黑龙江省鹤岗市工农区第一中学2022-2023学年高三上学期9月开学考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省鹤岗市工农区第一中学2022-2023学年高三上学期9月开学考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 592.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-14 10:18:10 | ||
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文档简介
鹤岗市工农区第一中学2022-2023学年高三上学期9月开学考试
数学试题
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则集合M的真子集的个数（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．-3 B． C．2 D．
3．下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
6．已知角A、B、C为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
9．函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．对任意的x都有 D．在区间上的零点之和为
10．下列说法错误的是（ ）
A．（且）的图象过定点A，则A的坐标为
B．的最小值是4
C．不等式对一切恒成立，则m的范围是
D．关于中心对称
11．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为M、N，则
D．令，若，则实数a的取值范围是
三．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．计算：________．
14．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为________．
15．已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则________．
16．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
四．解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求的值域；
（3）若且，求的值．
18．（12分）设数列的前n项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前n项和为，求．
19．（12分）已知，其中．
（1）若在处取得极值，求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值-4．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数t的取值范围．
21．（12分）如图，椭圆C：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记的面积为，的面积为，若，求直线l在y轴上截距的范围．
22．已知a是实数，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异的零点，且，求证：．
数学参考答案
1.A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B
9．AB 10．ABCD 11．ABD 12．BCD
13． 14．0 15． 16．
17.(1)
所以最小正周期,
(2)(-1,2]
(3)∵，∴
∵∴，∴
.
18（Ⅰ）由得，当时，
两式作差得：，即，即，
令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
两式作差得：
所以．
19．（1），
由，可得，所以，
经检验，满足题意．
（2）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
则，
因为，所以，
所以，所以．
所以实数a的取值范围为．
20（1）由题意知，，得周期，∴
当时，取得最大值4，即，
得，得，
又，当时，，
即．
（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.
，，，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，当时，，如图所示：
又方程有两个实根，∴或
得或，
即实数的取值范围是：
21．（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，
判别式：
弦长公式：
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范.
22(1)的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减；当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，
令，则，于是等价于证明成立，
设，
，所以在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.
数学试题
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则集合M的真子集的个数（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．-3 B． C．2 D．
3．下列函数中，在上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，给出下列四个命题：①图象的两条相邻对称轴间的距离为；②的图象关于直线对称；③在区间上是增函数；④将的图象向右平移个单位后，的图像关于y轴对称，其中正确的命题为（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④
6．已知角A、B、C为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若对满足，有恒成立，且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
9．函数的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．对任意的x都有 D．在区间上的零点之和为
10．下列说法错误的是（ ）
A．（且）的图象过定点A，则A的坐标为
B．的最小值是4
C．不等式对一切恒成立，则m的范围是
D．关于中心对称
11．已知等比数列的前n项和为，且，是与的等差中项，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列的通项公式
B．
C．数列的通项公式为
D．的取值范围是
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于点对称
C．若函数在上的最大值、最小值分别为M、N，则
D．令，若，则实数a的取值范围是
三．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．计算：________．
14．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，则的值为________．
15．已知，若，使得，若的最大值为M，最小值为N，则________．
16．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
四．解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求的值域；
（3）若且，求的值．
18．（12分）设数列的前n项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前n项和为，求．
19．（12分）已知，其中．
（1）若在处取得极值，求实数a的值；
（2）若在上单调递增，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数，在同一周期内，当时，取得最大值4；当时，取得最小值-4．
（1）求函数的解析式；
（2）若时，函数有两个零点，求实数t的取值范围．
21．（12分）如图，椭圆C：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记的面积为，的面积为，若，求直线l在y轴上截距的范围．
22．已知a是实数，函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个相异的零点，且，求证：．
数学参考答案
1.A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B
9．AB 10．ABCD 11．ABD 12．BCD
13． 14．0 15． 16．
17.(1)
所以最小正周期,
(2)(-1,2]
(3)∵，∴
∵∴，∴
.
18（Ⅰ）由得，当时，
两式作差得：，即，即，
令得，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，故．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
两式作差得：
所以．
19．（1），
由，可得，所以，
经检验，满足题意．
（2）因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，
则，
因为，所以，
所以，所以．
所以实数a的取值范围为．
20（1）由题意知，，得周期，∴
当时，取得最大值4，即，
得，得，
又，当时，，
即．
（2）由已知在区间上有两个实根，即方程在区间上有两个实根.
，，，
由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又当时，，当时，
当时，，当时，，如图所示：
又方程有两个实根，∴或
得或，
即实数的取值范围是：
21．（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，
判别式：
弦长公式：
所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范.
22(1)的定义域为，，当时，恒成立，故在上单调递减；当时，令得：，令得：，故在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；
(2)由（1）可知，要想有两个相异的零点，则，不妨设，因为，所以，所以，要证，即证，等价于，而，所以等价于证明，即，
令，则，于是等价于证明成立，
设，
，所以在上单调递增，
故，即成立，
所以，结论得证.
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