第24章 解直角三角形自我评估试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第24章 解直角三角形自我评估试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 423.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-14 08:25:24 | ||
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文档简介
第24章 解直角三角形自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若sin α=，则锐角α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
2．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则∠A的余弦值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定
3．在△ABC中，∠ABC=90°．若AC=100，sin A=，则AB的长为（ ）
A． B． C．60 D．80
4．如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cos α 米 B．4sin α 米 C．4tan α 米 D． 米
第4题图 第5题图
5．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）
A．h1=h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，交BA的延长线于点D．若CF=2，则BF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（ ）
A． B．sin2α+1 C． D．cos2α+1
8．在如图所示的方格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin ∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AG=10，BG=4，则CF的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．
第9题图 第10题图
10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2．若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：①当α=90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α=45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α=60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．比较大小：sin 80° tan 50°．（填“＞”或“＜”）
12．如图，在平面直角坐标系中，射线OB与y轴正半轴的夹角为α．若点B的坐标为（-3，4），则cos α的值为 ．
第12题图 第14题图
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=，则tan B的值为 ．
14．著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一位数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规，如图，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆．若AB=10 cm，则画出圆的半径为 cm．
15．如图，小明在P处测得一斜坡上A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，已知PB=30 m．若斜坡AB的坡度为1∶，则斜坡AB的长是 m．
第15题图 第16题图
16．将一副直角三角尺拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合．若∠CAB=45°，∠CAD=30°，连接BD，则tan ∠DBC的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（每小题4分，共8分）计算：
（1）tan 60°-sin245°+tan 45°-2cos 30°； （2）．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连接AE．求证：BD=2AC．
第18题图
19．（6分）某游乐场新推出一个“极速飞车”项目，该项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度为i=1∶2，斜坡轨道AD的坡角∠D=36°，BC=米，CD=8米，点A，B，C，D，E均在同一平面内，求垂直升降电梯AB的高度．（精确到0.1米；参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73）
第19题图
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AC=，求DF的长．
第20题图
21．（8分）某中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕像D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕像在基地门口A处的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离．（精确到1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14）
第21题图
22．（8分）如图①，图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5 m，CD与地面DE的夹角∠CDE=15°，支架AC长为1 m，∠ACD=75°．求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（精确到0.1 m；参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，≈1.73）
第22题图
23．（10分）某兴趣小组利用自制的测角仪和卷尺，测量校园国旗杆的高度，他们制定了如下两种测量方案：
方案一：第一步，在国旗杆前平地上选择一点A作为测量点，用自制的测角仪测出观察者看国旗杆顶端D的仰角α；第二步，在点A和国旗杆底端点C之间选择一点B，测出从点B看国旗杆顶端D的仰角β；第三步，测出AB两点之间的距离；第四步，计算国旗杆的高度CD．
方案二：第一步，在国旗杆前平地上选择一点A，用自制的测角仪测出观察者（竖直站立）看国旗杆顶端D的仰角α；第二步，测量观察者眼睛到地面的竖直高度AE；第三步，测量点A到国旗杆底端C的水平距离AC；第四步，在点A处重复上述操作，得到仰角及距离；第五步，计算国旗杆的高度CD．
根据以上方案，测量信息汇总如下：
课 题 测量校园国旗杆的高度
方 案 方案一 方案二
测量示意图
测量数据 项 目 α β AB的长 项 目 α AE的长 AC的长
数 据 33° 45° 5.99 m 数 据 第一次 32.7° 151.8 cm 17.47 m
第二次 33.3° 152.2 cm 17.45 m
平均值 a 152 cm b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ；
（2）请判断哪个方案更好，并说明理由；
（3）根据你的判断，选择合适的数据计算出国旗杆的高度．（精确到0.1 m；参考数据：sin 33°≈0.545，cos 33°≈0.839，tan 33°≈0.649）
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠DCB=∠A，
tan ∠DCB=．
（1）若BC=2，求CD的长；
（2）设BD的长为a，请用含a的代数式表示△DBC的面积．
第24题图
第24章 解直角三角形自我评估参考答案
一、1．A 2．C 3．D 4．A 5．A 6．C 7．A 8．D 9．D 10．C
二、11．＜ 12． 13． 14．5 15．30 16．
三、17．解：（1）原式=-+1-2×=．
（2）原式==．
18．证明：因为AD⊥AB，E是BD的中点，所以AE=BD=BE．
所以∠EAB=∠B．所以∠AEC=2∠B．
又因为∠C=2∠B，所以∠AEC=∠C．所以AE=AC．
所以BD=2AC．
19．解：由题意，得．
设BE=x米，则CE=2x米．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2，即x2+（2x）2=（）2，解得x=12．
所以BE=12，CE=24．所以DE=CD+CE=8+24=32．
在Rt△ADE中，tan D=，所以AE=DE·tan 36°≈23.36．
所以AB=AE-BE=23.36-12≈11.4（米）．
答：垂直升降电梯AB的高度约为11.4米．
20．解：因为DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，所以AD=BD，AF=CF．
所以∠DAB=∠B=15°，∠FAC=∠C=45°．
所以∠ADF=∠DAB+∠B=30°，∠AFD=∠FAC+∠C=90°．
在Rt△AFC中，sin C=，所以AF=AC·sin 45°=3．
在Rt△AFD中，tan ∠ADF=，所以DF==．
21．解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
由题意，得∠CDF=37°，∠DAE=65°，AB=300，CD=200．
在Rt△CDF中，sin ∠CDF=，cos ∠CDF=，所以CF=CD·sin 37°≈120，DF=CD·cos 37°≈160．
易得四边形BEDF是矩形，所以BF=DE，BE=DF=160．所以AE=AB-BE=300-160=140．
在Rt△ADE中，tan ∠DAE=，所以DE=AE·tan 65°≈299.6．所以BF=299.6．
所以BC=BF+CF=299.6+120≈420（米）．
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．
22．解：如图，过点C作FG⊥AB于点F，交DE于点G．
因为∠CDE=15°，∠ACD=75°，所以∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°．
在Rt△AFC中，cos ∠ACF=，所以FC=AC·cos 30°=．
在Rt△CGD中，sin ∠CDE=，所以CG=CD·sin 15°≈0.39．
所以FG=FC+CG=+0.39≈1.3（m）．
答：跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3 m．
第22题图
23．解：（1）33° 17.46 m
（2）方案二更好．理由：方案一测量点A在水平地面上，不易观察，容易产生误差；方案二不仅考虑到测量点的位置，而且多次测量求其平均值，减少误差，所以方案二更好．
（3）选择方案二的数据．
过点E作EF⊥CD，垂足为F，则AE=CF=1.52，AC=EF=17.46，∠DEF=33°．
在Rt△DEF中，tan ∠DEF=，所以DF=EF·tan 33°≈17.46×0.649≈11.33（m）．
所以CD=DF+FC=11.33+1.52≈12.9（m）．
答：国旗杆CD的高度约为12.9 m．
24．解：（1）因为∠DCB=∠A，所以tan A=tan ∠DCB=．
在△ABC中，∠ACB=90°，tan A=，所以AC==2÷=4．所以AB==．
因为∠DCB=∠A，∠D=∠D，所以△DBC∽△DCA．所以，即．
解得BD=，CD=．
所以CD的长为．
（2）过点C作CF⊥AB于点F．
由（1）知△DBC∽△DCA，所以．
因为BD=a，所以CD=2a，AD=4a．所以AB=AD-BD=3a．
设BC=x，则AC=2x．
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（2x）2+x2=（3a）2，解得x=．
所以BC=，AC=．
因为CF⊥AB，所以CF==．
所以S△DBC=BD·CF=a·=．
8
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若sin α=，则锐角α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
2．在Rt△ABC中，各边都扩大3倍，则∠A的余弦值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定
3．在△ABC中，∠ABC=90°．若AC=100，sin A=，则AB的长为（ ）
A． B． C．60 D．80
4．如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cos α 米 B．4sin α 米 C．4tan α 米 D． 米
第4题图 第5题图
5．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）
A．h1=h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，交BA的延长线于点D．若CF=2，则BF的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
第6题图 第7题图 第8题图
7．如图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（ ）
A． B．sin2α+1 C． D．cos2α+1
8．在如图所示的方格图中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin ∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG，DF．若AG=10，BG=4，则CF的长为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．
第9题图 第10题图
10．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2．若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：①当α=90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α=45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α=60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．比较大小：sin 80° tan 50°．（填“＞”或“＜”）
12．如图，在平面直角坐标系中，射线OB与y轴正半轴的夹角为α．若点B的坐标为（-3，4），则cos α的值为 ．
第12题图 第14题图
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=，则tan B的值为 ．
14．著名画家达芬奇不仅画意超群，同时还是一位数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规，如图，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A，B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆．若AB=10 cm，则画出圆的半径为 cm．
15．如图，小明在P处测得一斜坡上A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，已知PB=30 m．若斜坡AB的坡度为1∶，则斜坡AB的长是 m．
第15题图 第16题图
16．将一副直角三角尺拼成如图所示的四边形ABCD，一边重合．若∠CAB=45°，∠CAD=30°，连接BD，则tan ∠DBC的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（每小题4分，共8分）计算：
（1）tan 60°-sin245°+tan 45°-2cos 30°； （2）．
18．（6分）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上一点，且AD⊥AB，E是BD的中点，连接AE．求证：BD=2AC．
第18题图
19．（6分）某游乐场新推出一个“极速飞车”项目，该项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度为i=1∶2，斜坡轨道AD的坡角∠D=36°，BC=米，CD=8米，点A，B，C，D，E均在同一平面内，求垂直升降电梯AB的高度．（精确到0.1米；参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73）
第19题图
20．（8分）如图，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D；AC的垂直平分线交AC于点G，交BC于点F，连接AD，AF．若AC=，求DF的长．
第20题图
21．（8分）某中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕像D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕像在基地门口A处的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离．（精确到1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14）
第21题图
22．（8分）如图①，图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，踏板CD长为1.5 m，CD与地面DE的夹角∠CDE=15°，支架AC长为1 m，∠ACD=75°．求跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离．（精确到0.1 m；参考数据：sin 15°≈0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，≈1.73）
第22题图
23．（10分）某兴趣小组利用自制的测角仪和卷尺，测量校园国旗杆的高度，他们制定了如下两种测量方案：
方案一：第一步，在国旗杆前平地上选择一点A作为测量点，用自制的测角仪测出观察者看国旗杆顶端D的仰角α；第二步，在点A和国旗杆底端点C之间选择一点B，测出从点B看国旗杆顶端D的仰角β；第三步，测出AB两点之间的距离；第四步，计算国旗杆的高度CD．
方案二：第一步，在国旗杆前平地上选择一点A，用自制的测角仪测出观察者（竖直站立）看国旗杆顶端D的仰角α；第二步，测量观察者眼睛到地面的竖直高度AE；第三步，测量点A到国旗杆底端C的水平距离AC；第四步，在点A处重复上述操作，得到仰角及距离；第五步，计算国旗杆的高度CD．
根据以上方案，测量信息汇总如下：
课 题 测量校园国旗杆的高度
方 案 方案一 方案二
测量示意图
测量数据 项 目 α β AB的长 项 目 α AE的长 AC的长
数 据 33° 45° 5.99 m 数 据 第一次 32.7° 151.8 cm 17.47 m
第二次 33.3° 152.2 cm 17.45 m
平均值 a 152 cm b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ，b= ；
（2）请判断哪个方案更好，并说明理由；
（3）根据你的判断，选择合适的数据计算出国旗杆的高度．（精确到0.1 m；参考数据：sin 33°≈0.545，cos 33°≈0.839，tan 33°≈0.649）
24．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠DCB=∠A，
tan ∠DCB=．
（1）若BC=2，求CD的长；
（2）设BD的长为a，请用含a的代数式表示△DBC的面积．
第24题图
第24章 解直角三角形自我评估参考答案
一、1．A 2．C 3．D 4．A 5．A 6．C 7．A 8．D 9．D 10．C
二、11．＜ 12． 13． 14．5 15．30 16．
三、17．解：（1）原式=-+1-2×=．
（2）原式==．
18．证明：因为AD⊥AB，E是BD的中点，所以AE=BD=BE．
所以∠EAB=∠B．所以∠AEC=2∠B．
又因为∠C=2∠B，所以∠AEC=∠C．所以AE=AC．
所以BD=2AC．
19．解：由题意，得．
设BE=x米，则CE=2x米．
在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2=BC2，即x2+（2x）2=（）2，解得x=12．
所以BE=12，CE=24．所以DE=CD+CE=8+24=32．
在Rt△ADE中，tan D=，所以AE=DE·tan 36°≈23.36．
所以AB=AE-BE=23.36-12≈11.4（米）．
答：垂直升降电梯AB的高度约为11.4米．
20．解：因为DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，所以AD=BD，AF=CF．
所以∠DAB=∠B=15°，∠FAC=∠C=45°．
所以∠ADF=∠DAB+∠B=30°，∠AFD=∠FAC+∠C=90°．
在Rt△AFC中，sin C=，所以AF=AC·sin 45°=3．
在Rt△AFD中，tan ∠ADF=，所以DF==．
21．解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
由题意，得∠CDF=37°，∠DAE=65°，AB=300，CD=200．
在Rt△CDF中，sin ∠CDF=，cos ∠CDF=，所以CF=CD·sin 37°≈120，DF=CD·cos 37°≈160．
易得四边形BEDF是矩形，所以BF=DE，BE=DF=160．所以AE=AB-BE=300-160=140．
在Rt△ADE中，tan ∠DAE=，所以DE=AE·tan 65°≈299.6．所以BF=299.6．
所以BC=BF+CF=299.6+120≈420（米）．
答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420米．
22．解：如图，过点C作FG⊥AB于点F，交DE于点G．
因为∠CDE=15°，∠ACD=75°，所以∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°．
在Rt△AFC中，cos ∠ACF=，所以FC=AC·cos 30°=．
在Rt△CGD中，sin ∠CDE=，所以CG=CD·sin 15°≈0.39．
所以FG=FC+CG=+0.39≈1.3（m）．
答：跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离约为1.3 m．
第22题图
23．解：（1）33° 17.46 m
（2）方案二更好．理由：方案一测量点A在水平地面上，不易观察，容易产生误差；方案二不仅考虑到测量点的位置，而且多次测量求其平均值，减少误差，所以方案二更好．
（3）选择方案二的数据．
过点E作EF⊥CD，垂足为F，则AE=CF=1.52，AC=EF=17.46，∠DEF=33°．
在Rt△DEF中，tan ∠DEF=，所以DF=EF·tan 33°≈17.46×0.649≈11.33（m）．
所以CD=DF+FC=11.33+1.52≈12.9（m）．
答：国旗杆CD的高度约为12.9 m．
24．解：（1）因为∠DCB=∠A，所以tan A=tan ∠DCB=．
在△ABC中，∠ACB=90°，tan A=，所以AC==2÷=4．所以AB==．
因为∠DCB=∠A，∠D=∠D，所以△DBC∽△DCA．所以，即．
解得BD=，CD=．
所以CD的长为．
（2）过点C作CF⊥AB于点F．
由（1）知△DBC∽△DCA，所以．
因为BD=a，所以CD=2a，AD=4a．所以AB=AD-BD=3a．
设BC=x，则AC=2x．
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（2x）2+x2=（3a）2，解得x=．
所以BC=，AC=．
因为CF⊥AB，所以CF==．
所以S△DBC=BD·CF=a·=．
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