21.4实际问题与二次函数（2） 课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
沪科版 九年级上册
21.4实际问题与二次函数(2)
教学目标：
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决实际问题．
教学重点：
建立坐标系，利用二次函数的图象、性质解决实际问题．
课件说明
x
y
O
b
2a
－
x=
　　 当 a＞0 时，抛物线 y=ax2＋bx＋c的开口向上，顶点是抛物线的最低点，函数有最小值.
c
b2
4a
－ .
最小值为
　如何求出二次函数 y = ax2＋bx＋c 的最小值？
此时自变量x=
b
2a
－ .
复习旧知
x
y
O
　　当 a＜0 时，抛物线 y=ax2＋bx＋c的开口向下，顶点是抛物线的最高点，函数有最大值.
c
b2
4a
－ .
最大值为
　如何求出二次函数 y = ax2＋bx＋c 的最大值？
此时自变量x=
b
2a
－ .
b
2a
－
x=
解：
x =
b
2a
－
=
2
2×
=－2
－
=－1
∵ b=2 ，c=1，
c
b2
4a
－
=
22
4×
1－
∵ a= ＞ 0 ，
　① y = x2＋2x＋1， ② y =－ x2＋x－4
1
2
1
4
①
1
2
1
2
1
2
求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值．
∴函数有最小值，
∴最大值y=
相应的x值为
　① y = x2＋2x＋1， ② y =－ x2＋x－4
解：
∵ a=－ ＜0 ，
=－3
∵ b=1 ，c=－4，
c
b2
4a
－
=
12
4×(－ )
－4－
1
2
1
4
②
1
4
1
4
求出下列函数的最大值或最小值，并求出相应的x值．
∴函数有最大值，
∴最大值y=
相应的x值为
x =
b
2a
－
=
1
2×(－ )
=2
－
1
4
小敏用一根长为8cm的细铁丝围成一个矩形
则矩形的最大面积是( ).
A. 2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm
B
例2 如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，
如图，求这条抛物线的函数关系式；
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长.
例2 如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似的看做抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.若两端主塔之间水平距离为900m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，
如图，求这条抛物线的函数关系式；
x
y
O
(0 ，0.5)
(450 ，81.5)
450
－450
(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，
如图，求这条抛物线的函数关系式；
x
y
O
(0 ，0.5)
(450 ，81.5)
450
－450
解：(1)
根据题意，得
对称轴为y轴，
抛物线经过点(450 ，81.5)，
设抛物线的函数关系式为
y=ax2＋0.5.
抛物线的顶点坐标为(0 ，0.5)，
代入上式，得
a·4502＋0.5=81.5.
a=
81
4502
=
1
2500
所求抛物线的函数关系式为
y= x2＋0.5
1
2500
(－450≤x≤450).
4502=(9×50)2
x
y
O
(0 ，0.5)
(450 ，81.5)
450
－450
y= ×3502＋0.5
1
2500
(2)当x=450－100=350(m)时，得
=49.5.
当x=450－50=400(m)时，得
y= ×4002＋0.5
1
2500
=64.5.
3502=(7×50)2
4002=(8×50)2
答：距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直
钢索的长分别约为49.5m、64.5m.
x
y
O
A
D
B
C
E
6
4
2
4
2
－4
－2
1.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩
形的一边BC为8m，另一边AB为2m，以BC所在的直线
为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐
标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距
离为6m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)如果该隧道内设双行道，现有
一辆货运车高为4.2m，宽为2.4m，
这辆货运车能否在一侧行道内
通过该隧道？
x
y
O
A
D
B
C
E
6
4
2
4
2
－4
－2
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
解：(1)
根据题意，得
对称轴为y轴，
抛物线经过点(4 ，2)，
设抛物线的函数关系式为
y=ax2＋6.
抛物线的顶点坐标为(0 ，6)，
代入上式，得
a·42＋6=2.
a=
所求抛物线的函数关系式为
y= x2＋6.
－
1
4
－
1
4
x
y
O
A
D
B
C
E
6
4
2
4
2
－4
－2
(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运车高为4.3m，
宽为2.4m，这辆货运车能否在一侧行道内通过该隧道？
(2)当x=2.4m时，得
y=
－
1
4
＋6
×2.42
=－1.44 ＋6
=4.56
＞4.3
这辆货运车能在一侧行道内通过该隧道.
2.42=(2×1.2)2
2.如图，某校的围墙上部由一段段相同的拱形栅栏连接
成，其中一段拱形栅栏(图中AOB)为抛物线的一部分，
拱形栅栏的跨径AB之间按相同的间距(0.2米)用5根立柱
加固，拱高OC为0.6米．
(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴，建立平面直角
坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2对应
的函数表达式；
(2)计算一段拱形栅栏所需
5根立柱的总长度．
x
y
O
B
C
A
(1)以O为原点，OC所在的直线为y轴，建立平面直角
坐标系，请根据以上的数据，求出抛物线y=ax2对
应的函数表达式；
x
y
O
B
C
A
解：(1)
根据题意，得
抛物线y=ax2经过点B
0.6=a×0.62
a=
y= x2
5
3
5
3
(0.6 ，0.6)
0.2
0.4
0.6
(0.6 ，0.6)，
(2)计算一段拱形栅栏所需5根立柱的总长度．
x
y
O
B
C
A
(2)当x=0.2时，得
y= ×0.22
=
当x=0.4时，得
5根立柱的总长度
＋
5
3
1
15
y= ×0.42
=
5
3
4
15
=( － )×2
3
5
1
15
( － )×2
3
5
4
15
＋
3
5
=
7
3
(m).
(1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放
到平面直角坐标系中；
(2)从已知和图像中获得求二次函数表达式所需要的条件；
(3)利用待定系数法求出抛物线的表达式；
(4)利用已求出的抛物线的表达式来解决相关的实际问题.
解决抛物线形问题的一般步骤
方法总结
建立平面直角坐标系解决二次函数应 用题时，要注意所建立的平面直角坐标系应使函数表达式尽量简单.方法如下:
(1)顶点在原点，对称轴是y轴，可设函数表达式为y=ax2；
(2)对称轴是y轴，可设函数表达式为 y= ax2＋k；
(3)顶点在x轴，可设函数表达式为y= a(x＋h)2；
(4)经过原点，可设函数表达式为y=ax2＋bx；
(5)顶点坐标是(p，q)(p，q是常数)，可设函数表达式为
y=a(x－p) ＋ q.
　　(1)这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
　　(2)解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
　　(3)你学到了哪些思考问题的方法？用函数的思想
方法解决抛物线形拱桥问题应注意什么？
课堂小结
1.著名的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，如图，
建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式
为y=－ x2.当水面离桥拱的高度DO是4m时，
水面宽度AB为( ).
A. －20m B. 10 m
C. －10 m D.20 m
25
1
巩固提高
x
y
O
A
D
B
D
2.有一拱桥呈抛物线形状，这个桥洞的最大高
度是16m，跨度为40m.现把它的示意图放在
如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的
函数表达式是( ).
A.
B.
C.
D.
x
y
O
40m
16m
y=－ x2＋ x
5
8
25
1
y=－ x2－ x
5
8
25
1
y= x2＋ x
5
8
25
1
y=－ x2＋ x＋16
5
8
25
1
B
3.某公园草坪的四周由许多段形状相同的抛物
线形防护栏组成，为了牢固起见，每段防护
栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防
护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则一段防护
栏需要不锈钢支柱的总长度是( ).
A.0.5 m B.1 m
C.1.6 m D. 2 m
2m
0.5m
0.4
C
5m
2m
B
5
4.如图，为某菜农搭建的一个横截面为抛物线的大
棚，有关尺寸如图.某菜农身高1.6m，则他在不弯
腰的情况下在大棚内左右活动的范围是( ).
A. m B. m
C.1.6 m D.0.8 m
2
5
5.如图，某水渠的横截面呈抛物线形，当水面
宽度为8m时，水深4m当水面下降1m时，水
面宽度为 m.
8m
4m
3
4
今天作业
课本P42页第5题
课本P60页第3题
谢谢
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