抛物线的平移变换
3
例7.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图象.
(1)试确定a，h，k的值;
(2)指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
解:(1)依题意得，二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由二次函数y=-(x+1)2-1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到，即y=-(x+1-2)2-1-4
∴a=-，h=1，k=-5.
(2)二次函数y=-(x-1)2-5图象的开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,—5).
抛物线的平移变换
3
【3-2】将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位得到的抛物线是________________.
y=(x-5)2+2
【3-1】二次函数y=x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( )
A.向左平移2个单位，向下平移2个单位
B.向左平移1个单位，向上平移2个单位
C.向右平移1个单位，向下平移1个单位
D.向右平移2个单位，向上平移1个单位
C
【3-3】在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下此抛物线的解析式是______________.
y=3(x+3)2-3
例8.在同一坐标系中一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（ ）
【分析】解：A.由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项错误；
B．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
D．由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误．
故选：C．
C
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
4
例9.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
C
【分析】利用待定系数法将点，代入解析式求出，，再结合二次函数图象与已知信息当时，得出，进而判断①结论；根据二次函数对称轴进而判断③结论；由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点，代入解析式得出，再由判断④结论．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
4
例10．如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数图像的开口方向，对称轴，图像与y轴的交点，即可判断①；根据对称轴x=-2，OA=5OB，可得OA=5，OB＝1，点A（－5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x= - 2以及a+b+c=0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝－2时y＝4a－2b＋c即可判断④.
C
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
4
【点睛】1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0 对称轴是y轴；a、b同号 对称轴在y轴左侧；a、b异号 对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
【4-1】已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
B
【4-2】如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,
（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
【4-3】如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：
①a-b+c＜0；②；③；④a＞-1，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
例11.已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c, 由题意得：
解得, a=2,b=－3,c=5.
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
二次函数表达式的确定
5
例12.已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式．
解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2，
又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1，
设此函数的解析式是y=a（x-1）2+2，
再把（2，1）代入函数中可得
a（2-1）2+2=1，
解得a=-1，
故函数解析式是y=-x2+2x+1．
二次函数表达式的确定
5
例13. 已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
二次函数表达式的确定
5
【5-1】若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表:
则当x=1时，y的值为( )
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
D
【5-2】拋物线y=ax2+bx+c与y=2x2的形状相同，开口方向不同,且其顶点坐标是(-3，0)，则其解析式为________________.
y=-2(x+3)2
【5-3】已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标．
x … -2 0 2 …
y … -1 1 11 …
解：（1）依题意,得 解得：
∴二次函数的解析式为：y=x2+3x+1．
（2）根据顶点坐标公式可求得顶点坐标为（-，-）
例14.若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）
A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7
解析：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴ =3，解得m=－6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，
即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故选D．
二次函数与一元二次方程
6
D
例15.在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（ ）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … 1 0.49 0.04 0.59 1.16 …
【分析】由表格中数据可知，当x＝1.1时，y＝－0.49.
当x＝1.2时，y＝0.04
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2
故选B
B
二次函数与一元二次方程
6
例16.如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＞y2时x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【分析】从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，x的范围．
【详解】解：已知函数图象的两个交点坐标分别为A和B 两点，
∴当时，有﹣1＜x＜2；
C
二次函数与一元二次方程
6
【6-1】若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一个解x2= ；
-1
y
O
x
1
3
【6-2】一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2= ，那么二次函数y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
(-2，0) ( ，0)
【6-3】根据下表的对应值，可判断关于x的一元二次方程必有一个根满足（ ）
A． B． C． D．
x … 0 0.5 1 …
… 1 2.5 3 2.5 1 …
D
【6-4】如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是
B．的解集是
C．的解集是
D．的解是或
D
例17.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
二次函数的典型应用
7
解：(1)根据题意，得
解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.
例17.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
二次函数的典型应用
7
(2)W=(x-60) (-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∵抛物线的开口向下， ∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
例18.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)若S是21cm2时，确定t值；
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．
解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t∴S=S△ABC－S△PBQ=×AB×CB－×PB×QB
=×8×6－×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）
二次函数的典型应用
7
解：（2）当S=21时，则t2－4t+24=21，
解得t=1或t=3
（3）∵S=t2－4t+24=(t-2)2+20，
∴当t=2时，S有最小值20
例18.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)若S是21cm2时，确定t值；
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．
二次函数的典型应用
7
【7-1】某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A.50m B.100m C.160m D.200m
C
【7-2】某商店购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高0.5元，销售量相应减少10件.如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润
解:设销售单价提高x元，半个月内销售利润为y元，依题意得
y=(x+30-20)(400-x)
即y=-20(x-5)2+4500(O≤x≤20)
因此，当x=5时，y最大=4500.
答:当售价提高5元，即销售单价为35元时,半个月内可获得最大利润4500元.
【7-3】在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果PQ两点分别到达B、C两点停止移动.
(1)设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积为Scm2，写.出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围;
(2)t为何值时，S最小，求出S最小值.
解:(1)∵ts后，PB=6-t，BQ=2t
∴S=S矩形ABCD-S△PBQ=6×12-×(6-t)×2t
即S=t2-6t+72=(t-3)2+63(0(2)∵a=1>0
∴当t=3时，S最小=63cm2.
例20.如图，抛物线的顶点A在直线l：上．
(1)求抛物线的解析式及顶点A；
(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（C点在D点的左侧），判断△ABD的形状；
(3)直线l与x轴交于点E，点P在射线上运动，当与的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P的坐标．
二次函数的几何综合
8
例20.如图，抛物线的顶点A在直线l：上．
(1)求抛物线的解析式及顶点A；
二次函数的几何综合
8
解：∵抛物线，
∴顶点A的横坐标为x=1，
又∵顶点A在直线上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴顶点A的坐标为（1，-4），
将点A坐标代入中，得c=-3，
∴抛物线的解析式为；
例20.如图，抛物线的顶点A在直线l：上．
(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D（C点在D点的左侧），判断△ABD的形状；
二次函数的几何综合
8
解：△ABD为直角三角形，理由为：
当x=0时，y=-3，∴B（0，-3），
当y=0时，由得：x1=-1，x2=3，
∴C（-1，0），D（3，0），
∴AB2=12+（-4+3）2=2，
AD2=（3-1）2+42=20，
BD2=32+32=18，
∵AB2+BD2=AD2，
∴△ABD为直角三角形；
例20.如图，抛物线的顶点A在直线l：上．
(3)直线l与x轴交于点E，点P在射线上运动，当与的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P的坐标．
二次函数的几何综合
8
解：设P（m，m-5），直线l与y轴交点为Q，
当x=0时，y=0-5=-5，当y=0时，由0=x-5得：x=5，
∴Q（0，-5），E（5，0），
∴OE=OQ=5，则∠OEQ=45°，
∵OD=OB=3，
∴∠ODB=45°=∠OEQ，
∴直线l∥BD，
由（2）知，∠ABD=90°，∴∠BAE=90°，
则AB为两平行线间的距离，
例20.如图，抛物线的顶点A在直线l：上．
(3)直线l与x轴交于点E，点P在射线上运动，当与的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P的坐标．
二次函数的几何综合
8
①如图，当点P在线段AE上时，过D作DN⊥AE于N，则DN=AB=，AP+PE=AE，
S△PAB= AP·AB= AP，S△PDE =DE．丨yp丨=PE·DN=PE，
∵A（1，-4），E（5，0），D（3，0），
∴AE=，DE=2，则AP=-PE，
当AP＞PE时，S△PAB-S△PDE=（AP-PE）=（-2PE）=2，解得：PE=，
由S△PDE =××=×2×（-m+5）得：m=4，则P（4，-1）；
当AP＜PE时，S△PDE-S△PAB=（PE-AP）=（2PE-）=2，解得：PE=，
由S△PDE =××=×2×（-m+5）得：m=2，
则P（2，-3）；
例20.如图，抛物线的顶点A在直线l：上．
(3)直线l与x轴交于点E，点P在射线上运动，当与的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P的坐标．
二次函数的几何综合
8
②如图，当点P在射线EP上时，AP-PE=AE= ，
S△PAB-S△PDE=（AP-PE）= ×=4≠2，舍去，
综上，满足条件的点P坐标为（4，-1）或（2，-3）．
【8-1】如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.∴BF=2x-30.
（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF-=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.
所以S△DEF-S△GBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60x-450.
（3）S= x2+60x-450= (x-20)2+150.
∵a= ＜0,15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为150.
【8-2】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,BC⊥x轴于点C,且点A(-1,0),C(4,0),AC=BC.
(1)求抛物线的解析式;
解:(1)∵点A(-1,0),C(4,0 )
∴AC=5,0C=4
∴BC=AC=5,
又∵BC⊥AC ∴B(4,5)
把A(-1,0)和B(4,5)代入y=x2+bx+c中,
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3
【8-2】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,BC⊥x轴于点C,且点A(-1,0),C(4,0),AC=BC.
(2)点E是线段AB上一动点(不与A,B重合),过点作x轴的垂线,交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标及S△ABF ;
(2)如图，∵直线AB经过点A(-1,0),B(4,5),
设直线AB的解析式为y=kx+b',
解得
∴直线AB的解析式为y=x+1.
设点E(t,t+1),则F(t,t2-2t-3)
∴EF=(t+1)-(t2-2t-3)=-(t-)2＋(-1＜t＜4)
∴当t=时,EF的长度最大,最大值为.
此时点E的坐标为(,)
∴S△ABF=EF·(xB-xA)=××(4+1)=
【8-2】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,BC⊥x轴于点C,且点A(-1,0),C(4,0),AC=BC.
(2)点E是线段AB上一动点(不与A,B重合),过点作x轴的垂线,交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标及S△ABF ;
【8-2】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,BC⊥x轴于点C,且点A(-1,0),C(4,0),AC=BC.
(3)点Р是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在这样的P点,使△ABP成为以AB为斜边的直角三角形 若存在,求出所有点Р的坐标;若不存在,请说明理由．
(3)存在,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线对称轴为直线x=1.
∴设P(1,m).
由勾股定理得PB2+PA2=BA2,
∴(1+1)2+m2+(4-1)2+(m-5)2=(4+1)2＋52.
解得m=6或-1,
∴P(1,6)或(1,-1).
【8-3】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
【8-3】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在(如图1) Q(-2，8)，
连接BC交抛物线对称轴于点Q，此时△QAC的周长最小.
∵抛物线交y轴于C点，
∴c=12，即C（0，12），
又B（-6，0），
设：直线BC的解析式为y=kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=2x+12，
又抛物线的对称轴为直线x=-2，
当x=-2时代入y=2x+12，解得y=8，
所以Q(-2，8)；
【8-3】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．
(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在，分三种情况：如图，
①当以AQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABQP1，
∴QP1AB，QP1=AB，
∵B(-6,0)，Q(-2,8),
∴将AB沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，
得到QP1，
又∵A(2,0)，
∴P1(6,8)；
②当以AB为四边形对角线线时，则有平行四边形AQBP2，
∴AP2BQ，AP2=BQ，，
∵A(2,0)， Q(-2,8),
∴将BQ沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向下平移8个单位，得到AP2，
【8-3】如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．
(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
又∵B(-6,0)，，
∴P2(-2,-8)；
③当以BQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABP3Q，
∴QP3AB，QP3=AB，，
∵A(2,0)，Q(-2,8),
∴将AB沿x轴向左平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，得到QP3，
又∵B(-6,0)，
∴P3(-10,8)；