上海市八校联考2023届高三上学期9月开学考试数学试题（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 上海市八校联考2023届高三上学期9月开学考试数学试题（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 774.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-14 10:18:52 | ||
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文档简介
上海市八校联考2023届高三上学期9月开学考试数学试题
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知集合，，则______．
2．在复平面内，复数z对应的点为，则______．
3．在的展开式中，的系数为______．
4．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为______．
5．已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．
6．已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．
7．在中，，和的平分线交于点D．若，则的值为______．
8．已知、是单位向量，且，设向量，当时，的最小值为______．
9．若函数的值域为，则实数a的取值范围为______．
10．已知，则的最大值为______．
11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．
12．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．下列说法中正确的是（ ）．
A．平行于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两个平面平行
14．假设A、B是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
15．已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（ ）．
A． B． C． D．
16．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（ ）．
①的图象关于直线对称；②在上是增函数；
③的最大值为；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽车销量占比 1.5％ 2％ 3％ 5％ 8％ 9％ 20％
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
18．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与x铀垂直的直线交于A、B两点，交于C、D两点，且．
（1）求的离心率：
（2）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程．
19．在如图所示的多面体中，，四边形ACFE为矩形，，．
（1）求证：平面平面CDF；
（2）设半面平面，，平面ABCD，求二面角B－l－C的正弦值．
20．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数存在最小值，直接写出a的取值范围．
21．对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列．
（1）若的前n项和，试判断是否是P数列，并说明理由；
（2）设数列，，，…，是首项为、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若且，则不是P数列”．
2022-2023年八校高三上开学考
答案
一、填空题
1．【答案】
2．【解析】在复平面内，复数z对应的点为，
所以．
3．【解析】展开式的通项公式为，
令，解得，即的系数为，故选B．
4．【解析】双曲线的一条渐近线为，
则，解得，则双曲线的方程为，
则，其焦距．
5．【解析】设，由题意得，
即，解得，．
6．【解析】圆的圆心，
直线是圆的一条对称轴，得，
则，当且仅当时，取等号，
所以ab的最大值为．
7．【解析】在中，
由正弦定理得，，
因为，所以，
因为CD平分，所以，
解得（舍负），故的值为．
8．【解析】当时，，
则，
当时，的最小值为．
9．【解析】令，
因为函数的值域为，
所以的值域为，
又的值域为，所以．
10．【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以的最大值为．
11．【解析】设瓷碗所在球的半径为R，则，得，
设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离为h，则瓷碗的截面面积为，
构造一个圆柱减去一个圆台的模型，
．
12．【解析】由曲线上存在点，
使得，即，
下面证明，因为在定义域上严格增，
假设，则，
不满足，同理，不满足，
所以，那么函数，
即函数在有解，所以，
即，，令，
则，严格增，
又，所以，所以a的取值范围是．
二、选择题
13．【解析】平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确；
由平面平行的判定定理得垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确；
平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；
垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确．
故选B．
14．【解析】对于A，因为，所以，
因为，所以，故选项A正确；
对于B，因为题中未说明事件A、B是否相互独立，故选项B错误；
对于C，因为，，
只有当时，才有，
但题中未说明与是否相等，故选项C错误；
对于D，因为，
当事件A与事件B相互独立时，则有，
题中未说明事件A、B是否相互独立，故选项D错误．
故选A．
15．【解析】设，
由图象得，，则，，
所以，
将的图象向右平移2个单位长度得到函数
的图象，由，
又在上严格增，且，，
由图像得不等式的解集为．故选C．
16．【解析】①因为，
所以的图象不关于直线对称，错误；
②，
当时，，则，
所以在上是增函数，正确；
③令得，在一个周期内不妨取，
，，所以的最大值为，正确；
④若，不妨取，，
则，正确．故选C．
三、解答题
17．（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，
则这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．
（2）由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽年销量 0.0625 0.112 0.168 0.275 0.456 0.54 1.16
新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，
则随机变量X可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为，
所以．
18．【解析】（1）由题意设抛物线的方程为，焦点坐标F为，
因为轴，将代入抛物线的方程得，
所以，所以弦长，
将代入椭圆的方程得，所以，
所以弦长，
再由，得，即，
整理得，即，，解得，
所以的离心率为．
（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为，，
而抛物线的准线方程为，
由题意得，即，
由（1）得，解得，，所以，
所以的标准方程为，的标准方程为．
19．【解析】因为四边形ACFE为矩形，所以，
又平面ABE，平面ABE，所以平面ABE，
又因为，又平面ABE，平面ABE，
所以平面ABE，
又，CD、平面CDF，
所以平面平面CDF．
（2）因为平面ABCD，AB、平面ABCD，
所以，，
又因为，所以AB、AE、AD两两互相垂直，
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
所以，，
设平面BEF的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
因为平面ABE，又平面平面CDF，
所以平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，
所以，
故二面角B－l－C的余弦值为，正弦值为．
20．【解析】（1）函数，．
，，
所以曲线在点处的切线的方程为．
（2），．
①当时，则，
当时，，此时函数严格增；
当时，，此时函数严格减．
所以0是函数的极大值点．
②当时，，
令，解得，，
下面对a分类讨论，
当时，，函数在R上严格增，无极值点，舍去．
当时，，列出表格：
x 0
＋ 0 － 0 ＋
严格增 极大值 严格减 极小值 严格增
0为函数的极小值点，舍去．
当时，，列出表格：
x 0
－ 0 ＋ 0 －
严格减 极小值 严格增 极大值 严格减
0为函数的极大值点，满足题意．
当时，，列出表格：
x 0
＋ 0 － 0 ＋
严格增 极大值 严格减 极小值 严格增
0为函数的极大值点，满足题意．
所以a的取值范围是．
（3）结合（2）得当或时，不存在最小值．
例如或，0是函数的极大值点，且．
当时，，无最小值，舍去．
当时，时，，是极小值点，，
满足，，
需要，
解得．
因此函数存在最小值，a的取值范围是．
21．【解析】（1）由得，
故对一切正整数n都成立，
故是P数列．
（2）由题意得，该数列的前n项和为，，
由数列，，…，是P数列，可知，故公差，
对满足中的每一个正整数n都成立．
对于，9都成立．
由，得，
故d的取值范围是．
（3）若是P数列，则
若，则，又由对一切正整数n都成立，
得，即对一切正整数n都成立，
由，且，故，得，
若，则，
又由对一切正整数n都成立，得，
即对一切正整数n都成立，
又当时，，当时不成立，
故有或，解得．
故是P数列时，a与q所满足的条件为或．
下面用反证法证明命题“若且，则不是P数列”．
假设是P数列，由得且中每一项均为正数，
若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知，
若中的每一项都在边中，同理可得．
若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，
设，是将，中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，
它们的所有项和分别为，，不妨设，中的最大项在中，
设为，则，
则，故'，所以，
故总有，与．故不是P数列．
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知集合，，则______．
2．在复平面内，复数z对应的点为，则______．
3．在的展开式中，的系数为______．
4．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为______．
5．已知是等比数列，为其前n项和，若是、的等差中项，，则______．
6．已知直线是圆的一条对称轴，则ab的最大值为______．
7．在中，，和的平分线交于点D．若，则的值为______．
8．已知、是单位向量，且，设向量，当时，的最小值为______．
9．若函数的值域为，则实数a的取值范围为______．
10．已知，则的最大值为______．
11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．
12．设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是______．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．下列说法中正确的是（ ）．
A．平行于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一直线的两个平面平行
C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两个平面平行
14．假设A、B是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B．
C． D．
15．已知二次函数的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数的图象，则不等式的解集是（ ）．
A． B． C． D．
16．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（ ）．
①的图象关于直线对称；②在上是增函数；
③的最大值为；④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．（注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和）
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽车销量占比 1.5％ 2％ 3％ 5％ 8％ 9％ 20％
（1）从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；
（2）从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
18．已知椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过F且与x铀垂直的直线交于A、B两点，交于C、D两点，且．
（1）求的离心率：
（2）若的四个顶点到的准线距离之和为12，求与的标准方程．
19．在如图所示的多面体中，，四边形ACFE为矩形，，．
（1）求证：平面平面CDF；
（2）设半面平面，，平面ABCD，求二面角B－l－C的正弦值．
20．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线的方程；
（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数存在最小值，直接写出a的取值范围．
21．对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列．
（1）若的前n项和，试判断是否是P数列，并说明理由；
（2）设数列，，，…，是首项为、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；
（3）设无穷数列是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若且，则不是P数列”．
2022-2023年八校高三上开学考
答案
一、填空题
1．【答案】
2．【解析】在复平面内，复数z对应的点为，
所以．
3．【解析】展开式的通项公式为，
令，解得，即的系数为，故选B．
4．【解析】双曲线的一条渐近线为，
则，解得，则双曲线的方程为，
则，其焦距．
5．【解析】设，由题意得，
即，解得，．
6．【解析】圆的圆心，
直线是圆的一条对称轴，得，
则，当且仅当时，取等号，
所以ab的最大值为．
7．【解析】在中，
由正弦定理得，，
因为，所以，
因为CD平分，所以，
解得（舍负），故的值为．
8．【解析】当时，，
则，
当时，的最小值为．
9．【解析】令，
因为函数的值域为，
所以的值域为，
又的值域为，所以．
10．【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，解得，
所以的最大值为．
11．【解析】设瓷碗所在球的半径为R，则，得，
设从瓷碗截面圆心处任意竖直距离为h，则瓷碗的截面面积为，
构造一个圆柱减去一个圆台的模型，
．
12．【解析】由曲线上存在点，
使得，即，
下面证明，因为在定义域上严格增，
假设，则，
不满足，同理，不满足，
所以，那么函数，
即函数在有解，所以，
即，，令，
则，严格增，
又，所以，所以a的取值范围是．
二、选择题
13．【解析】平行于同一直线的两个平面相交或平行，故A不正确；
由平面平行的判定定理得垂直于同一直线的两个平面平行，故B正确；
平行于同一平面的两条直线平行、相交或异面，故C不正确；
垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故D不正确．
故选B．
14．【解析】对于A，因为，所以，
因为，所以，故选项A正确；
对于B，因为题中未说明事件A、B是否相互独立，故选项B错误；
对于C，因为，，
只有当时，才有，
但题中未说明与是否相等，故选项C错误；
对于D，因为，
当事件A与事件B相互独立时，则有，
题中未说明事件A、B是否相互独立，故选项D错误．
故选A．
15．【解析】设，
由图象得，，则，，
所以，
将的图象向右平移2个单位长度得到函数
的图象，由，
又在上严格增，且，，
由图像得不等式的解集为．故选C．
16．【解析】①因为，
所以的图象不关于直线对称，错误；
②，
当时，，则，
所以在上是增函数，正确；
③令得，在一个周期内不妨取，
，，所以的最大值为，正确；
④若，不妨取，，
则，正确．故选C．
三、解答题
17．（1）由汽车销量图得7年中有6年汽车总销量不小于5.5万辆，
则这一年该地区汽车总销量不小丁5.5万辆的概率为．
（2）由图表得新能源汽车2015-2021年的销量如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
新能源汽年销量 0.0625 0.112 0.168 0.275 0.456 0.54 1.16
新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，
则随机变量X可能取值为0，1，2，
，，，
所以X的分布列为，
所以．
18．【解析】（1）由题意设抛物线的方程为，焦点坐标F为，
因为轴，将代入抛物线的方程得，
所以，所以弦长，
将代入椭圆的方程得，所以，
所以弦长，
再由，得，即，
整理得，即，，解得，
所以的离心率为．
（2）由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为，，
而抛物线的准线方程为，
由题意得，即，
由（1）得，解得，，所以，
所以的标准方程为，的标准方程为．
19．【解析】因为四边形ACFE为矩形，所以，
又平面ABE，平面ABE，所以平面ABE，
又因为，又平面ABE，平面ABE，
所以平面ABE，
又，CD、平面CDF，
所以平面平面CDF．
（2）因为平面ABCD，AB、平面ABCD，
所以，，
又因为，所以AB、AE、AD两两互相垂直，
以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
所以，，
设平面BEF的法向量为，
则，即，
令，则，，故，
因为平面ABE，又平面平面CDF，
所以平面CDF，取平面CDF的一个法向量为，
所以，
故二面角B－l－C的余弦值为，正弦值为．
20．【解析】（1）函数，．
，，
所以曲线在点处的切线的方程为．
（2），．
①当时，则，
当时，，此时函数严格增；
当时，，此时函数严格减．
所以0是函数的极大值点．
②当时，，
令，解得，，
下面对a分类讨论，
当时，，函数在R上严格增，无极值点，舍去．
当时，，列出表格：
x 0
＋ 0 － 0 ＋
严格增 极大值 严格减 极小值 严格增
0为函数的极小值点，舍去．
当时，，列出表格：
x 0
－ 0 ＋ 0 －
严格减 极小值 严格增 极大值 严格减
0为函数的极大值点，满足题意．
当时，，列出表格：
x 0
＋ 0 － 0 ＋
严格增 极大值 严格减 极小值 严格增
0为函数的极大值点，满足题意．
所以a的取值范围是．
（3）结合（2）得当或时，不存在最小值．
例如或，0是函数的极大值点，且．
当时，，无最小值，舍去．
当时，时，，是极小值点，，
满足，，
需要，
解得．
因此函数存在最小值，a的取值范围是．
21．【解析】（1）由得，
故对一切正整数n都成立，
故是P数列．
（2）由题意得，该数列的前n项和为，，
由数列，，…，是P数列，可知，故公差，
对满足中的每一个正整数n都成立．
对于，9都成立．
由，得，
故d的取值范围是．
（3）若是P数列，则
若，则，又由对一切正整数n都成立，
得，即对一切正整数n都成立，
由，且，故，得，
若，则，
又由对一切正整数n都成立，得，
即对一切正整数n都成立，
又当时，，当时不成立，
故有或，解得．
故是P数列时，a与q所满足的条件为或．
下面用反证法证明命题“若且，则不是P数列”．
假设是P数列，由得且中每一项均为正数，
若中的每一项都在中，则由这两数列是不同数列，可知，
若中的每一项都在边中，同理可得．
若中至少有一项不在中且中至少有一项不在中，
设，是将，中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，
它们的所有项和分别为，，不妨设，中的最大项在中，
设为，则，
则，故'，所以，
故总有，与．故不是P数列．
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