第21章 二次根式自我评估（含答案）
文档属性
| 名称 | 第21章 二次根式自我评估（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 647.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-14 07:40:33 | ||
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文档简介
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第21章 二次根式自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知x＞2，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，与的积仍为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程的解是（ ）
A．x= B．x=1 C．x= D．x=
5．已知a为实数，则的值为（ ）
A．0 B．2a-4 C．4-2a D．2a-4或4-2a
6．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则（）2是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
7．一个直角三角形的面积为，其一条直角边长为，则估计该直角三角形的另一条直角边长在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
8．下列二次根式中，与（a＞0，b＞0）是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．若a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
10．定义：若两个二次根式a，b满足a·b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
若2+与4+m是关于2的共轭二次根式，则m的值为（ ）
A． B．-2 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算3÷×的结果为 ．
12．若二次根式不是最简二次根式，但与是同类二次根式，则a的值可以是 ．
（写出一个即可）
13．已知点P（m+2，8-m）在第四象限，则化简的结果为 ．
14．海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v=计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8 m/s2．若在海洋深度980 m处发生海啸，则其行进速度为 m/s．
15．已知实数x，y，m满足等式+=-，则的值为 ．
16．已知m+n=10，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（每小题4分，共8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x=，y=3．
19．（6分）求代数式的值，其中a=-2021．下面是小亮和小芳的解答过程：
小亮： 小芳：
（1） 的解法是错误的，错误的原因是 ；
（2）求代数式的值，其中a=-2022．
20．（8分）如图是一张边长为cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角都是边长为 cm的小正方形．
（1）求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板面积；
（2）求长方体盒子的体积．
第20题图
21．（8分）已知a，b为实数，若a+与a-互为倒数，求的值．
22．（8分）（1）用“＞”“=”或“＜”填空：
①6+3 ；②1+ ；③+ ；④7+7 ．
（2）由（1）中各式猜想a+b与（a≥0，b≥0）的大小关系，并说明理由．
（3）利用（2）中的结论解决问题：如图，小华同学想要制作一个面积为1800 cm2，对角线互相垂直的四边形风筝，请你帮他求出用来作对角线的竹条至少要多长．
第22题图
23．（10分）阅读材料：我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．如：-==．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．
例如：比较-和-的大小；
解：先将它们分别分子有理化：-=，-=．
因为+＞+＞0，所以-＜-．
再例如：求-的最大值．
解：由x+2≥0，x-2≥0，知x≥2，而-=．
当x=2时，分母+有最小值2，所以-的最大值是2．
利用上面的方法，解答下列问题：
（1）比较和的大小；
（2）若y=-+3，求y的最大值．
24．（12分）嘉嘉发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：5+=（2+3）+=（）2+（）2+=（+）2；
8+=（1+7）+=12+（）2+2×1×=（1+）2．
【类比归纳】（1）仿照嘉嘉的方法将20+表示成另一个式子的平方： ；
（2）若a±=（±）2，且a，m，n均为正整数，则a的值为 ；
【变式探究】（3）化简：；
【拓展运用】（4）若MN=，M=，求N的值．
第21章 二次根式自我评估参考答案
一、1．B 2．B 3．D 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B
二、11．1 12．答案不唯一，如：5 13．10 14．98 15．3
16． 提示：如图，作AB=10，∠CAB=∠DBA=90°，AC=5，BD=7，P为AB上一点．
设AP=m，BP=n，则PC=，PD=．
因为PC+PD≥CD，所以当点C，P，D在同一条直线上时，PC+PD取得最小值，为CD的长．
由勾股定理，易得CD===．
所以的最小值为．
第16题图
三、17．解：（1）原式=-4-（2-）-=-4-2+-=-6．
（2）原式===．
18．解：易知x＞0，y＞0，所以原式==．
当x=，y=3时，原式==．
19．解：（1）小芳 未能正确应用二次根式的性质
（2）原式=．
当a=-2022时，a-3＜0，所以原式=a-2（a-3）=6-a=6-（-2022）=2028．
20．解：（1）-4×=108-8=100（cm2）．
答：制作长方体盒子的纸板面积为100 cm2．
（2）==cm3．
答：长方体盒子的体积为cm3．
21．解：因为a+与a-互为倒数，所以（a+）（a-）=1．
所以a2-b=1，即b=a2-1．
所以===．
根据二次根式有意义的条件，知-（a-2）2≥0．
又因为-（a-2）2≤0，所以-（a-2）2=0．
所以的值为0．
22．解：（1）＞ ＞ ＞ =
（2）猜想：a+b≥（a≥0，b≥0）．
理由：因为a≥0，b≥0，所以a+b-==（-）2≥0．
所以a+b≥．
（3）设AC=a，BD=b．
在四边形ABCD中，AC⊥BD，S四边形ABCD=1800，所以ab=1800．
所以ab=3600．
因为a+b≥==120，所以用来作对角线的竹条至少要120 cm．
23．解：（1）因为==，
==，而＞＞0，所以＜．
（2）因为x+1≥0，x-1≥0，所以x≥1．
因为-=，当x=1时，分母有最小值，所以-的最大值是．
所以y的最大值是．
24．解：（1）（+）2
（2）10或22
（3）原式====．
（4）由题意，得N====．
解：原式==2a+1-a=a+1.
当a=-2021时，原式=-2021+1=-2020.
解：原式==2a+a-1=3a-1.
当a=-2021时，原式=3×（-2021）-1=-6064.
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第21章 二次根式自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知x＞2，则下列二次根式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各数中，与的积仍为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程的解是（ ）
A．x= B．x=1 C．x= D．x=
5．已知a为实数，则的值为（ ）
A．0 B．2a-4 C．4-2a D．2a-4或4-2a
6．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如：是型无理数，则（）2是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数
7．一个直角三角形的面积为，其一条直角边长为，则估计该直角三角形的另一条直角边长在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
8．下列二次根式中，与（a＞0，b＞0）是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．若a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
10．定义：若两个二次根式a，b满足a·b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
若2+与4+m是关于2的共轭二次根式，则m的值为（ ）
A． B．-2 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．计算3÷×的结果为 ．
12．若二次根式不是最简二次根式，但与是同类二次根式，则a的值可以是 ．
（写出一个即可）
13．已知点P（m+2，8-m）在第四象限，则化简的结果为 ．
14．海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v=计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8 m/s2．若在海洋深度980 m处发生海啸，则其行进速度为 m/s．
15．已知实数x，y，m满足等式+=-，则的值为 ．
16．已知m+n=10，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（每小题4分，共8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）先化简，再求值：，其中x=，y=3．
19．（6分）求代数式的值，其中a=-2021．下面是小亮和小芳的解答过程：
小亮： 小芳：
（1） 的解法是错误的，错误的原因是 ；
（2）求代数式的值，其中a=-2022．
20．（8分）如图是一张边长为cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角都是边长为 cm的小正方形．
（1）求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板面积；
（2）求长方体盒子的体积．
第20题图
21．（8分）已知a，b为实数，若a+与a-互为倒数，求的值．
22．（8分）（1）用“＞”“=”或“＜”填空：
①6+3 ；②1+ ；③+ ；④7+7 ．
（2）由（1）中各式猜想a+b与（a≥0，b≥0）的大小关系，并说明理由．
（3）利用（2）中的结论解决问题：如图，小华同学想要制作一个面积为1800 cm2，对角线互相垂直的四边形风筝，请你帮他求出用来作对角线的竹条至少要多长．
第22题图
23．（10分）阅读材料：我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．如：-==．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．
例如：比较-和-的大小；
解：先将它们分别分子有理化：-=，-=．
因为+＞+＞0，所以-＜-．
再例如：求-的最大值．
解：由x+2≥0，x-2≥0，知x≥2，而-=．
当x=2时，分母+有最小值2，所以-的最大值是2．
利用上面的方法，解答下列问题：
（1）比较和的大小；
（2）若y=-+3，求y的最大值．
24．（12分）嘉嘉发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：5+=（2+3）+=（）2+（）2+=（+）2；
8+=（1+7）+=12+（）2+2×1×=（1+）2．
【类比归纳】（1）仿照嘉嘉的方法将20+表示成另一个式子的平方： ；
（2）若a±=（±）2，且a，m，n均为正整数，则a的值为 ；
【变式探究】（3）化简：；
【拓展运用】（4）若MN=，M=，求N的值．
第21章 二次根式自我评估参考答案
一、1．B 2．B 3．D 4．A 5．C 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B
二、11．1 12．答案不唯一，如：5 13．10 14．98 15．3
16． 提示：如图，作AB=10，∠CAB=∠DBA=90°，AC=5，BD=7，P为AB上一点．
设AP=m，BP=n，则PC=，PD=．
因为PC+PD≥CD，所以当点C，P，D在同一条直线上时，PC+PD取得最小值，为CD的长．
由勾股定理，易得CD===．
所以的最小值为．
第16题图
三、17．解：（1）原式=-4-（2-）-=-4-2+-=-6．
（2）原式===．
18．解：易知x＞0，y＞0，所以原式==．
当x=，y=3时，原式==．
19．解：（1）小芳 未能正确应用二次根式的性质
（2）原式=．
当a=-2022时，a-3＜0，所以原式=a-2（a-3）=6-a=6-（-2022）=2028．
20．解：（1）-4×=108-8=100（cm2）．
答：制作长方体盒子的纸板面积为100 cm2．
（2）==cm3．
答：长方体盒子的体积为cm3．
21．解：因为a+与a-互为倒数，所以（a+）（a-）=1．
所以a2-b=1，即b=a2-1．
所以===．
根据二次根式有意义的条件，知-（a-2）2≥0．
又因为-（a-2）2≤0，所以-（a-2）2=0．
所以的值为0．
22．解：（1）＞ ＞ ＞ =
（2）猜想：a+b≥（a≥0，b≥0）．
理由：因为a≥0，b≥0，所以a+b-==（-）2≥0．
所以a+b≥．
（3）设AC=a，BD=b．
在四边形ABCD中，AC⊥BD，S四边形ABCD=1800，所以ab=1800．
所以ab=3600．
因为a+b≥==120，所以用来作对角线的竹条至少要120 cm．
23．解：（1）因为==，
==，而＞＞0，所以＜．
（2）因为x+1≥0，x-1≥0，所以x≥1．
因为-=，当x=1时，分母有最小值，所以-的最大值是．
所以y的最大值是．
24．解：（1）（+）2
（2）10或22
（3）原式====．
（4）由题意，得N====．
解：原式==2a+1-a=a+1.
当a=-2021时，原式=-2021+1=-2020.
解：原式==2a+a-1=3a-1.
当a=-2021时，原式=3×（-2021）-1=-6064.
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