高中数学人教A版（2019）必修第一册 4.1.2无理数指数幂及其运算性质教学设计（2）教案

【新教材】4.1.2无理数指数幂及其运算性质 教学设计（人教A版）
学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.
课程目标
1. 理解无理数指数幂的概念;
2. 掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；
3. 掌握实数指数幂的运算性质；
4. 能利用已知条件求值.
数学学科素养
1.数学抽象：无理数指数幂的概念；
2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；
3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；
4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；
5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。
重点：①掌握并运用实数指数幂的运算性质；②能利用已知条件求值．
难点：能利用已知条件求值．
教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
预习课本，引入新课
阅读课本107-108页，思考并完成以下问题
(1)无理数指数幂的含义是什么？
(2)如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
新知探究
1．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的 实数 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
2．实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈R．
(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈R)．
四、典例分析、举一反三
题型一 指数幂的运算性质化简求值
例1 化简求值
(1)
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)
(3).
【答案】(1)64 (2)－ (3)
【解析】(1)原式＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1
＝－ac－1＝－.
(3)原式＝.
解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．
(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．
跟踪训练一
1、化简求值
（1）
（2）(a>0).
【答案】（1） （2）1
【解析】（1）原式=
(2)原式=[]÷[]==a0=1.
题型二 条件求值
例2 已知(a>0),求下列各式的值:
(1)a+a-1;　(2)a2+a-2;　(3)a2-a-2.
【答案】（1）3 （2）7 （3）
【解析】(1)将的两边平方,得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.
(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.
(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.
所以y=±3,即a2-a-2=±3.
解题技巧：()
已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用.
跟踪训练二
1.已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求．
【答案】－
【解析】= ①
∵a＋b＝12，ab＝9， ②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6. ③
将②③代入①，得＝－.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
无理数指数幂及其运算性质
例1
例2
条件求值
)
七、作业
课本109页习题4.1
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握无理数指数幂性质及其应用.