【精品解析】高中数学人教A版（2019） 必修一 第三章 函数概念与性质

高中数学人教A版（2019） 必修一 第三章 函数概念与性质
一、单选题
1．（2021高一上·章丘期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意可得，解得.
故答案为：C
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
2．（2021高一上·肥城期中）下列各组函数表示同一函数的是（　　）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于A， 的定义域为 ， 的定义域是 ，故不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都是 ，对应法则也一样，是同一函数；
对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数；
对于D， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，从而找出表示同一函数的一组函数。
3．（2022·安丘模拟）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】 即 时， ， ，即 ，可得 ，
当 时， ， ，
因此 即 时， ， ，所以 ，
综上，不等式的解集为 或 ．
故答案为：C．
【分析】由奇函数的定义求得时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．
4．（2020高一上·滕州月考）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为 ， ，为使 ，只能 ，
即有 ，解得 ，
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 或 ，所以 .
综上， .
故答案为：A.
【分析】根据题中条件，得到 ，解得 ，分别讨论 ， 两种情况，即可得出结果.
5．（2021高一上·薛城期中）定义 为 中的最大值，设 ，则 的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；函数的最大（小）值
【解析】【解答】分别画出 ， ， 的图象，
则函数 的图象为图中实线部分.
由图知：函数 的最低点为 ， ，解得 .
所以 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合二次函数和一次函数的图象，作出函数的图象，再联立两条直线的方程求解出交点的坐标，由数形结合法即可求出函数的最小值。
6．（2021高一上·青岛期中）已知函数 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据题意可列不等式如下，
解得 ，D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据题意由分段函数的解析式，再结合一次函数和指数函数的单调性即可得出a的取值范围。
7．（2021高一上·青岛期中）已知函数 为偶函数，且对任意互不相等的 ， ，都有 成立，且 ，则 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】
在 上单调递增
不等式 化简为 或
又 为偶函数， 在 上为单调减函数，且
时， 解得 ；
时， 解得
所以原不等式的解集为 ，A符合题意
故答案为：A.
【分析】根据题意由已知条件整理化简即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式或，结合函数的奇偶性以及单调性即可得出，再对x分情况讨论，求解出不等式的解集，由此得出答案。
8．（2022高二下·济宁期末）已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．[-1，1] C． D．[-1，0]
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，在在上单调递增，而不等式对任意的恒成立，由于，所以，即原不等式等价于，又，所以，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据题意由奇偶性的性质即可得出函数的单调性，再由已知条件结合函数的单调性即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
二、多选题
9．（2020高一上·临朐月考）下列函数中，对任意 ，满足 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】对于A， ， ，故满足 ；
对于B， ， ，故满足 ；
对于C， ， ，故满足 ；
对于D， ， ，故不满足 ；
故答案为：ABC.
【分析】根据题意代入函数的解析式，对选项逐一验证即可得出答案。
10．（2020高一上·潍坊期末）已知 为奇函数，且 为偶函数，若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 为偶函数，所以 ，
又因为f(x)是R上的奇函数，所以 ，
所以 ，所以f(x)的周期为4，
又
A，B符合题意；
，∴C符合题意；
，同时根据奇函数的性质得 既相等又互为相反数，故f(2)=0，所以 ，即 对于 不成立，D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】 根据题意，分析可得，进而可得，f (x)是周期为4的周期函数，据此分析选项，综合可得答案.
11．（2021高一上·肥城期中）若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ；②对于定义域上的任意 ， 当 时，恒有 . 则称函数 为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（　　）
A．
B．
C．
D．函数 满足
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】对于定义域上的任意 ，恒有 ，所以函数是奇函数；
对于定义域上的任意 ， 当 时，恒有 ，所以函数是减函数.
A. ，是奇函数，但是在定义域上不是单调减函数，所以不是“理想函数”；
B. ，是奇函数，是定义域上的减函数，所以是“理想函数”；
C. ，函数的图象如图所示，
所以函数是奇函数，在定义域上单调递减，所以是“理想函数”；
D. 函数 满足 ，所以 ，是偶函数，不是奇函数，所以不是“理想函数”；
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合“理想函数”的定义，再利用函数的奇偶性和单调性，从而找出能被称为“理想函数”的函数。
12．（2020高一上·滕州月考）已知 为定义在R上的函数，对任意的 R，都有 ，并且当 时，有 ，则（　　）
A．
B．若 ，则
C． 在 上为增函数
D．若 ，且 ，则实数 的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：取 得，则 ，即 ；A符合题意；
取 代入，得 ，又 ，于是 ，
为奇函数；
因为 ，所以 ，B不符合题意；
设 ， 且 ，
则 ，
由 知， ，所以
，
函数 为 上的增函数．C符合题意；
因为 ，所以 ，
所以 等价于 ，
即
所以
等价于 ，即 ，解得 或 ，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】取 即可求得 的值，令 ，易得 ，从而可判断其奇偶性；设 ， 且 ，作差 后判断其符号即可证得 为 上的增函数；依题意可得 ，原不等式等价于 ，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；
三、填空题
13．（2018高一上·台州月考）若函数f(x) 的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式
【解析】【解答】
∵函数f(x) 的定义域R，
∴ ＞0恒成立，
当 时， 显然不恒成立，
当 时， ，
解得：a∈ ，
故答案为：
【分析】由函数f(x)定义域为R可得(a+2)x2+4x+a 1＞0恒成立，利用二次函数图象可得a的取值范围.
14．（2021高一上·章丘期中）已知奇函数满足当时，，且，则　 　.
【答案】0
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为奇函数满足当时，，且，
所以，所以，解得.
故答案为：0.
【分析】根据题意由奇函数的概念，整理化简代入数值计算出a的取值即可。
15．（2020高一上·烟台期末）若幂函数 的图象不经过原点，则实数 的值为　 　．
【答案】-1
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ；
当 时， ，图象不经过原点，满足题意；
当 时， ，图象经过原点，不满足题意；
所以 .
故答案为：-1.
【分析】 根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断f(x)的图象是否经过原点即可.
16．（2017高一上·淄博期末）狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：
①若x是无理数，则D（D（x））=0；
②函数D（x）的值域是[0，1]；
③函数D（x）偶函数；
④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三个点A（x1，D（x1）），B（x2，D（x2）），C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边角形．
其中正确结论的序号是　 　．
【答案】②③④
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：①∵当x为有理数时，D（x）=1；当x为无理数时，D（x）=0，
∴当x为有理数时，D（D（x））=D（1）=1；当x为无理数时，D（D（x））=D（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有D（D（x））=1，故①不正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有D（﹣x）=D（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D（x+T）=D（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得D（x1）=0，D（x2）=1，D（x3）=0，
∴A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
即真命题是②③④，
故答案为：②③④．
【分析】①，根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，从而可判断①；②，根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，可判断②；③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f（x+T）=f（x），可判断③；④，取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形恰好构成等边三角形，可判断④．
四、解答题
17．（2021高一上·烟台期中）已知函数 满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）由 ，
用 代替x可得， ，
，
联立方程，
解得： .
（2）函数 在 上单调递减，
证明：任取 ，且 ，
，
因为 ，且 ，所以 ， ，
故 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合替换法，从而解方程组求出函数 的解析式。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证出函数 在 上为减函数。
18．（2021高一上·章丘期中）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）因为是幂函数，所以，
所以，即，
解得或.
因为在上单调递减，所以，即，则.
（2）由（1）可知，则等价于，
所以，即，
解得或.
故的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念，代入数值计算出m的取值，再由幂函数的单调性即可求出m的取值范围，由此代入验证从而得出满足题意的m的取值。
(2)由已知条件即可得出不等式，求解出a的取值范围即可。
19．（2020高一上·聊城期末）若 为 上的奇函数，且 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式 ．
【答案】（1）解：因为当 时， ，
所以当 时， ， ，
因为 为 上的奇函数,所以 ，
则 ．
所以 在 上的解析式为
（2）解：函数 在 上单调递减．
证明：设 ，且 ，
，
因为 ，且 ，
所以 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减
（3）解：因为 为 上的奇函数，且在 上单调递减，
所以 在 上单调递减．
因为 ，
所以 ， ，即 ，
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇函数；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义结合已知条件当 时， ，再结合转化的方法，进而求出函数在的函数解析式，进而求出分段函数 在 上的解析式 。
（2）利用（1）求出的分段函数的解析式结合减函数的定义，进而判断出函数 在 上的单调性。
（3）利用奇函数的性质结合减函数的性质，进而结合分类讨论的方法，从而求出关于x的不等式 的解集。
20．（2021高一上·章丘期中）设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，总有，且，则称是上的“距增函数”.
（1）判断函数是否为上的“1距增函数”，并说明理由；
（2）已知是定义在上的奇函数，且当时，.若为上的“2021距增函数”，求的取值范围.
【答案】（1）函数是上的“1距增函数”.
对任意，有，且，
故是上的“1距增函数”.
（2）因为是定义在上的奇函数，所以
若，在上单调递增，则恒成立，符合题意.
若，分以下情况：
①当时，单调递增，则恒成立.
②当时，，单调递增，则恒成立.
③当时，若，则，解得.
④当或时，若，则.
综上，的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】(1)由已知条件结合 “1距增函数” 的定义，整理化简即可得证出结论。
(2)根据题意由奇函数的性质整理化简看得出函数的解析式，再由函数的单调性即可得出不等式恒成立，再对b分情况讨论，由此即可得出不等式的解集然后结合 “2021距增函数” 的定义，即可求解出b在不同区间上的取值范围，再把结果并起来，由此即可得出答案。
21．（2020高一上·淄博期末）某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）满足如下关系： ，单株成本投入（含施肥、人工等）为 元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）.
（1）求 的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得： ，
（2）解：由（1）中
得
（i）当 时， ；
（ii）当 时，
当且仅当 时，即 时等号成立.
因为 ，所以当 时， ，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
【解析】【分析】 (1)由题意得： ，然后即可出 的函数关系式；
(2) 根据(1) ，分段求出函数的最大值，比较即可求解.
22．（2021高一上·烟台期中）已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ，且 ，都有 .
（1）判断 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断并证明 的单调性；
（3）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 为奇函数.
令 得 ，所以 ，
令 得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，故 为奇函数.
（2） 在 上单调递减，
令 ， ，且 ，则 ，
由题③得：
，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以函数 在 上单调递减.
（3）由（2）知 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，
即 在 上有解，
所以 或 ，
解得 或 ，
故实数t的取值范围为 或 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数。
(2)利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数为减函数。
（3）利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的性质，从而求出函数的最大值，再结合 在 上有解， 从而求出实数t的取值范围。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 必修一 第三章 函数概念与性质
一、单选题
1．（2021高一上·章丘期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
2．（2021高一上·肥城期中）下列各组函数表示同一函数的是（　　）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
3．（2022·安丘模拟）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，则 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020高一上·滕州月考）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高一上·薛城期中）定义 为 中的最大值，设 ，则 的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．4
6．（2021高一上·青岛期中）已知函数 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021高一上·青岛期中）已知函数 为偶函数，且对任意互不相等的 ， ，都有 成立，且 ，则 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022高二下·济宁期末）已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A． B．[-1，1] C． D．[-1，0]
二、多选题
9．（2020高一上·临朐月考）下列函数中，对任意 ，满足 的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020高一上·潍坊期末）已知 为奇函数，且 为偶函数，若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021高一上·肥城期中）若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ；②对于定义域上的任意 ， 当 时，恒有 . 则称函数 为“理想函数”．给出下列四个函数，能被称为“理想函数”的有（　　）
A．
B．
C．
D．函数 满足
12．（2020高一上·滕州月考）已知 为定义在R上的函数，对任意的 R，都有 ，并且当 时，有 ，则（　　）
A．
B．若 ，则
C． 在 上为增函数
D．若 ，且 ，则实数 的取值范围为
三、填空题
13．（2018高一上·台州月考）若函数f(x) 的定义域为R，则实数a的取值范围是　 　．
14．（2021高一上·章丘期中）已知奇函数满足当时，，且，则　 　.
15．（2020高一上·烟台期末）若幂函数 的图象不经过原点，则实数 的值为　 　．
16．（2017高一上·淄博期末）狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：
①若x是无理数，则D（D（x））=0；
②函数D（x）的值域是[0，1]；
③函数D（x）偶函数；
④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三个点A（x1，D（x1）），B（x2，D（x2）），C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边角形．
其中正确结论的序号是　 　．
四、解答题
17．（2021高一上·烟台期中）已知函数 满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
18．（2021高一上·章丘期中）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
19．（2020高一上·聊城期末）若 为 上的奇函数，且 时， ．
（1）求 在 上的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于x的不等式 ．
20．（2021高一上·章丘期中）设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，总有，且，则称是上的“距增函数”.
（1）判断函数是否为上的“1距增函数”，并说明理由；
（2）已知是定义在上的奇函数，且当时，.若为上的“2021距增函数”，求的取值范围.
21．（2020高一上·淄博期末）某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量 （单位：千克）与施用肥料 （单位：千克）满足如下关系： ，单株成本投入（含施肥、人工等）为 元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为 （单位：元）.
（1）求 的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
22．（2021高一上·烟台期中）已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ，且 ，都有 .
（1）判断 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断并证明 的单调性；
（3）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意可得，解得.
故答案为：C
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，被开方数大于等于零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。
2．【答案】B
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】对于A， 的定义域为 ， 的定义域是 ，故不是同一函数；
对于B，两个函数的定义域都是 ，对应法则也一样，是同一函数；
对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数；
对于D， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，从而找出表示同一函数的一组函数。
3．【答案】C
【知识点】奇函数
【解析】【解答】 即 时， ， ，即 ，可得 ，
当 时， ， ，
因此 即 时， ， ，所以 ，
综上，不等式的解集为 或 ．
故答案为：C．
【分析】由奇函数的定义求得时的函数解析式，然后分类讨论解不等式．
4．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】因为 ， ，为使 ，只能 ，
即有 ，解得 ，
当 时， ，无解；
当 时， ，解得 或 ，所以 .
综上， .
故答案为：A.
【分析】根据题中条件，得到 ，解得 ，分别讨论 ， 两种情况，即可得出结果.
5．【答案】C
【知识点】集合中元素的个数问题；函数的最大（小）值
【解析】【解答】分别画出 ， ， 的图象，
则函数 的图象为图中实线部分.
由图知：函数 的最低点为 ， ，解得 .
所以 的最小值为 .
故答案为：C.
【分析】由已知条件结合二次函数和一次函数的图象，作出函数的图象，再联立两条直线的方程求解出交点的坐标，由数形结合法即可求出函数的最小值。
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】根据题意可列不等式如下，
解得 ，D符合题意
故答案为：D.
【分析】根据题意由分段函数的解析式，再结合一次函数和指数函数的单调性即可得出a的取值范围。
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】
在 上单调递增
不等式 化简为 或
又 为偶函数， 在 上为单调减函数，且
时， 解得 ；
时， 解得
所以原不等式的解集为 ，A符合题意
故答案为：A.
【分析】根据题意由已知条件整理化简即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式或，结合函数的奇偶性以及单调性即可得出，再对x分情况讨论，求解出不等式的解集，由此得出答案。
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，在在上单调递增，而不等式对任意的恒成立，由于，所以，即原不等式等价于，又，所以，解得：．
故答案为：B．
【分析】根据题意由奇偶性的性质即可得出函数的单调性，再由已知条件结合函数的单调性即可得出关于m的不等式，求解出m的取值范围即可。
9．【答案】A,B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】对于A， ， ，故满足 ；
对于B， ， ，故满足 ；
对于C， ， ，故满足 ；
对于D， ， ，故不满足 ；
故答案为：ABC.
【分析】根据题意代入函数的解析式，对选项逐一验证即可得出答案。
10．【答案】A,B,C
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】因为函数 为偶函数，所以 ，
又因为f(x)是R上的奇函数，所以 ，
所以 ，所以f(x)的周期为4，
又
A，B符合题意；
，∴C符合题意；
，同时根据奇函数的性质得 既相等又互为相反数，故f(2)=0，所以 ，即 对于 不成立，D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】 根据题意，分析可得，进而可得，f (x)是周期为4的周期函数，据此分析选项，综合可得答案.
11．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】对于定义域上的任意 ，恒有 ，所以函数是奇函数；
对于定义域上的任意 ， 当 时，恒有 ，所以函数是减函数.
A. ，是奇函数，但是在定义域上不是单调减函数，所以不是“理想函数”；
B. ，是奇函数，是定义域上的减函数，所以是“理想函数”；
C. ，函数的图象如图所示，
所以函数是奇函数，在定义域上单调递减，所以是“理想函数”；
D. 函数 满足 ，所以 ，是偶函数，不是奇函数，所以不是“理想函数”；
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合“理想函数”的定义，再利用函数的奇偶性和单调性，从而找出能被称为“理想函数”的函数。
12．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：取 得，则 ，即 ；A符合题意；
取 代入，得 ，又 ，于是 ，
为奇函数；
因为 ，所以 ，B不符合题意；
设 ， 且 ，
则 ，
由 知， ，所以
，
函数 为 上的增函数．C符合题意；
因为 ，所以 ，
所以 等价于 ，
即
所以
等价于 ，即 ，解得 或 ，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】取 即可求得 的值，令 ，易得 ，从而可判断其奇偶性；设 ， 且 ，作差 后判断其符号即可证得 为 上的增函数；依题意可得 ，原不等式等价于 ，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次不等式
【解析】【解答】
∵函数f(x) 的定义域R，
∴ ＞0恒成立，
当 时， 显然不恒成立，
当 时， ，
解得：a∈ ，
故答案为：
【分析】由函数f(x)定义域为R可得(a+2)x2+4x+a 1＞0恒成立，利用二次函数图象可得a的取值范围.
14．【答案】0
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：因为奇函数满足当时，，且，
所以，所以，解得.
故答案为：0.
【分析】根据题意由奇函数的概念，整理化简代入数值计算出a的取值即可。
15．【答案】-1
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ；
当 时， ，图象不经过原点，满足题意；
当 时， ，图象经过原点，不满足题意；
所以 .
故答案为：-1.
【分析】 根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断f(x)的图象是否经过原点即可.
16．【答案】②③④
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：①∵当x为有理数时，D（x）=1；当x为无理数时，D（x）=0，
∴当x为有理数时，D（D（x））=D（1）=1；当x为无理数时，D（D（x））=D（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有D（D（x））=1，故①不正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有D（﹣x）=D（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D（x+T）=D（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得D（x1）=0，D（x2）=1，D（x3）=0，
∴A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
即真命题是②③④，
故答案为：②③④．
【分析】①，根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，从而可判断①；②，根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，可判断②；③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f（x+T）=f（x），可判断③；④，取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形恰好构成等边三角形，可判断④．
17．【答案】（1）由 ，
用 代替x可得， ，
，
联立方程，
解得： .
（2）函数 在 上单调递减，
证明：任取 ，且 ，
，
因为 ，且 ，所以 ， ，
故 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合替换法，从而解方程组求出函数 的解析式。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证出函数 在 上为减函数。
18．【答案】（1）因为是幂函数，所以，
所以，即，
解得或.
因为在上单调递减，所以，即，则.
（2）由（1）可知，则等价于，
所以，即，
解得或.
故的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)根据题意由幂函数的概念，代入数值计算出m的取值，再由幂函数的单调性即可求出m的取值范围，由此代入验证从而得出满足题意的m的取值。
(2)由已知条件即可得出不等式，求解出a的取值范围即可。
19．【答案】（1）解：因为当 时， ，
所以当 时， ， ，
因为 为 上的奇函数,所以 ，
则 ．
所以 在 上的解析式为
（2）解：函数 在 上单调递减．
证明：设 ，且 ，
，
因为 ，且 ，
所以 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减
（3）解：因为 为 上的奇函数，且在 上单调递减，
所以 在 上单调递减．
因为 ，
所以 ， ，即 ，
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇函数；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用奇函数的定义结合已知条件当 时， ，再结合转化的方法，进而求出函数在的函数解析式，进而求出分段函数 在 上的解析式 。
（2）利用（1）求出的分段函数的解析式结合减函数的定义，进而判断出函数 在 上的单调性。
（3）利用奇函数的性质结合减函数的性质，进而结合分类讨论的方法，从而求出关于x的不等式 的解集。
20．【答案】（1）函数是上的“1距增函数”.
对任意，有，且，
故是上的“1距增函数”.
（2）因为是定义在上的奇函数，所以
若，在上单调递增，则恒成立，符合题意.
若，分以下情况：
①当时，单调递增，则恒成立.
②当时，，单调递增，则恒成立.
③当时，若，则，解得.
④当或时，若，则.
综上，的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】(1)由已知条件结合 “1距增函数” 的定义，整理化简即可得证出结论。
(2)根据题意由奇函数的性质整理化简看得出函数的解析式，再由函数的单调性即可得出不等式恒成立，再对b分情况讨论，由此即可得出不等式的解集然后结合 “2021距增函数” 的定义，即可求解出b在不同区间上的取值范围，再把结果并起来，由此即可得出答案。
21．【答案】（1）解：由题意得： ，
（2）解：由（1）中
得
（i）当 时， ；
（ii）当 时，
当且仅当 时，即 时等号成立.
因为 ，所以当 时， ，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.
【知识点】函数的最大（小）值；分段函数的应用
【解析】【分析】 (1)由题意得： ，然后即可出 的函数关系式；
(2) 根据(1) ，分段求出函数的最大值，比较即可求解.
22．【答案】（1） 为奇函数.
令 得 ，所以 ，
令 得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，故 为奇函数.
（2） 在 上单调递减，
令 ， ，且 ，则 ，
由题③得：
，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以函数 在 上单调递减.
（3）由（2）知 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，
即 在 上有解，
所以 或 ，
解得 或 ，
故实数t的取值范围为 或 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义，从而判断出函数为奇函数。
(2)利用已知条件结合减函数的定义，从而判断出函数为减函数。
（3）利用已知条件结合奇函数的定义和减函数的性质，从而求出函数的最大值，再结合 在 上有解， 从而求出实数t的取值范围。
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