21.4实际问题与二次函数（3） 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 21.4实际问题与二次函数（3） 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 987.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-15 18:49:05 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
沪科版 九年级上册
21.4实际问题与二次函数(3)
二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实
用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要来
研究利润问题．
课件说明
① y =－4x2＋3x， ② y =3x2＋x＋6
解：
①
x =
b
2a
－
=
∵ a=－4＜0 ，
3
2×(－4)
=
－
3
8
=
9
16
∵ b=3 ，c=0
c
b2
4a
－
=
32
4×(－4)
0－
求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值．
∴函数有最大值，
∴最大值y=
相应的x值为
复习旧知
① y =－4x2＋3x， ② y =3x2＋x＋6
解：
x =
b
2a
－
=
∵ a=3 ＞ 0 ，
1
2×3
= －
－
1
6
=
71
12
∵ b=1 ，c=6
c
b2
4a
－
=
12
4×3
6－
求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值．
∴函数有最小值，
∴最小值y=
相应的x值为
②
1. 一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶(拱
桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.建立如
图的平面直角坐标系，则抛物线的函数表达式
是( ).
A.y=－2x2 B.y=2x2
C.y=－ x2 D.y= x2
2
1
2
1
x
y
O
4m
C
4m
2m
2.如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在 AB位
置时，拱顶(即抛物线的顶点)离水面2m，水面
宽为4m，水面下降1m后，水面宽为( ).
A.5 m B.6 m
C. m D. 2 m
6
6
D
例3 对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下表达式： h= v0t － gt2，
其中h是上抛物体上升的高度，v0是上抛物体的初速度，g是重力加速度， t是物体抛出后所经过的时间．
1
2
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
(g=10m/s2)．
(精确到0.1s)．
例3 对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下表达式： h= v0t － gt2，
其中h是上抛物体上升的高度，v0是上抛物体的初速度，g是重力加速度， t是物体抛出后所经过的时间．
1
2
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s.
(g=10m/s2)．
解：(1)
∵v0=10，
g=10，
∴ h= v0t － gt2
1
2
=10t－5t2
=－5t2＋10t
(1)问排球上升的最大高度是多少
此函数关系式中自变量和函数分别是什么
∴排球上升的高度h是排球抛出时间t的二次函数.
(1)问排球上升的最大高度是多少
在数学问题中实质就是求什么
h=－5t2＋10t
自变量是排球抛出的时间t，
函数是排球上升的高度h.
求二次函数的最大值.
解：(1)
∵v0=10，
g=10，
∴ h= v0t － gt2
1
2
=10t－5t2
=－5t2＋10t
(1)问排球上升的最大高度是多少
∵ a=－5＜0 ，
∴ 这个函数有最大值，
∴排球上升的最大高度是5m.
=
5
∵ b=10 ，c=0
c
b2
4a
－
=
102
4×(－5)
0－
∴最大值h=
解：(1)
∵v0=10，
g=10，
∴ h= v0t － gt2
1
2
=10t－5t2
=－5t2＋10t
(1)问排球上升的最大高度是多少
=－5(t2－2t)
=－5(t－1)2＋5
∵ a=－5＜0 ，
∴ 这个函数有最大值，
最高点坐标为(1，5)，
∵这条抛物线开口向下，
即当t=1时，
h有最大值5.
∴排球上升的最大高度是5m.
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
在(2)问题中，已知什么条件？求什么？
在(2)问题中，已知2.5m高度
求排球被垫起后多长时间扣球效果最佳，
就是求自变量t的值.
是函数值
用什么方法解决？
代入法
h=－5t2＋10t
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
(精确到0.1s)．
解：(2)
在h= －5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t =2.5，
t2－2t=－
1
2
t2－2t＋1=－
1
2
＋1
(t－1)2=
1
2
t－1=
1
2
t=1＋
2
2
t=1－
2
2
±
∴x1≈1.7，
x2≈0.3.
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
(精确到0.1s)．
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
∵代入函数值后得到的是一个二元一次方程，
为什么会产生两个值
∴有两个根.
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
这两个根对应到函数图象上两个点的坐标是什么？
(0.3，2.5)
这两个点坐标的实际意义是什么？
当排球垫起0.3s后球的高度为2.5m，
对应两个点的坐标是
当排球垫起1.7s后球的高度也是2.5m.
和(1.7，2.5)
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
这两个值取哪个？为什么？
“打快攻”要取时间比较小的值更好。
(0.3，2.5)和(1.7，2.5)
对应两个点的坐标是
这两个根对应到函数图象上两个点的坐标是什么？
∴取x2≈0.3.
即运动员在排球被垫起后0.3s时扣球效果最佳.
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
∵“打快攻”要取时间比较小的值更好.
∴取x2≈0.3.
即运动员在排球被垫起后0.3s时扣球效果最佳.
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
如果运动员错过快攻时机，她还可以在何时扣球？
当排球垫起0.3s后球的高度为2.5m，
当排球垫起1.7s后球的高度也是2.5m.
如果运动员错过快攻时机，她还可以在排球垫起
1.7s后扣球.
1.炮弹以一定的初速度和发射角度射出后，上升的高度
y m与对应的水平距离x m之间的函数关系可表示为
试求：(1)炮弹能达到的最大高度；(2)炮弹最远射程.
1
3
1
54000
y=－ x2＋ x.
解：(1)
∵a=
1
54000
－
＜0，
∴ 这个函数有最大值.
∴ 最大值为
c
b2
4a
－
=
0－
1
54000
－
( )
4×
1
3
( )2
=4500
∵b= ，
c=0，
1
3
炮弹能达到的最大高度为4500m.
1.炮弹以一定的初速度和发射角度射出后，上升的高度
y m与对应的水平距离x m之间的函数关系可表示为
试求：(1)炮弹能达到的最大高度；(2)炮弹最远射程.
1
3
1
54000
y=－ x2＋ x.
解：(2)
y=0.
当炮弹达到最远射程时，
1
3
1
54000
0=－ x2＋ x.
1
54000
x－
x( )
3
3
=0
∴x=18000 ，x=0 (舍去) .
3
∴炮弹最远射程为 m.
18000
3
2.心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受
能力y与学习知识所用的连续时间x(单位：min)之间
满足下列经验关系式
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
(2)第10min时，学生的接受能力是多少
(3)在第几分时，学生的接受能力最强
2.心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受
能力y与学习知识所用的连续时间x(单位：min)之间
满足下列经验关系式
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
解：(1)
∵a=
＜0，
－0.1
∴ 这条抛物线开口向下，
∴ 抛物线在它对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而增强.
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
解：(1)
∵a=
＜0，
－0.1
∴ 这条抛物线开口向下，
∴ 抛物线在它对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而增强.
抛物线在它对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而降低.
∵b=
2.6
∴x =
b
2a
－
=
2.6
2×(－0.1)
=13
－
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
解：(1)
∵a=
＜0，
－0.1
∴ 这条抛物线开口向下，
∴ 抛物线在它对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而增强.
抛物线在它对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而降低.
∵ b=
2.6
∴x =
b
2a
－
=
2.6
2×(－0.1)
=13
－
∴当0≤x≤13时，能力增强；
当13＜x≤30时，能力降低 .
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
(2)第10min时，学生的接受能力是多少
(3)在第几分时，学生的接受能力最强
(2)x=10时，
y=－0.1×10 ＋2.6×10＋43=59
(3)∵a＜0 ∴函数在对称轴处取到最大值.
∴当x=13min时，学生的接受能力最强.
解决给定二次函数表达式的应用问题，首先要理解变量的实际意义，然后利用函数的图象和性质，求出函数值、自变量的值或函数的最值等，从而解决问题.
方法总结
(1)这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
(2)解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
(3)你学到了哪些思考问题的方法？
课堂小结
1.一名运动员打高尔夫球，若球的飞行高度
ym与水平距离xm之间的函数表达式为
y= (x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程
中的最大高度为( ).
A.10 m B. 20 m C.30 m D. 60 m
90
1
巩固提高
A
2.一种新型礼炮的升空高度hm与飞行时间 ts的
关系式是h=－ t2＋20t＋1.若这种礼炮在点
火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引
爆需要的时间为( ).
A.3 s B.4 s C.5s D. 6 s
2
5
B
3.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y= x2＋ 的一部分，有关数据如图，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( ).
A．4m B.4.5m C．3.5m D.4.6m
1
5
－
7
2
A
4.体育测试时，一名九年级学生推铅球，铅球
行进高度ym与水平距离xm之间的关系为
y=－ x2＋ x ＋ ，则该名同学的成绩
是 m.
3
2
3
5
12
1
10
今天作业
课本P42页第4题
谢谢
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沪科版 九年级上册
21.4实际问题与二次函数(3)
二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实
用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要来
研究利润问题．
课件说明
① y =－4x2＋3x， ② y =3x2＋x＋6
解：
①
x =
b
2a
－
=
∵ a=－4＜0 ，
3
2×(－4)
=
－
3
8
=
9
16
∵ b=3 ，c=0
c
b2
4a
－
=
32
4×(－4)
0－
求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值．
∴函数有最大值，
∴最大值y=
相应的x值为
复习旧知
① y =－4x2＋3x， ② y =3x2＋x＋6
解：
x =
b
2a
－
=
∵ a=3 ＞ 0 ，
1
2×3
= －
－
1
6
=
71
12
∵ b=1 ，c=6
c
b2
4a
－
=
12
4×3
6－
求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值．
∴函数有最小值，
∴最小值y=
相应的x值为
②
1. 一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶(拱
桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.建立如
图的平面直角坐标系，则抛物线的函数表达式
是( ).
A.y=－2x2 B.y=2x2
C.y=－ x2 D.y= x2
2
1
2
1
x
y
O
4m
C
4m
2m
2.如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在 AB位
置时，拱顶(即抛物线的顶点)离水面2m，水面
宽为4m，水面下降1m后，水面宽为( ).
A.5 m B.6 m
C. m D. 2 m
6
6
D
例3 对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下表达式： h= v0t － gt2，
其中h是上抛物体上升的高度，v0是上抛物体的初速度，g是重力加速度， t是物体抛出后所经过的时间．
1
2
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s.
(1)问排球上升的最大高度是多少
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
(g=10m/s2)．
(精确到0.1s)．
例3 对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下表达式： h= v0t － gt2，
其中h是上抛物体上升的高度，v0是上抛物体的初速度，g是重力加速度， t是物体抛出后所经过的时间．
1
2
在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s.
(g=10m/s2)．
解：(1)
∵v0=10，
g=10，
∴ h= v0t － gt2
1
2
=10t－5t2
=－5t2＋10t
(1)问排球上升的最大高度是多少
此函数关系式中自变量和函数分别是什么
∴排球上升的高度h是排球抛出时间t的二次函数.
(1)问排球上升的最大高度是多少
在数学问题中实质就是求什么
h=－5t2＋10t
自变量是排球抛出的时间t，
函数是排球上升的高度h.
求二次函数的最大值.
解：(1)
∵v0=10，
g=10，
∴ h= v0t － gt2
1
2
=10t－5t2
=－5t2＋10t
(1)问排球上升的最大高度是多少
∵ a=－5＜0 ，
∴ 这个函数有最大值，
∴排球上升的最大高度是5m.
=
5
∵ b=10 ，c=0
c
b2
4a
－
=
102
4×(－5)
0－
∴最大值h=
解：(1)
∵v0=10，
g=10，
∴ h= v0t － gt2
1
2
=10t－5t2
=－5t2＋10t
(1)问排球上升的最大高度是多少
=－5(t2－2t)
=－5(t－1)2＋5
∵ a=－5＜0 ，
∴ 这个函数有最大值，
最高点坐标为(1，5)，
∵这条抛物线开口向下，
即当t=1时，
h有最大值5.
∴排球上升的最大高度是5m.
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
在(2)问题中，已知什么条件？求什么？
在(2)问题中，已知2.5m高度
求排球被垫起后多长时间扣球效果最佳，
就是求自变量t的值.
是函数值
用什么方法解决？
代入法
h=－5t2＋10t
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
(精确到0.1s)．
解：(2)
在h= －5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t =2.5，
t2－2t=－
1
2
t2－2t＋1=－
1
2
＋1
(t－1)2=
1
2
t－1=
1
2
t=1＋
2
2
t=1－
2
2
±
∴x1≈1.7，
x2≈0.3.
(2)已知某运动员在2.5米高度时扣球效果最佳，如果她要打快攻，该运动员在排球被垫起后多长时间扣球效果最佳？
(精确到0.1s)．
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
∵代入函数值后得到的是一个二元一次方程，
为什么会产生两个值
∴有两个根.
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
这两个根对应到函数图象上两个点的坐标是什么？
(0.3，2.5)
这两个点坐标的实际意义是什么？
当排球垫起0.3s后球的高度为2.5m，
对应两个点的坐标是
当排球垫起1.7s后球的高度也是2.5m.
和(1.7，2.5)
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
这两个值取哪个？为什么？
“打快攻”要取时间比较小的值更好。
(0.3，2.5)和(1.7，2.5)
对应两个点的坐标是
这两个根对应到函数图象上两个点的坐标是什么？
∴取x2≈0.3.
即运动员在排球被垫起后0.3s时扣球效果最佳.
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
∵“打快攻”要取时间比较小的值更好.
∴取x2≈0.3.
即运动员在排球被垫起后0.3s时扣球效果最佳.
解：(2)
在h=－5t2＋10t中，
当h=2.5时，有
－5t2＋10t=2.5，
∴x1≈1.7，x2≈0.3.
如果运动员错过快攻时机，她还可以在何时扣球？
当排球垫起0.3s后球的高度为2.5m，
当排球垫起1.7s后球的高度也是2.5m.
如果运动员错过快攻时机，她还可以在排球垫起
1.7s后扣球.
1.炮弹以一定的初速度和发射角度射出后，上升的高度
y m与对应的水平距离x m之间的函数关系可表示为
试求：(1)炮弹能达到的最大高度；(2)炮弹最远射程.
1
3
1
54000
y=－ x2＋ x.
解：(1)
∵a=
1
54000
－
＜0，
∴ 这个函数有最大值.
∴ 最大值为
c
b2
4a
－
=
0－
1
54000
－
( )
4×
1
3
( )2
=4500
∵b= ，
c=0，
1
3
炮弹能达到的最大高度为4500m.
1.炮弹以一定的初速度和发射角度射出后，上升的高度
y m与对应的水平距离x m之间的函数关系可表示为
试求：(1)炮弹能达到的最大高度；(2)炮弹最远射程.
1
3
1
54000
y=－ x2＋ x.
解：(2)
y=0.
当炮弹达到最远射程时，
1
3
1
54000
0=－ x2＋ x.
1
54000
x－
x( )
3
3
=0
∴x=18000 ，x=0 (舍去) .
3
∴炮弹最远射程为 m.
18000
3
2.心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受
能力y与学习知识所用的连续时间x(单位：min)之间
满足下列经验关系式
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
(2)第10min时，学生的接受能力是多少
(3)在第几分时，学生的接受能力最强
2.心理学家研究发现，通常情况下，学生对知识的接受
能力y与学习知识所用的连续时间x(单位：min)之间
满足下列经验关系式
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
解：(1)
∵a=
＜0，
－0.1
∴ 这条抛物线开口向下，
∴ 抛物线在它对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而增强.
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
解：(1)
∵a=
＜0，
－0.1
∴ 这条抛物线开口向下，
∴ 抛物线在它对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而增强.
抛物线在它对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而降低.
∵b=
2.6
∴x =
b
2a
－
=
2.6
2×(－0.1)
=13
－
(1)当x在什么范围内，学生接受能力逐步增强
当x又在什么范围内，学生的接受能力逐步降低
解：(1)
∵a=
＜0，
－0.1
∴ 这条抛物线开口向下，
∴ 抛物线在它对称轴的左侧，
y随着x的增大而增大.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而增强.
抛物线在它对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
即此时学生接受能力随所用的连续时间增多而降低.
∵ b=
2.6
∴x =
b
2a
－
=
2.6
2×(－0.1)
=13
－
∴当0≤x≤13时，能力增强；
当13＜x≤30时，能力降低 .
y=－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)
(2)第10min时，学生的接受能力是多少
(3)在第几分时，学生的接受能力最强
(2)x=10时，
y=－0.1×10 ＋2.6×10＋43=59
(3)∵a＜0 ∴函数在对称轴处取到最大值.
∴当x=13min时，学生的接受能力最强.
解决给定二次函数表达式的应用问题，首先要理解变量的实际意义，然后利用函数的图象和性质，求出函数值、自变量的值或函数的最值等，从而解决问题.
方法总结
(1)这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
(2)解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
(3)你学到了哪些思考问题的方法？
课堂小结
1.一名运动员打高尔夫球，若球的飞行高度
ym与水平距离xm之间的函数表达式为
y= (x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程
中的最大高度为( ).
A.10 m B. 20 m C.30 m D. 60 m
90
1
巩固提高
A
2.一种新型礼炮的升空高度hm与飞行时间 ts的
关系式是h=－ t2＋20t＋1.若这种礼炮在点
火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引
爆需要的时间为( ).
A.3 s B.4 s C.5s D. 6 s
2
5
B
3.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y= x2＋ 的一部分，有关数据如图，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( ).
A．4m B.4.5m C．3.5m D.4.6m
1
5
－
7
2
A
4.体育测试时，一名九年级学生推铅球，铅球
行进高度ym与水平距离xm之间的关系为
y=－ x2＋ x ＋ ，则该名同学的成绩
是 m.
3
2
3
5
12
1
10
今天作业
课本P42页第4题
谢谢
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