上海市复旦附高2022-2023学年高一上学期9月开学考试数学试题（Word版含答案）

复旦附高2022-2023学年高一上学期9月开学考试 数学
一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分．满分54分）
1．使等式成立的的取值范围是______．
2．若，则实数______．
3．设集合，，若，则的范围是______．
4．若对任意的、均有（a、b为常数），则______．
5．一组数据3，6，8，x的中位数是，且是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是______．
6．已知M、N两点关于轴对称，且点在双曲线上，点在直线上，设点的对称点坐标为，则二次函数的最大值为______．
7．设，则用含的最简分式形式表示代数式的值为______．
8．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为______．
9．如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为2，圆心角为，则图中阴影部分的面积是______．
10．如图，矩形纸片，长，宽，将其折叠，使点与点重合，那么折叠后的长为______．
11．一个三角形的边长分別为a、a、b，另一个三角形的边长分別为b、b、a，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于______．
12．从1，2，3，…，22这22个正整数中取出个正整数，要求满足：任何两个正整数的差的绝对值都不等于4和7，那么的最大值为______．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．已知集合，，则A、B间的关系为（ ）
A． B． C． D．
14．已知，使代数式的值为有理数的的集合足（ ）
A． B． C．使的集合D．使的集合
15．设a、b、c是实数，，，，则x、y、z中至少有一个值（ ）
A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0
16．如图，扇形的半径，圆心角，C是不同于A、B的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且．设的长为x，的面积为，选项中表示与的函数关系式的图象可能是（ ）
三、解答题（本大题共有5题、满分76分）
17．解方程：．
18．已知，，集合，，．
（1）当，时，求a、x的值；
（2）当时，求a、x的值．
19．已知关于x、y的方程组有两组不同的实数解；，其中．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，求实数的值．
20．设集合．
（1）证明：若，则，且；
（2）对于实数p、q，如果，证明：；并由此说明，中元素若满足，则；
（3）试求满足的的元素．
21．若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若x、，则，且时，．
（1）分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（2）设集合是“好集”，求证：若x、，则；
（3）对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若x、，则必有．
2022—2023年复旦附中高一上开学考答案
一、填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）
1．【解析】由题意得，所以．
2．【解析】当x＝—2时，，与互异性矛盾：当时，x＝—1．
3．【解析】若，则．
4．【解析】因为，所以，，所以．
5．【解析】解不等式组得，因为是整数，
数据3，4，6，8，的中位数是，所以．
这组数据的平均数是．
6．【解析】因为M、N两点关于轴对称，点的坐标为，所以点的坐标为，
又点M在反比例函数的图象上，点N在—次函数y＝x＋3的图象上，
所以，整理得，所以，即，
所以，故二次函数为，
二次项系数为，故函数有最小值，最小值为．
7．【解析】由得，所以．
所以．
8．【解析】延长交延长线于点，则，作于F，
在Rt△CEF中，，
所以米，米．
在Rt△CFD中，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
即米，，
所以米，所以米，
在Rt△ABD中，米．
9．【解析】如图，连接因为四边形是菱形，，
所以和是等边三角形，
所以，，
因为扇形圆心角，所以，
所以，在利中，，
所以，所以，
所以，扇形的半径为2，
所以．
10．【解析】设DE长为xcm，则，BE＝xcm，因为四边形ABCD是矩形，所以∠A＝90°，由勾股定理得，即，解得x＝5，即DE长为5cm．
11．【解析】如图，在中，，，
在中，，，．
过点作于点H，于点．设．
因为，所以，
所以，因为∠B＝∠DEF，所以，所以，
因为，，所以，所以，解得．
12．【解析】符合命题月同一种情况为1，3，5，6．11，14，16，17，19，22，，那么的最大值为10．
二、选择题（本大题共4题，满分20分）
13．【解析】因为集合，
所以集合，又，所以，做选D．
14．D
15．A
【解析】因为
假设x、y、z都不大于0即，，．
由同向不等式的可加性得①，又与①式矛盾．
所以假设不成立，即原命题的结论x、y、z中至少有一个大于0．故选A．
16．【解析】连接，作于点，因为扇形的半径，圆心角，于点，于点，所以四边形是矩形，所以．
因为，所以EH＝4，HD＝2．
因为，所以，所以，
所以．
A．结合解析式得出只有A图象符合要求：
B．图象是一次函数与二次函数一部分，不符合上面解析式，故此选项错误：
C．是反比例函数图象，不符合上面解析式，故此选项错误；
D．图象是两部分一次函数，不符合上面解析式，故此选项错误．
故选A．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．【解析】由得，
当时，，所以，
所以（舍去）；
当时，，所以，
所以，又，所以．
18．【解析】（1）因为，所以且，
当吋，；当时，；
（2）因为，即，
所以，整理得，
将代入得，解得或．
当时，或当时，或，
又因为当，时，代入不成立，所以舍去．
阠以或3，或．
19．【解析】（1），
把代入①，得．
因为有两个不相等的实数解，
所以且．解得且．
（2）由题意得的两根为，
所以，，因为，
所以．
所以，整理得．
解得，因为且，所以．
20．【解析】（1）若，则且，m、，
则
且，m、，故，
则，
此时，故：
（2）令，故时，为严格增函数，
因为，，所以；
令且，m、，
因为，所以，所以，
则m＝2，n＝1，则；
（3）因为，且，所以，
且，由（2）得，
所以．
21．（1）集合B不是“好集”，理由是，，而：
所以B不是“好集”；有理数集Q是“好集”，理由是，；
对任意，，有，且，时，；
所以有理数集Q是“好集”：
（2）因为集合A是“好集”，所以，
若x、，则，即，所以，即；
（3）对任意一个“好集”A，任取x、，若x、y中有0和1时，显然，
下设x、y均不含0，1，由定义得x—1，，，
所以，所以，
由（2）得，同理，
若x＋y＝0．或x＋y＝1．显然，
若，且，则， 以，所以，
由（2）得，所以，综上，．