第23章 图形的相似自我评估试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第23章 图形的相似自我评估试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 391.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-14 08:23:33 | ||
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文档简介
第23章 图形的相似自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点A（5，1）与点B（-5，-1）关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
2．已知=，则的值为（ ）
A. B． C． D．
3．如图，已知l1∥l2∥l3.若AB=3，DE=4，BC=8，则DF的长为（ ）
A．10 B．11 C． D．
第3题图
4．下列图形分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A B C D
5. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点．若OE＝3 cm，则AB的长为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（-2，0），D（3，0），且BC=3，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E．若CB＝8，则线段GE的长为（ ）
A． B． C． D．
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，相邻的两根电线杆都用钢索在地面上固定，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都各有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面（ ）
A．2.4米
B．8米
C．3米
D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面的距离
10．如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；③2AE2=AH AC；④DG⊥AC．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在比例尺为1∶36 000的某市旅游地图上，某条道路的长为7 cm，则这条道路的实际长度为 km．
12. 如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在边AB上.若只添加一个条件便能判定△ABC∽△DAE，则添加的条件是 .
第12题图 第14题图
13．在平面直角坐标系中，将点A（-2，-3）向右平移2个单位得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标为 ．
14．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，AE，BD都经过△ABC的重心O．若F，G，H分别是AB，AE，BD的中点，连接FG，FH，GH，则GH的长为 ．
15．有一块锐角三角形余料△ABC，已知BC的长为12.5 cm，BC边上的高为10 cm．现要把这块余料分割成若干个邻边长分别为5 cm和2 cm的小矩形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层小矩形的长为5 cm的边在BC上，则可分割成的小矩形零件最多有 个．
第15题图 第16题图
16. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A-O-B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（8分）已知．
（1）求的值；
（2）若x+3＝（y-z）2，求x的值．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（-2，3），B（-1，2），C（-1，1），请解答下列问题：
（1）将△ABC沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y轴方向向下平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将△A1B1C1放大到原来的2倍得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．
第18题图
19.（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，CE＝CD．求证：△ABD∽△ACE．
第19题图
20.（8分）如图，在△ABC中，AD，BE相交于点G，且，．求的值．
第20题图
21.（8分）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图，AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A，标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E，标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B，标杆底端C和及地面上点F，点G在同一水平线上）．这时小明测得FG的长为1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．
第21题图
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M，N分别是CD，AB的中点，延长AD交NM的延长线于点E，延长BC交NM的延长线于点F．
（1）求证：∠AEN＝∠F；
（2）若∠A+∠ABC＝122°，求∠F的度数．
第22题图
23.（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，已知DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）设＝，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
第23题图
24.（12分）如图，在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE=BA，连接DE，过点A作AG∥DE，分别交BD，BC于点F，G，连接FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2=BG·BC；
（3）若AB=AC，BG=CE，连接AE，求的值．
第24题图
第23章 图形的相似自我评估参考答案
一、1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C 9. A 10. D
二、11. 2.52 12. 答案不唯一，如∠BAC=∠D 13．（0，3） 14． 15．4
16.（0，3）或（4，0）或 提示：分三种情况：①当PC∥OA时，△CPB∽△AOB，易得点P的坐标为（4，0）；②当PC∥OB时，△APC∽△AOB，易得点P的坐标为（0，3）；③当PC⊥AB时，△PCB∽△AOB，则，由题意可知OB=8,AB=10,BC=5,所以PB=.所以点P的坐标为.
三、17．解：设＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k．
（1）＝＝2．
（2）由题意，得2k+3＝（3k-4k）2，整理，得k2-2k-3＝0．
解得k＝-1或k＝3．
当k＝-1时，x＝-2；当k＝3时，x＝6．
所以x的值为-2或6．
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，A1（1，2），C1（2，0）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，B2（4，2），C2（4，0）．
第18题图
19. 证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD.
因为CE＝CD，所以∠CED＝∠CDE.
因为∠CDE＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠ACE+∠CAD，所以∠B＝∠ACE.所以△ABD∽△ACE.
20. 解：过点D作DF∥BE，交AC于点F.
所以，.
所以AE=4EF，CF=EF.所以CE=EF.所以．
21. 解：过点D作DM⊥AB于点M，交EH于点N，则由题意可得AE∥MD∥BG.
所以∠EAD=∠FGD,∠AED=∠GFD.所以△ADE∽△GDF.
所以，即.解得AM=3.6.
所以AB＝AM+BM＝AM+CD＝5.4（米）.
答：路灯主杆AB的高度为5.4米．
22．（1）证明：因为P，M分别是BD，CD的中点，所以PM∥BC，PM＝BC．
所以∠PMN＝∠F．
同理，得∠PNM＝∠AEN，PN＝AD．
因为AD＝BC，所以PN＝PM．
所以∠PNM＝∠PMN．
所以∠AEN＝∠F．
（2）解：因为PN∥AD，所以∠PNB＝∠A．
因为PM∥BC，所以∠DPM＝∠DBC．
所以∠MPN＝∠DPN+∠DPM＝∠PNB+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°．
因为PM＝PN，所以∠PMN＝×（180°-122°）＝29°．
所以∠F＝∠PMN＝29°．
23.（1）证明：因为DE∥AC，所以∠DEB＝∠C．
因为EF∥AB，所以∠B＝∠FEC．所以△BDE∽△EFC．
（2）解：①因为EF∥AB，所以＝＝，即＝．所以BE＝4．
②因为＝，所以＝．
因为EF∥AB，所以△EFC∽△BAC．所以＝＝．所以S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
24.（1）证明：因为BD平分∠ABC，所以∠ABF=∠EBF.
因为BA=BE，BF=BF，所以△ABF≌△EBF（SAS）.所以AF=EF.
同理可证得△ABD≌△EBD（SAS）.所以AD=ED，∠ADB=∠EDB.
因为AG∥DE，所以∠AFD=∠EDF.所以∠AFD=∠ADF.所以AF=AD.
所以AF=EF=ED=DA.所以四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1），得∠BAG=∠BEF.
因为四边形AFED是菱形，所以AD∥FE.所以∠BEF=∠C.所以∠BAG=∠C.
因为∠ABG=∠CBA，所以△ABG∽△CBA.所以，即AB2=BG BC．
（3）解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C.
由（2）知∠BAG=∠C，所以∠BAG=∠ABC.所以AG=BG.所以∠AGC=2∠GAB.
因为BG=CE，所以BE=CG.所以CG=CA.所以∠CGA=∠CAG.
因为∠CAG=2∠DAE，所以∠DAE=∠ABC.所以∠DEA=∠ACB.所以△DAE∽△ABC.所以.
因为AB2=BG BC，AB=BE，BG=EC，所以BE2=EC BC.所以点E是BC的黄金分割点.
所以.所以.
因为∠EAC=∠C，所以CE=AE.所以=.所以=．
（3）解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C.
由（2）知∠BAG=∠C，所以∠BAG=∠ABC.所以AG=BG.所以∠AGC=2∠GAB.
因为BG=CE，所以BE=CG.所以CG=CA.所以∠CGA=∠CAG.
因为∠CAG=2∠DAE，所以∠DAE=∠ABC.所以∠DEA=∠ACB.所以△DAE∽△ABC.所以.
因为AB2=BG·BC，AB=BE，BG=EC，所以BE2=EC·BC，即（BC-CE）2=EC·BC.
所以.
因为∠EAC=∠C，所以CE=AE.所以=.所以=．
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，点A（5，1）与点B（-5，-1）关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
2．已知=，则的值为（ ）
A. B． C． D．
3．如图，已知l1∥l2∥l3.若AB=3，DE=4，BC=8，则DF的长为（ ）
A．10 B．11 C． D．
第3题图
4．下列图形分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A B C D
5. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点．若OE＝3 cm，则AB的长为（ ）
A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（-2，0），D（3，0），且BC=3，则线段EF的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E．若CB＝8，则线段GE的长为（ ）
A． B． C． D．
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，相邻的两根电线杆都用钢索在地面上固定，一根电线杆钢索系在离地面4米处，另一根电杆钢索系在离地面6米处，两根电线杆的钢索都各有一根固定在另一根电线杆底部，则中间两根钢索相交处点P离地面（ ）
A．2.4米
B．8米
C．3米
D．必须知道两根电线杆的距离才能求出点P离地面的距离
10．如图，在正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；③2AE2=AH AC；④DG⊥AC．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在比例尺为1∶36 000的某市旅游地图上，某条道路的长为7 cm，则这条道路的实际长度为 km．
12. 如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在边AB上.若只添加一个条件便能判定△ABC∽△DAE，则添加的条件是 .
第12题图 第14题图
13．在平面直角坐标系中，将点A（-2，-3）向右平移2个单位得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标为 ．
14．如图，在边长为6的等边三角形ABC中，AE，BD都经过△ABC的重心O．若F，G，H分别是AB，AE，BD的中点，连接FG，FH，GH，则GH的长为 ．
15．有一块锐角三角形余料△ABC，已知BC的长为12.5 cm，BC边上的高为10 cm．现要把这块余料分割成若干个邻边长分别为5 cm和2 cm的小矩形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层小矩形的长为5 cm的边在BC上，则可分割成的小矩形零件最多有 个．
第15题图 第16题图
16. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（8，0），点C是线段AB的中点，过点C的直线l将△AOB截成两部分，直线l交折线A-O-B于点P．当截成两部分中有三角形与△AOB相似时，点P的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（8分）已知．
（1）求的值；
（2）若x+3＝（y-z）2，求x的值．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（-2，3），B（-1，2），C（-1，1），请解答下列问题：
（1）将△ABC沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y轴方向向下平移1个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点A1，C1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将△A1B1C1放大到原来的2倍得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并直接写出点B2，C2的坐标．
第18题图
19.（6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，CE＝CD．求证：△ABD∽△ACE．
第19题图
20.（8分）如图，在△ABC中，AD，BE相交于点G，且，．求的值．
第20题图
21.（8分）小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图，AB为路灯主杆，AE为路灯的悬臂，CD是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂AE与地面BG平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端A，标杆顶端D和地面上一点G在同一直线上，此时小明发现路灯E，标杆顶端D和地面上另一点F也在同一条直线上（路灯主杆底端B，标杆底端C和及地面上点F，点G在同一水平线上）．这时小明测得FG的长为1.5米，路灯的正下方H距离路灯主杆底端B的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆AB的高度．
第21题图
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M，N分别是CD，AB的中点，延长AD交NM的延长线于点E，延长BC交NM的延长线于点F．
（1）求证：∠AEN＝∠F；
（2）若∠A+∠ABC＝122°，求∠F的度数．
第22题图
23.（10分）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，已知DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC；
（2）设＝，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
第23题图
24.（12分）如图，在△ABC中，BC＞AB，BD平分∠ABC，交边AC于点D，E是BC边上一点，且BE=BA，连接DE，过点A作AG∥DE，分别交BD，BC于点F，G，连接FE．
（1）求证：四边形AFED是菱形；
（2）求证：AB2=BG·BC；
（3）若AB=AC，BG=CE，连接AE，求的值．
第24题图
第23章 图形的相似自我评估参考答案
一、1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. B 7. C 8. C 9. A 10. D
二、11. 2.52 12. 答案不唯一，如∠BAC=∠D 13．（0，3） 14． 15．4
16.（0，3）或（4，0）或 提示：分三种情况：①当PC∥OA时，△CPB∽△AOB，易得点P的坐标为（4，0）；②当PC∥OB时，△APC∽△AOB，易得点P的坐标为（0，3）；③当PC⊥AB时，△PCB∽△AOB，则，由题意可知OB=8,AB=10,BC=5,所以PB=.所以点P的坐标为.
三、17．解：设＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k．
（1）＝＝2．
（2）由题意，得2k+3＝（3k-4k）2，整理，得k2-2k-3＝0．
解得k＝-1或k＝3．
当k＝-1时，x＝-2；当k＝3时，x＝6．
所以x的值为-2或6．
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，A1（1，2），C1（2，0）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，B2（4，2），C2（4，0）．
第18题图
19. 证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD.
因为CE＝CD，所以∠CED＝∠CDE.
因为∠CDE＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠ACE+∠CAD，所以∠B＝∠ACE.所以△ABD∽△ACE.
20. 解：过点D作DF∥BE，交AC于点F.
所以，.
所以AE=4EF，CF=EF.所以CE=EF.所以．
21. 解：过点D作DM⊥AB于点M，交EH于点N，则由题意可得AE∥MD∥BG.
所以∠EAD=∠FGD,∠AED=∠GFD.所以△ADE∽△GDF.
所以，即.解得AM=3.6.
所以AB＝AM+BM＝AM+CD＝5.4（米）.
答：路灯主杆AB的高度为5.4米．
22．（1）证明：因为P，M分别是BD，CD的中点，所以PM∥BC，PM＝BC．
所以∠PMN＝∠F．
同理，得∠PNM＝∠AEN，PN＝AD．
因为AD＝BC，所以PN＝PM．
所以∠PNM＝∠PMN．
所以∠AEN＝∠F．
（2）解：因为PN∥AD，所以∠PNB＝∠A．
因为PM∥BC，所以∠DPM＝∠DBC．
所以∠MPN＝∠DPN+∠DPM＝∠PNB+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABD+∠DBC＝∠A+∠ABC＝122°．
因为PM＝PN，所以∠PMN＝×（180°-122°）＝29°．
所以∠F＝∠PMN＝29°．
23.（1）证明：因为DE∥AC，所以∠DEB＝∠C．
因为EF∥AB，所以∠B＝∠FEC．所以△BDE∽△EFC．
（2）解：①因为EF∥AB，所以＝＝，即＝．所以BE＝4．
②因为＝，所以＝．
因为EF∥AB，所以△EFC∽△BAC．所以＝＝．所以S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
24.（1）证明：因为BD平分∠ABC，所以∠ABF=∠EBF.
因为BA=BE，BF=BF，所以△ABF≌△EBF（SAS）.所以AF=EF.
同理可证得△ABD≌△EBD（SAS）.所以AD=ED，∠ADB=∠EDB.
因为AG∥DE，所以∠AFD=∠EDF.所以∠AFD=∠ADF.所以AF=AD.
所以AF=EF=ED=DA.所以四边形AFED是菱形．
（2）证明：由（1），得∠BAG=∠BEF.
因为四边形AFED是菱形，所以AD∥FE.所以∠BEF=∠C.所以∠BAG=∠C.
因为∠ABG=∠CBA，所以△ABG∽△CBA.所以，即AB2=BG BC．
（3）解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C.
由（2）知∠BAG=∠C，所以∠BAG=∠ABC.所以AG=BG.所以∠AGC=2∠GAB.
因为BG=CE，所以BE=CG.所以CG=CA.所以∠CGA=∠CAG.
因为∠CAG=2∠DAE，所以∠DAE=∠ABC.所以∠DEA=∠ACB.所以△DAE∽△ABC.所以.
因为AB2=BG BC，AB=BE，BG=EC，所以BE2=EC BC.所以点E是BC的黄金分割点.
所以.所以.
因为∠EAC=∠C，所以CE=AE.所以=.所以=．
（3）解：因为AB=AC，所以∠ABC=∠C.
由（2）知∠BAG=∠C，所以∠BAG=∠ABC.所以AG=BG.所以∠AGC=2∠GAB.
因为BG=CE，所以BE=CG.所以CG=CA.所以∠CGA=∠CAG.
因为∠CAG=2∠DAE，所以∠DAE=∠ABC.所以∠DEA=∠ACB.所以△DAE∽△ABC.所以.
因为AB2=BG·BC，AB=BE，BG=EC，所以BE2=EC·BC，即（BC-CE）2=EC·BC.
所以.
因为∠EAC=∠C，所以CE=AE.所以=.所以=．