21.5反比例函数的图象和性质（4） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
沪科版 九年级上册
21.5反比例函数的图象和性质(4)
教学目标：
1.理解反比例函数的比例常数k的几何意义，会用k的几何意义求相关的图形面积；
2.结合实例引导学生理解k的几何意义，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维.
教学重点：理解和领会反比例函数的几何意义；
教学难点：图象不在第一象限时的线段长的表示.
1.反比例函数的定义
若两个变量x、y之间可以表示成y＝ ( k是常数，k≠0)，则称y是x反比例函数．
　 反比例函数的解析式可以写成 ， 或写成 的形式.它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数 .
k
x
xy＝k(k≠0)
y＝kx－1
k
复习旧知
2.反比例函数的图象
反比例函数y＝ (k≠0)的图象是 .
双曲线
k
x
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象永不与x轴、y轴相交．
x
O
y
x
O
y
3．反比例函数的性质
当k ＞ 0时，图象分布在第 象限，在每个象限内，y随的增大x而 ;
当k ＜ 0时，图象分布在第 象限，在每个象限内，y随x的增大而 .
一、三
减小
二、四
增大
k＞0
k ＜ 0
图象
性质
所在
象限
一、三
二、四
在每个象限内，y随x的增大而减小.
在每个象限内，y随x的增大而增大.
y＝
k
x
(k≠0)
x
O
y
x
O
y
(x，y同号)
(x，y异号)
反比例函数的图象和性质
反比例函数y= (k≠0)中 k的几何意义：
由双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为 .
k
x
|k|
x
O
y
A
B
P
P
x
O
y
A
B
P
P
S矩形PAOB=
=|xy|
=|y|·|x|
=|k|
PA·PB
学习新知
反比例函数y＝ (k≠0)中 k的几何意义：
由双曲线上任意一点向两坐标轴作垂线，
两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为 .
O
y
x
M
N
A(M，N)
k
x
B(P，Q)
P
Q
S矩形AMON
=S矩形BPOQ
=k
|k|
2.点P为反比例函数y= 图象上一个点， 作PQ垂直于x轴，垂足为Q.问△OPQ的面积是否会因点P位置的变化而变化，为什么？
k
x
x
O
y
P
Q
P
S△OPQ
= |xy|
= |y|·|x|
= |k|
= PQ·OQ
1
2
1
2
1
2
1
2
△OPQ的面积不会因点P位置的变化而变化.
Q
练习巩固
3.如图，点A是反比例函数y= (x＞0)图象上任意一点， AB平行于x轴交反比例函数y=－ (x＜0)的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在x轴上，则S□ABCD为多少？
2
x
3
x
x
O
y
A
B
C
D
y=
2
x
y=－
3
x
F
E
G
过点A作AE垂直x轴，垂足为E，
过点B作BF垂直x轴，垂足为F，
则有△AED≌△BFC (HL)
x
O
y
A
B
C
D
y=
2
x
y=－
3
x
F
E
G
∴ S□ABCD
=S矩形BFOG
＋S矩形AEOG
过点A作AE垂直x轴，垂足为E，
过点B作BF垂直x轴，垂足为F，
则有△AED≌△BFC (HL)
=BF·OF
＋ AE·OE
=3＋2
=5
5.如图，点A，B是反比例函数y= 图象上的两点，
9
x
x
O
y
A
y=
9
x
B
分别过点A，B作AE作x轴、y轴的垂线，
构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形S1，S2，S3.
已知S2=3，求S1＋S3的值
S1
S2
S3
解：
∵ S1＋S2
=9
S2＋S3
=9
∴ S1＋2S2＋S3
=18
∵ S2=3，
∴ S1＋S3
=12.
　　 例1　如图，两个反比例函数 y=　和 y=－　 的图象分别是 L1 和 L2．设点 P 在 L1 上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交L2 于点 A；PD⊥y 轴，垂足为 D，交L2 于点 B，则△PAB 的面积为( )．
1
x
2
x
A．3 B．4
C．　　 D．5
x
y
P
A
O
B
C
D
L2
L1
9
2
C
(a， )
1
a
(a，－ )
2
a
(－2a， )
1
a
PA=
1
a
－
－
2
a
( )
=
3
a
PB =
a
－
－
2a
( )
=3a
x
O
y
A
B
C
D
y=
k
x
y=－
3k
x
P
Q
y=2t
x=t
( ，2t)
k
2t
( ，2t)
－
3k
2t
(t， )
k
t
(t， )
－
3k
t
CD=
－
=
k
2t
( )
－
3k
2t
2k
t
AB=
－
=
k
t
( )
－
3k
t
4k
t
S△PCD
= ·
1
2
2k
t
2t
=2k
S△QAB
= ·
1
2
4k
t
t
=2k
　　 例2　如图，一次函数 y=ax＋b 的图象与反比例函数
　　　的图象交于第一象限 C，D 两点，与坐标轴交于
A、B 两点，连接 OC，OD(O 是坐标原点)．
① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值；
② 双曲线上是否存在一点 P，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明，并求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
O
x
A
B
C(1，4)
y
D(4，m)
y=
k
x
∵ 的图象经过点 C(1，4)．
　　 例2　如图，一次函数 y=ax＋b 的图象与反比例函数
　　　的图象交于第一象限 C，D 两点，与坐标轴交于
A、B 两点，连接 OC，OD(O 是坐标原点)．
① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和 m 的值；
O
x
A
B
C(1，4)
y
D(4，m)
y=
k
x
y=
k
x
∴ 4 = .
k
1
∴ k =4 .
∴ y = .
4
x
∴当x=4时，
m=
4
4
=1 .
①
　　 ② 双曲线上是否存在一点 P，使得△POC 和△POD 的面积相等？若存在，给出证明，并求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
O
x
A
B
C(1，4)
y
D(4，m)
P
②
∵ y=ax＋b的图象经过点 C(1，4)，D(4，1)．
a＋b =4 ，
4a＋b =1 ，
a =－1
∴y =－x＋5 ，
∴A(5，0)，B(0，5)
∴ OA =OB .
双曲线上存在一点 P，使得△POC和△POD 的面积相等.
∴
b=5.
∴
O
x
A
B
C(1，4)
y
D(4，m)
P
②
∵ y=ax＋b的图象经过点 C(1，4)，D(4，1)．
∴ a＋b =4 ，
4a＋b =1 ，
∴ a =－1 ，b=5.
∴y =－x＋5 ，
∴A(5，0)，B(0，5)，
∴ OA =OB .
双曲线上存在一点 P，使得△POC 和△POD 的面积相等.
过点 O作OP⊥AB，交双曲线于点P．
连接PC、PD，
则PC=PD.
∵ OC =OD，OP=OP .
∴ △OPC ≌△OPD .
∴ S△OPC =S△OPD .
O
x
A
B
C(1，4)
y
D(4，m)
P
②
∵ OP⊥AB，
yAB =－x＋5 ，
∴ yOP =x
∵ y=x，
∴ x = .
4
x
∴ x2 = 4 .
∴ x =2，
x =－2 (不合题意，舍去)
y = ，
4
x
当x=2时 ，
y =2 ，
∴点P的坐标为
(2，2).
本节课学习了哪些知识
在知识应用过程中需要注意什么 你有什么收获
课堂小结
1.如图，点B在反比例函数y= (x>0)的图象
上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分
别为点A，C，则矩形OABC的面积是 .
巩固提高
O
x
B
y
A
C
5
x
5
2.如图是反比例函数y= (k>0)在第一象限
内的图象，点M是图象上一点，MP垂直x轴
于点P，如果△MOP的面积为1，那么k的值
是 _____ .
k
x
O
x
M
y
P
2
3.如图，A，B，C为反比例 函数图象上的三个
点，分别过点 A，B，C向x轴、y轴作垂线，
构成三个矩形，它们的面积分别是 S1，S2，
S3，则S1，S2，S3的大小关系是( ).
A.S1=S2>S3
B. S1C.S1>S2>S3
D.S1=S2=S3
x
O
y
A
B
C
D
4.如图，A，B是反比例数y= 图象上的两点，
分别经过点A，B作x轴、y轴的垂线，构成图
中三个相邻且互不重叠的小矩形，它们的面积
分别为S1，S2，S3.已知S3=1，则S1＋S2=( ).
A.3 B. 4
C.5 D.6
O
x
A
B
y
S3
S1
S2
4
x
D
5.如图，在平面直角坐标系中，过点M(－ 3，2)
分别作x轴、y轴的垂线，与反比例数y= 图
象交于A，B两点，则S四边形MAOB为( ).
A.8 B. 10
C.12 D.14
4
x
x
O
y
A
B
M
B
今天作业
课本P49页第4、5题
谢谢
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