广东省广州16中2013-2014学年高一上学期入学考试数学试题

广州16中2013-2014学年高一上入学数学考试题
（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）
班级 姓名 座位号
一、选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．已知∠A＝60°，则∠A的补角是
A．160°． B．120°．
C．60°． D．30°．
2．图1是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是
A．圆锥． B．球．
C．圆柱． D．正方体．
3．掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上
一面的点数为5的概率是
A．1． B．． C．． D．0．
4．如图2，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝
A．150°． B．75°．
C．60°． D．15°．
5．方程＝的解是
A．3． B．2．
C．1． D．0．
6．在平面直角坐标系中，将线段OA向左平移2个单位，平移后，点O，A的对应点分别
为点O1，A1.若点O（0，0），A（1，4），则点O1，A1的坐标分别是
A．（0，0），（1，4）． B．（0，0），（3，4）．
C．（－2，0），（1，4）． D．（－2，0），（－1，4）．
7. 已知二次函数y＝2x2＋9x+34，当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则当自变量x取x1＋x2 时的函数值与
A．x＝1 时的函数值相等 B．x＝0时的函数值相等
C．x＝时的函数值相等 D． x＝－时的函数值相等
8.已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；
②； ③3a+c<0； ④9a+3b+c>0．其中，正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）.
9．在实数范围内分解因式： =_________________________
10．已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，
BE与AD相交于点O．写出两组相等的线段（不包括AB＝CD和AD＝BC）．
.
11．一个口袋中装有 4个白球，1个红球，7个黄球，搅匀后随机从袋中摸出 1个球是白球的概率是 ______
12．把抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是 ______ ；
13．为发展农业经济，致富奔小康，养鸡专业户王大伯2004年养了2000只鸡，上市前，他随机抽取了10只鸡，称得重量统计如下表：估计这批鸡（2000只）的总重量为 ______kg.
重量（单位：kg）
2
2.2
2.5
2.8
3
数量（单位：只）
1
2
4
2
1
14．已知正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为________________个
2013学年高一入学数学考试答卷
班级 姓名 学号 成绩
二、填空题： 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
9、 ；10、 ；11、
12、 ；13、 ；14、
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（12分）先化简，再求值： ，其中．
16.　（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
求证：AD⊥DC；
若AD＝2，AC＝，求AB的长．
17.（本题满分14分）如图9，在梯形ABCD中，AD∥BC，
对角线AC，BD相交于点E，若AE＝4，CE＝8，DE＝3，
梯形ABCD的高是，面积是54.求证：AC⊥BD.
18．（本题满分14分）一个有进水管与出水管的容器，
从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的
9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是
常数.容器内的水量y（单位：升）与时间
x（单位：分）之间的关系如图10所示.
当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围.
19．（本题满分14分）若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且＋
＝2（k是整数），则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0，
x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0， x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.
（1）判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.
20. （14分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE～△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
探究１：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；
设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．
2013学年高一入学数学考试答案
一、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
BCCB ADBC
二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）.
9．
10、BC＝BE　AB＝DE
11．
12、
13．5000
14．6
15、原式＝
当时，原式＝
16、(1)连接OC∵OC=OA∴∠CAO=∠OCA又∵CD与圆O相切∴∠OCD=90°即∠OCA+∠DCA=90°∴∠CAO+∠DCA=90°又∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠CAO∴∠DAC+∠DCA=90°∴∠ADC=90°即AD⊥DC(2)连接BC因为AB为圆O的直径∴∠ACB=90°∴∠ADC=∠ACB=90°又∵∠DAC=∠CAO∴△ADC∽△ACB　∴
∴AB=
17．（本题满分6分）
证明1：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.
∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分
∴ ＝＝. ……………………………2分
即：BC＝2AD. ………………3分
∴54＝×( AD＋2AD)
∴AD＝5. ………………4分
在△EDA中，
∵DE＝3，AE＝4，
∴DE2＋AE2＝AD2. ……………………………5分
∴∠AED＝90°.
∴ AC⊥BD. ……………………………6分
证明2： ∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠EBC，∠DAE＝∠ECB.
∴△EDA∽△EBC. ……………………………1分
∴＝. ……………………………2分
即＝.
∴BE＝6. ……………………………3分
过点D作DF∥AC交BC的延长线于点F.
由于AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形.
∴DF＝AC＝12，AD＝CF.
∴BF＝BC＋AD.
∴54＝××BF.
∴BF＝15. ……………………………4分
在△DBF中，
∵DB＝9，DF＝12，BF＝15，
∴DB2＋DF2＝BF2. ……………………………5分
∴∠BDF＝90°.
∴DF⊥BD.
∴AC⊥BD. ……………………………6分
18．（本题满分6分）
解1： 当0≤x≤3时，y＝5x. ……………………………1分
当y＞5时，5x＞5， ……………………………2分
解得 x＞1.
∴1＜x≤3. ……………………………3分
当3＜x≤12时，
设 y＝kx＋b.
则解得
∴ y＝－x＋20. ……………………………4分
当y＞5时，－x＋20＞5， ……………………………5分
解得 x＜9.
∴ 3＜x＜9. ……………………………6分
∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .
解2： 当0≤x≤3时，y＝5x. ……………………………1分
当y＝5时，有5＝5x，解得 x＝1.
∵ y随x的增大而增大，
∴当y＞5时，有x＞1. ……………………………2分
∴ 1＜x≤3. ……………………………3分
当3＜x≤12时，
设 y＝kx＋b.
则解得
∴ y＝－x＋20. ……………………………4分
当y＝5时，5＝－x＋20.
解得x＝9.
∵ y随x的增大而减小，
∴当y＞5时，有x＜9. ……………………………5分
∴3＜x＜9. ……………………………6分
∴容器内的水量大于5升时，1＜x＜9 .
19．（本题满分11分）
（1）解： 不是 ……………………………1分
解方程x2＋x－12＝0得，x1＝－4，x2＝3. ……………………………2分
＋＝4＋3＝2×. ……………………………3分
∵3.5不是整数，
∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”.…………………………4分
（2）解：存在 …………………………6分
∵方程x2－6x－27＝0，x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，
∴ 假设 c＝mb2＋n. …………………………8分
当 b＝－6，c＝－27时，有 －27＝36m＋n.
∵x2＝0是“偶系二次方程”，
∴n＝0，m＝－ . …………………………9分
即有c＝－ b2.
又∵x2＋3x－＝0也是“偶系二次方程”，
当b＝3时，c＝－ ×32＝－.
∴可设c＝－ b2. …………………………10分
对任意一个整数b，当c＝－ b2时，
∵△＝b2－4c
＝4b2.
∴ x＝ .
∴ x1＝－b，x2＝b.
∴ ＋＝＋＝2.
∵b是整数，∴对任意一个整数b，当c＝－ b2时，关于x的方程
x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”. …………………………11分