人教版2022-2023学年九年级数学上册 专题01 一元二次方程 复习课1课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
人教版九年级(上)数学教学课件
第21章 一元二次方程
专题01 复习课1
情境导入
探究新知
当堂训练
典例精讲
知识归纳
一元二次方程的相关概念
01
一元二次方程的根与整体代入求值
02
含参数一元二次方程的解法与应用
03
知识要点
精讲精练
整体思想在一元二次方程中的应用
04
知识点一
典例精讲
一元二次方程的相关概念
【例1-1】当m是何值时，关于x的方程(m2+2)x2+(m-1)x-4=3x2
(1)是一元二次方程？(2)是一元一次方程？
解：原方程可化为(m2-1)x2+(m-1)x-4=3x2
(1)当m2+2≠0,即m≠±1时,原方程是一元二次方程；
(2)当
m2-1＝0
m-1≠0
即m=-1时,原方程是一元一次方程.
①化为一般式；
②a≠0.
知识点一
针对训练
一元二次方程的相关概念
1.若关于x的方程(m-3)xm2-7+(m+2)+3=0是一元二次方程,则m=___.
2.关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-1=0的常数项为0,则m=__.
3.已知关于x的方程2xm-4xn+m+n=0是一元二次方程.直接写出满足要求的所有m,n的值.____________________________________.
4.关于x一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0简化后为2x2-3x-1=0,
求a,b,c的值.
5.已知关于x的方程(m2-4m+5)x2+2mx+3=0,
求证：不论m为何实数,该方程都是一元二次方程.
-3
-1
a=2,b=1,c=-2.
知识点一
典例精讲
一元二次方程的相关概念
【例1-2】已知x=2是一元二次方程x2+kx-6=0的一个根,求k的值.
解：把x=2代入原方程得：
22+2k-6=0.
解得：k=1.
有根必代
1.关于x的一元二次方程(2m-4)x2+3mx+m2-4=0有一根为0,则m=____.
2.关于x一元二次方程ax2+bx+c=0满足a+b+c=0,则原方程必有一个根为___;关于x一元二次方程ax2+bx+c=0满足4a-2b+c=0,则原方程必有一个根为___.
3.若x= 3是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则方程cx2+bx+a=0必有一根为______.
4.若x=-2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0的根,则方程ax2-bx+c=0必有一根为____.
5.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab＞0)的两根分别为m+1和2m-4.
(1)求m的值； (2)求 的值.
知识点一
针对训练
一元二次方程的相关概念
-2
x=1
x=-2
x=1/3
x=2
m=1
知识点一
针对训练
一元二次方程的相关概念
6.欧几里得的《几何原本》记载，形如x2+ax=b2方程的图解法：画Rt△ABC,使∠ACB=90 ,BC=a/2,AC=b,再在斜边AB上截取BD=a/2,则该方程的一个正跟是( )
A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长
B
一元二次方程的相关概念
01
一元二次方程的根与整体代入求值
02
含参数一元二次方程的解法与应用
03
知识要点
精讲精练
整体思想在一元二次方程中的应用
04
知识点二
典例精讲
一元二次方程的根与整体代入求值
∴原式＝2(2a-a2)+1=2x1+1=3.
【例2】已知x=1是方程x2-2ax+a2=0的一个根,求代数式4a-2a2+1的值.
解：依题意，得1-2a+a2=0.
∴2a-a2=1.
1.已知m是方程x2-3x+1=0的一个根,求(m-3)2+(m+2)(m-2)的值.
知识点一
针对训练
一元二次方程的根与整体代入求值
解：∵m是方程x2-3x+1=0的一个根，
∴㎡-3m+1=0,
即㎡-3m=-1.
∴原式=㎡-6m+9+㎡-4
=2(㎡-3m)+5
=2x(-1)+5=3.
2.已知m是方程x+2x-1=0的一个实数根，求代数式(m2+2m)(m-1/m+1)的值.
另解：由㎡-1=-2m两边都除以m(m≠0),得m-1/m=-2,…
解：依题意,得m2+2m-1=0,
∴m2+2m=1,m2-1=-2m.
原式=
知识点一
针对训练
一元二次方程的根与整体代入求值
原式=(a2-2018a)-a+2018a/2018=-1-a+a=-1.
3.设a是方程x2-2018x+1=0的一个根,求代数式 的值.
解：依题意,得a2-2018a+1=0,
则a2-2018a=-1,a2+1=2018a.
知识点一
针对训练
一元二次方程的根与整体代入求值
知识点一
针对训练
一元二次方程的根与整体代入求值
4.已知方程x2-4x+1=0.求x-1/x的值.
解：∵x2-4x+1=0,
∴x≠0.方程两边同时除以x,得x-4+1/x=0.∴x+1/x=4.
∵(x-1/x)2=(x+1/x)2-4=42-4=12,
一元二次方程的相关概念
01
一元二次方程的根与整体代入求值
02
含参数一元二次方程的解法与应用
03
知识要点
精讲精练
整体思想在一元二次方程中的应用
04
知识点三
典例精讲
含参数的一元二次方程的解法与应用
【例3-1】解关于x的方程mx2-(3m+1)x+3=0(m≠0).
解法一(公式法)：Δ=(3m+1)2-4·m·3=(3m-1)2≥0.
解法二(因式分解法)：(x-3)(mx-1)=0.
∵m≠0,
∴x=3,x3=1/m
∴x1=3,x2=1/m
∴x-3=0或mx-1=0.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
1.解关于x的方程x2+2mx-n=0(m2+n≥0).
解：配方，得x+2mx+m2=n+m2,
(x+m)2=n+m2.
开方，得
(公式法可适用于任何形式的方程)
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
2.解关于x的方程x2-(2m+1)x+m2+m-2=0.
解法一(公式法)：Δ=(2m+1)2-4(m2+m-2)=9＞0.
∴x1=m+2,x2=m-1.
解法二(因式分解法)：x2-(2m+1)x+m(m-1)(m+2)=0.
[x-(m+2)][x-(m-1)]=0.
x-(m+2)=0或x-(m-1)=0.
∴x1=m+2,x2=m-1.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
(也可直接运用公式法)
3.解关于x的方程x2+1=(m-1/m)x+2.
解：x2-(m-1/m)x-1=0.
(x-m)(x+1/m)=0.
x-m=0或x+1/m=0.
∴x1=m,x2=1/m.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
4.解关于x的方程ax2+2=(at+2/t)x (a≠0).
(也可直接运用公式法)
解：ax2-(at+2/t)x+2=0.
(x-t)(ax-2/t)=0.
x-t=0或ax-2/t=0.
x1=t,x2=2/at.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
5.解关于x的方程ax2+b=(at+b/t)x(a≠0).
解：ax2-(at+b/t)x+b=0.
(x-t)(ax-b/t)=0.
x-t=0或ax-b/t-0.
x1=t,x2=b/at.
(也可直接运用公式法)
知识点三
典例精讲
含参数的一元二次方程的解法与应用
【例3-2】若关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+6=0(m≠0的两个实数根都是整数,求正整数m的值.
解：(x-3)(mx-2)=0.
解得x1=3,x2=2/m.
∵方程的两个实数根都是整数,且m是正整数,
(也可用公式法求解)
∴m=1,m=2.
∵方程的两个实数根都是整数,且x为整数.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
6.若关于x的一元二次方程mx2+(2-2m)x+m-2=0(m≠0)的两个实数根都是整数,求整数m的值解
解：△=(2-2m)2-4m(m-2)=4m2-8m+4-4m2+8m=4＞0
∴x1=1,x2=1-2/m
∴m=士1,士2.
∴当m为2或3时,此方程的两个根都为正整数.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
7.已知关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+m+1=0.
(1)求出原方程的根；
(2)当m为何整数时,此方程的两个根都为正整数
解：(1)根据题意,得△=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4＞0且m≠1.
(也可因式分解为(x-1)[(m-1)x-(m+1)]=0)
(2)由(1)知,
∵方程的两个根都为正整数,是正整数
又∵m为正数,
∴m-1=1或m-1=2,
解得m=2或3.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
8.已知关于x的方程x2+2x+1=a(x2-1).
(1)求证：不论a为何实数,这个方程都有实数根；
(2)当a为何整数时,此方程有一个正整数根？
(1)证明：x2+2x+1-a(x2-1)=0.
(x+1)2-a(x-1)(x+1)=0.
(x+1)[x+1-a(x-1)]=0.
x+1=0或x+1-a(x-1)=0.
∴至少有一个根是x=-1.
∴无论入为任何实数,这个方程都有实数根.
(2)由(1),得x1=-1,
当a-1=2或1,
即a=3或2时,原方程有一个正整数根.
(1)证明：x2+2x+1-a(x2-1)=0.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
9.当m为整数时,关于x的方程(2m-1)2-(2m+1)x+1=0是否有有理根 如果有,求的值；如果没有,请说明理由.(注：有理根是指根为有理数)
解：当m为整数时,关于x的方程(2m-1)-(2m+1)x+1=0没有有理根,理由如下:
①当m为整数时,2m-1≠0.假设关于x的方程(2m-1)-(2m+1)x+1=0有有理根，
Δ=b2-4ac必须为完全平方数.
∵Δ=(2m+1)-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4.
设Δ=㎡(n为整数),即(2m-1)2+4=m2(n为整数)
∴(2m-1-n)(2m-1+n)=-4.
∴2m-1与n的奇偶性相同,并且m、n都是整数.
当m为整数时,关于x的方程(2m-1)-(2m+1)x+1=0没有有理根.
知识点三
针对训练
含参数的一元二次方程的解法与应用
10.设关于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数.
求满足条件的所有实数k的值.
解：原方程可化为(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2-4=0.
(k-4)(k-2)x+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0.
[(k-4)x+(k-2)][(k-2)x+(k+2)]=0.
当(k-4)(k-2)≠0,即k≠4且k≠2时.
由①②消去k,得
去分母,得x1x2+3x1+2=0.
∴x1(x2+3)=-2.
∵x1,x2都是整数,且x2≠-1.
一元二次方程的相关概念
01
一元二次方程的根与整体代入求值
02
含参数一元二次方程的解法与应用
03
知识要点
精讲精练
整体思想在一元二次方程中的应用
04
【例4】解方程(4x-1)2-10(4x-1)+24=0.
知识点四
典例精讲
整体思想在一元二次方程中的应用
解：设4x-1=y,则原方程可化为y2-10y+24=0.
∴4x-1=6或4x-1=4.
解得y1=6,y2=4.
∴x1=7/4,x2=5/4
1.解方程x4-x2-12=0.
知识点四
针对训练
整体思想在一元二次方程中的应用
∴x2=-3(舍去),x2=4
解：设a=x2,则原方程可化为a2-a-12=0.
解得a=-3或a=4.
∴x1=2,x2=-2.
知识点四
针对训练
整体思想在一元二次方程中的应用
2.解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0.
∴原方程的根为
解：设x2-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,
解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2-1=1.
∴x2=2.
当y=4时,x-1=4.
∴x2=5.
知识点四
针对训练
整体思想在一元二次方程中的应用
当y2=6,时,x2-x=6,即(x-3)(x+2)=0,
3.解方程(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
解：设y=x2-x,则y2-4y-12=0,
即(y-6)(y+2)=0,
解得y1=-2,y2=6.
当y1=-2时,x2-x=-2,即x2-x+2=0,该方程没有实数根；
解得x1=3,x2=-2.
∴原方程的根为x1=3.x2=-2.
知识点四
针对训练
整体思想在一元二次方程中的应用
∴x2+y2=a=6.
4.已知(x2+y2-3)(2x2+2y2-4)=24,求x2+y2的值．
解：设x2+y2=a,所求的方程可化为(a-3)(2a-4)=24.
整理,得a2-5a-6=0,即(a-6)(a+1)=0.
解得a=6或a=-1(不合题意，舍去），