人教版2022-2023学年八年级数学上册同步备课系列 第十二章 全等三角形章节复习课件(共60张PPT)

(共60张PPT)
全等三角形章节复习
1.全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2.掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式；
3.掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
一、全等三角形
△ABC≌△DEF
全等的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
二、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
几何语言：
∵ △ABC≌△A1B1C1
∴ AB=A1B1，AC=A1C1，BC=B1C1，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）
基本事实---“边边边”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△ A′B′C′ （SSS）.
AB=A′B′，
BC=B′C′，
CA=C′A′，
几何语言：
三、三角形全等的判定方法
证明两个三角形全等的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；
④写出结论：写出全等结论.
三、三角形全等的判定方法
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”）．
基本事实---“边角边”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （SAS）.
AB=A′B′，
∠A=∠A′，
AC=A′C′ ，
几何语言：
三、三角形全等的判定方法
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）
基本事实---“角边角”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
∠A=∠A′ ，
AB=A′B′ ，
∠B=∠B′ ，
几何语言：
三、三角形全等的判定方法
◆文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
(可以简写成“角角边”或“AAS”).
“角角边”判定方法:
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
∠A=∠A′ ，
∠B=∠B′ ，
BC=B′C′ ，
几何语言：
三、三角形全等的判定方法
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
直角三角形“HL”判定方法
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ （HL）.
AB=A′B′
BC=B′C′
几何语言：
三、三角形全等的判定方法
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
四、角平分线的性质与判定
文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2.角的平分线的判定
几何语言：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
四、角平分线的性质与判定
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
全等三角形的性质
1
例1.如图△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
解: ∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D,
∵∠EAB=120°，∠CAD=10°，∠B=25°，
∴∠D=∠B=25°，
∠DAE=∠BAC=(∠EAB-∠CAD)=×(120°-10°)=55°，
∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+∠CAB＋∠B
=10°+55°＋25°=90°,
∴∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°,
∴∠DFB=90°, ∠DGB=65°.
全等三角形的性质
1
例2.如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D ∥EB′ ∥BC ，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
C
H
全等三角形的性质
1
例3.已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标:_________．
解：设点P的坐标为(a,b)，
∴A(2,0) ，B(2,4)
∴OA=2，AB=4，∠OAB=90°，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，当△BAP≌△ABO时，
∴PB=OA=2，∠PBA=∠OAB=90°
∴PB∥x轴，
∴b=AB=4 ，
又∵PB=2 ，
=2 ，
解得a=4或a=0，
则此时点P的坐标为P(4,4)或P(0,4) ；
全等三角形的性质
1
例3.已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标:_________．
（2）如图2，当△ABP≌△ABO时，
∴PA=OA=2， ∠PAB=∠OAB=90°
∵点P在x轴上，且OP=OA+PA=4 ，
则此时点P的坐标为P(4,0)；
综上，符合条件的点P的坐标为(4,4)或(0,4)或(4,0) ，
【1-1】如图，△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置．
(1)若∠B=30°，∠F=45°，求∠A的度数；
(2)若BF=10，EC=4，求平移的距离．
解：（1）由平移可知△ABC≌△DEF ，
∴∠ACB=∠F=45° ，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=105°.
(2)由平移可知△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BC-EC=EF-EC，
∴BE=CF=(BF-EC)=3，
∴平移的距离BE为3．
【1-2】如图，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若当△BPD与△CQP全等时，则点Q运动速度可能为________厘米/秒．
1或1.6
【1-3】如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（ ）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
A．1 B．1或4 C．1或2 D．3
B
全等三角形的判定
2
例4.如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A．BC=BD； B．AC=AD；
C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB
B
全等三角形的判定
2
例5.如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：（1）∠C=∠E；
（2）AM=AN．
证明：（1）∵∠BAE=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE ，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)
∴∠C=∠E.
全等三角形的判定
2
例5.如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求证：（1）∠C=∠E；
（2）AM=AN．
（2）∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D
在△ABM和△ADN中，
∴△ABM≌△AND(ASA)
∴AM=AN.
全等三角形的判定
2
例6.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、BE．
（1）请你找出图中其他的全等三角形；（2）试证明CF＝EF．
解：（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF；
②∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，
在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）．
全等三角形的判定
2
例6.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD、BE．（2）试证明CF＝EF．
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB．
即∠CAD＝∠EAB．
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，△ADC≌△ABE，
∴∠ACB＝∠AED，∠ACD＝∠AEB，DC=BE，
∴∠DCF＝∠BEF，
在△DCF和△BEF中，
∵∠CFD＝∠EFB，∠DCF＝∠BEF，DC=BE，
∴△CDF≌△EBF（AAS）,
∴CF＝EF．
【2-1】如图，已知∠B＝∠DEC，AB＝DE，要推得△ABC≌△DEC；
（1）若以“SAS”为依据，还缺条件______________；
（2）若以“ASA”为依据，还缺条件__________________；
（3）若以“AAS”为依据，还缺条件________________________________.
BC=EC
∠A=∠EDC
∠ACB=∠DCE (或∠ACD=∠BCE)
【2-2】如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD交于点0，且AO平分∠BAC，那么图中全等三角形共有______对.
4
【分析】根据条件: CD⊥AB，BE⊥AC ,AO平分∠BAC及隐含的条件AO=AO(公共边).
∴△ADO≌△AEO(AAS)，∴AD=AE,
∴△ADC≌△AEB(ASA)，∴∠B=∠C,
∴△ABO≌△ACO(AAS)，∴BO=CO,∴△BDO≌△CEO(AAS),
∴图中全等三角形共有4对.
【2-3】如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.
己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)
证明:∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
∴ △ABC≌△DEF(SSS),
∴∠ABC=∠DEF.
①②④
③
【2-3】如图，在△ABC和△ADE中，B，E，C,F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设,余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF.
己知:____________(填序号)，求证:____________(填序号)
证明:∵BE=CF,
∴BE+CE=CF+CE,
即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),
∴AC=DF.
①③④
②
例7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
【分析】
欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG≌△DCG.
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
A
B
C
D
F
E
G
证明：∵CE⊥AD, ∴∠AGE=∠AGC=90°.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC，
AG=AG，
∠EAG=∠CAG，
∴△AGE≌△AGC(ASA)，
∴GE=GC.
∵AD平分∠BAC,∴∠EAG=∠CAG，.
例7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
在△DGE和△DGC中，
EG=CG，
∠EGD=∠CGD=90°，
DG=DG.
∴△DGE≌△DGC(SAS).
∴∠DEG=∠DCG.
∵EF//BC,
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠DEG=∠FEC.
【点睛】利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
例7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,求证：∠DEC=∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
例8.如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM=DN；
(1)试说明：△ABE △DBC；
(2)探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
（1）证明：∵DB是△ADC的高，∴∠ABE=∠DBC=90°．
在△ABE和△DBC中，
AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC，∴△ABE △DBC．
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
（2）BM=BN且BM⊥BN．理由如下：∵△ABE △DBC，∴∠BAM=∠BDN．
在△ABM和△DBN中，
AB=DB，∠BAM=∠BDN，AM=DN，
∴△ABM △DBN．
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．
∴∠DBN+∠DBM=∠ABM+∠DBM=∠ABD=90°，即BM⊥BN．
例8.如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB=DB，EB=CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM=DN；
(1)试说明：△ABE △DBC；
(2)探索BM和BN的位置关系和数量关系，并说明理由．
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
例9.在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想
CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°
改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，
∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
例9.在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(1)试说明：DE=DF：
证明∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，
又∵∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠C=∠DBF，
在ΔCDE和ΔBDF中，CD=BD,∠C=∠DBF,CE=BF
∴ΔCDE ΔBDF(SAS)，
∴DE=DF．
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
例9.在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
解：如图，连接AD，
猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．
证明：在ΔABD和ΔACD中AB=AC,BD=CD,AD=AD ，
∴ΔABD ΔACD(SSS)，
∴∠BDA=∠CDA=∠CDB=×120°=60°，
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，
由（1），可得ΔCDE ΔBDF，
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDG+∠BDF=60°，
即∠FDG=60°，
∴∠EDG=∠FDG，
在ΔDEG和ΔDFG中，DE=DF,∠EDG=∠FDG,DG=DG
∴ΔDEG ΔDFG(SAS)，
∴EG=FG，
又∵CE=BF，FG=BF+BG，∴CE+BG=EG；
例9.在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(2)在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系并证明所归纳结论．
全等三角形的性质与判定的综合应用
3
例9.在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
(3)若题中条件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改为∠CAB=α，∠CDB=
180°﹣α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？
解：要使CE+BG=EG仍然成立，
则∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB，
即∠EDG= (180°-α)=90°- α，
∴当∠EDG=90°- α时，CE+BG=EG仍然成立．
【3-1】如图：在ΔABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．
(1)求证：∠ABE=∠ACG；
(2)试判：AG与AD的关系？并说明理由．
(1)证明：∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴∠ACG+∠FAC=∠FAC+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ACG；
(2)解：AG=AD,AG⊥AD，理由如下：
由（1）可知：∠ABD=∠GCA，
∵BD=AC，AB=GC，
∴△ABD≌△GCA（SAS），
∴AG=AD，∠BAD=∠CGA，
∵∠AFG=90°，
∴∠CGA+∠GAF=90°，
∴∠BAD+∠GAF=90°，即∠GAD=90°，
∴AG⊥AD．
【3-2】如图1，∠DAB=90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE=AB，DC=AE．
(1)判断CE与BE的关系是____________．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD=AE，DE=AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
（1）解：垂直且相等，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠D=90°，
在△EDC与△BAE中，
ED=AB，∠D=∠DAB，DC=AE ，
∴△EDC △BAE，
∴BE=CE，∠DCE=∠AEB,
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠CEB=90°，∴CE⊥BE，∴CE与BE的关系为：垂直且相等.
【3-2】如图1，∠DAB=90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE=AB，DC=AE．
(1)判断CE与BE的关系是____________．
(2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD=AE，DE=AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．
（2）结论成立，理由如下：
∵CD⊥AD，∴∠D=90°，
在△EDC与△BAE中，ED=AB，∠D=∠DAB，DC=AE ，∴△EDC △BAE，
∴BE=CE，∠DCE=∠AEB,
∵∠DCE+∠DEC=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，即∠CEB=90°，∴CE⊥BE，
∴CE与BE的关系为：垂直且相等．
【3-3】如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA=ED，
(1)如图，若∠A+∠EDC=180°，在五边形ABCDE的外部，作△EDF≌△EAB，（不写作法，只保留作图痕迹），并说明点C，D，F三点在同一直线上；
(2)如图，若∠A=60°，∠EDC=120°，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．
(1)解：如图作∠FED=∠AEB,EB=EF，
∵EA=ED，
∴ΔAEB ΔDEF(SAS)，
∴∠A=∠EDF，
∵∠A+∠CDE=180°，
∴∠CDE+∠EDF=180°，
∴C、D、F点在同一直线上，
【3-3】如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA=ED，
(2)如图，若∠A=60°，∠EDC=120°，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD．
(2)延长CD到T，使得DT=BA，连接ET，
∵∠CDE=120°，
∴∠EDT=180°-120°=60°，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠EDT，
在ΔEAB和ΔEDT中，
AE=DE，∠A=∠EDT，AB=DT，
∴ΔEAB ΔEDT(SAS)，
∴EB=ET，
∴CB=CD+BA=CD+DT=CT，
在ΔECB和ΔECT中，
EC=EC，EB=ET，CB=CT，
∴ΔECB ΔECT(SSS)，
∴∠ECB=∠ECD，
即EC平分∠BCD.
例10.如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量自己家对面办公楼的高OM，小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的仰角∠1，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的仰角∠2．已知C，M，D三点共线，OA⊥OB且OA=OB,AC=10m,BD=3m,CD=17m．试求办公楼的高度OM．
利用全等三角形解决实际问题
4
解：过点A作AE⊥OM，过点B作BF⊥OM，如图所示，
∵OA⊥OB，AE⊥OM，BF⊥OM，
∴∠AOB=∠AEO=∠BFO=90°，
∴∠BOF+∠2=90°，∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠2=∠AOE，
在 AOE与 BOF中，
∠AEO=∠BFO，∠AOE=∠2，OA=OB，
∴ AOE BOF
例10.如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量自己家对面办公楼的高OM，小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的仰角∠1，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的仰角∠2．已知C，M，D三点共线，OA⊥OB且OA=OB,AC=10m,BD=3m,CD=17m．试求办公楼的高度OM．
利用全等三角形解决实际问题
4
∴OE=BF，AE=OF，
设OM=x，则OE=OM-EM=OM-AC=x-10，
∴BF=OE=x-10，
∵OF=OM-FM=OM-BD=x-3，
∴AE=CM=CD-MD=CD-BF=17-(x-10)，
17-（x-10）=x-3，
解得：x=15，
即OM=15m．
【4-1】如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
A
B
C
D
【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.
解：相等，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
AD=AD，
AB=AC，
∴Rt△ADB ≌ Rt△ADC(HL).
∴BD=CD.
【4-2】如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，
再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，
∵∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴DE=BA．
答：测出DE的长就是A、B之间的距离．
C
D
E
【4-3】如图是小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千的示意图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小明两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.6m和2m，且∠BOC=90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由．
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
（1）根据题意，得∠OEC=∠ODB=90°，OA=OB=OC
∴∠BOD+∠OBD=90°，∠COE+∠OCE=90°
∵∠BOC=90°
∴∠BOD+∠COE=90°
∴∠OCE=∠BOD
∴∠OEC=∠ODB，∠OCE=∠BOD，OC=OB
∴△COE≌△OBD；
【4-3】如图是小明和爸爸妈妈在公园里荡秋千的示意图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，小明两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.6m和2m，且∠BOC=90°．
（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由．
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？
（2）结合（1）的结论，得△COE≌△OBD
∴OE=BD=1.6m，OD=CE=2m
∴DE=OD-OE=0.4m
∵妈妈在距地面1.2m高的B处接住他
∴爸爸接住小明的地方，距离地面高度为：1.2+DE=1.6m．
例11.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.
证明:(1)作MN⊥AD于N.
∵DM平分∠ADC，且MC⊥CD，MN⊥AD,
∴CM=MN,
∵M是BC的中点,
∴CM=MB,
∴MN=MB,
∵MB⊥BA，MN⊥AD，且MN=MB,
∴AM平分∠DAB.
角平分线的性质与判定
5
证明:(2)由(1)得MC=MN,MB=MN,
在Rt△MCD和Rt△MND中,
∴Rt△MCD≌Rt△MND (HL),
∴CD=ND,
同理可得AB=AN,
∵AD=AN+ND,
∴AD=AB+CD.
例11.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证:(1)AM平分∠DAB;(2)AD=AB+CD.
角平分线的性质与判定
5
角平分线的性质与判定
5
例12.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON于点E，AE＝4，D为OM上一点，BC∥OM交DA的延长线于点C，则CD的最小值为______.
解析：∵BC∥OM，∴∠B＝∠DOA．
∵A为OB的中点，∴AB＝AO.
∵∠BAC＝∠DAO，
∴△ABC≌△AOD(ASA)．
∴AC＝AD．
∴CD＝2AD．
∴当AD有最小值时，CD有最小值．
∴当AD⊥OM时，AD有最小值．
∵OB平分∠MON，AE⊥ON，AD⊥OM，
∴AD＝AE＝4.
∴CD的最小值为8.　
8
例13.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点,∠PCB+∠BAP=180°,求证:PA=PC.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
【分析】由角平分线的性质易想到过点P向∠ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.
E
F
角平分线的性质与判定
5
证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
∵ ∠PCB+ ∠BAP=180 °,又∠BAP+∠EAP=180 °.
∴ ∠EAP=∠PCB.
在△APE和△CPF中，
∠PEA=∠PFC=90 °，
∠EAP=∠FCP，
PE=PF，
∴ △APE ≌ △CPF(AAS)，
∴ AP=CP.
例13.如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点,∠PCB+∠BAP=180 °,求证:PA=PC.
角平分线的性质与判定
5
【5-1】如图,∠1=∠2,点P为BN上的一点,PA=PC,求证:∠PCB+∠BAP=180°
B
A
C
N
)
)
1
2
P
E
F
证明：过点P作PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∵∠1=∠2,PE⊥BA,PF⊥BC,垂足分别为E,F.
∴PE=PF, ∠PEA=∠PFC=90 °.
PA=PC，
PE=PF，
在Rt△APE和Rt△CPF中，
∴ Rt△PAE ≌ Rt△PCF(HL).
∴ ∠EAP=∠FCP.
∵ ∠BAP+∠EAP=180°，
∴ ∠PCB+∠BAP=180°.
【5-2】如图，在四边形ABCD中，BC＝DC，CE⊥AB于E.若∠B＋∠ADC＝180°，求证：AC平分∠BAD．
证明：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF.
在△CBE和△CDF中，
∠B=∠CDF, ∠CEB=∠CFD＝90°,BC=CD,
∴△CBE≌△CDF(AAS)．
∴CF＝CE.
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴AC平分∠BAD.
F
【5-3】如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D．请判断PC与PD的数量关系并说明理由．

解：PC＝PD．理由如下：
如图，过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP＝∠DEP＝90°.
∵∠EOF＝90°，∴∠FPE＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE＝PF.
由题意知∠CPD＝90°，
∴∠1＋∠FPD＝90°.
又∵∠2＋∠FPD＝90°，
∴∠1＝∠2.
在△CFP和△DEP中，∠CFP=∠DEP，PF=PE, ∠1=∠2
∴△CFP≌△DEP(ASA)．
∴PC＝PD．