高中数学人教A版（2019）必修第一册单元过关卷——第二章一元二次函数、方程与不等式（含解析）

2022年9月14日高中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．8
2．已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．36
3．已知，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．若不等式对任意的恒成立，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．若实数满足约束条件，且最大值为1，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
8．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
二、多选题
9．已知关于的不等式解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
10．下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”.
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
11．已知正实数满足，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
12．已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．
14．若实数满足，则的最小值为_________.
15．设，则的最小值为______.
16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50四、解答题
17．解关于x的不等式．
18．已知函数．
（1）若函数的最大值为0，求实数m的值．
（2）若函数在上单调递减，求实数m的取值范围．
（3）是否存在实数m，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．
19．已知不等式>0()．
（1）解这个关于 的不等式；
（2）若当 时不等式成立，求 的取值范围．
20．已知二次函数．
(1)若该二次函数的图象与轴有两个交点，且两交点的横坐标互为相反数，解不等式；
(2)若关于的方程的两个实根均大于且小于，求实数的取值范围．
21．已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
22．已知二次函数(，，)只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．
(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；
(2)求关于的不等式的解集．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．
【详解】的解集为，则的两根为，，
∴，∴，，则，即，
，当且仅当时取“=”，
故选：C.
2．B
【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.
【详解】因为正实数a，b满足，
所以，即，当且仅当时，即时取等号.
因为，所以，
所以.
故的最小值是16.
故选：B
3．C
【分析】将，转化为，由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
4．B
【分析】由选项可知，故原不等式等价于
，当时，不满足题意，故，再由二次函数的性质即可求解
【详解】由选项可知，故原不等式等价于
，
当时，显然不满足题意，故，
由二次函数的性质可知，此时必有，即，
故选：B
5．A
【分析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义得到，再利用基本不等式的性质即可得到的最大值.
【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：
目标函数转化为，
由图易得，直线在时，轴截距最大.
所以.
因为，即，
当且仅当，即，时，取“”.
故选：A
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.
6．B
【分析】由题意可得=，当，即时等号成立，所以有，将化为，再利用基本不等式可求得的范围.
【详解】解：因为为正实数，
=，
当，即时等号成立，
此时有，
又因为，
所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.
故选：B.
7．D
【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，
，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
8．B
【分析】对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
【详解】对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
9．BCD
【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.
【详解】因为关于的不等式解集为，
所以和是方程的两个实根，且，故错误；
所以，，所以，
所以不等式可化为，因为，所以，故正确；
因为，又，所以，故正确；
不等式可化为，又，
所以，即，即，解得,故正确.
故选：BCD.
【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.
10．BD
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D选项.
【详解】对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；
对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.
故选：BD
【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件，进而解不等式求得讨论即可.
11．AC
【分析】根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项.
【详解】解：因为，则，即，
又为正实数，则，所以，，故A项正确；
因为，所以，
又，所以，故B项错误；
因为，且为正实数，即，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故C项正确；
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.
故选：AC.
12．ABC
【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.
【详解】当时，，即，此时，符合题意，
当时，，即，
由可得或，
因为，所以或，可得或，
因为，所以，
所以实数的取值范围为或，
所以选项ABC正确，选项D不正确；
故选：ABC.
13．
【分析】考虑两个函数，，由此确定，时，，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值．
【详解】设，，
图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，
时，，时，，时，，
因此时，，时，，，
所以①，②，
由①得，代入②得，因为，此式显然成立．
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值．
14．##4.5
【分析】根据实数满足，利用“1”的代换得到，再利用基本不等式求解.
【详解】因为实数满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
15．
【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为．
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
16．60
【分析】根据已知写出利润函数，换元后由基本不等式得最大值．
【详解】解析设销售价格定为每件x(50y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0所以y＝＝＝≤＝2500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2500．
故答案为：60．
17．答案见解析.
【分析】将原不等式转化为ax2＋(a－2)x－2≥0．根据二次函数开口方向和方程根的大小，分a＝0，a＞0，a＜0，a＜－2，－2＜a＜0五种情况讨论求解.
【详解】原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0．
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1．
②当a＞0时，原不等式化为 (x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1．
③当a＜0时，原不等式化为 (x＋1)≤0．
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为或；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查含参一元二次不等式的解法，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
18．（1）或；（2）；（3）存在，
【分析】（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得的值；
（2）由对称轴在区间的左侧可得；
（3）分类讨论求函数在上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解的值．
【详解】（1），则最大值，即，解得或．
（2）函数图象的对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得．
（3）①当，即时，在上递减，
若存在实数m，使在上的值域是，则
即，此时m无解．
②当，即时，在上递增，则即解得．
③当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或6，舍去．
综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是．
【点睛】本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
19．（1）答案见解析；（2） ．
【分析】（1）根据同号得正异号得负，转化为 ，讨论二次项系数，解出不等式的解集；
（2）根据不等式成立，得到关于 的不等式，求出 的范围.
【详解】解（1）原不等式等价于．
①当 时，由 ，得．
②当 时，不等式可化为 ，
解得 或 ．
③当 时，不等式可化为．
若 ，即 ，则 ；
若，即a＝－1，则不等式的解集为空集；
若，即a<－1，则．
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为；
当 时，不等式的解集为 ．
（2）∵当 时不等式成立，
∴ ，则 ，
∴ ，即 的取值范围为 ．
20．(1)或
(2)
【分析】（1）结合根与系数的关系求出的值，即可求得不等式的解集;
（2）根据二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可
（1）
设两交点的横坐标分别为，，由已知得，
而，所以，故，
不等式即，解得或，
故不等式的解集为或．
（2）
因为方程的两个实根均大于且小于4，
所以，且时，，时，，
即，
解得，即实数的取值范围为．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）由不等式的解集结合韦达定理即可求得的值；
（2）由不等式的解集结合图象对参数分情况讨论得出结论.
【详解】解：（1）若关于的不等式的解集为，
则和1是的两个实数根，由韦达定理可得，
求得.
（2）若关于的不等式解集为，则，或，
求得或，
故实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查不等式的解法及函数性质，意在考查学生的数形结合思想及数学运算的学科素养，属基础题.
22．(1)满足题意的条件为①③，，，；
(2)答案见解析﹒
【分析】(1)分别假设条件①②和条件②③符合题意，根据二次函数性质和题意即可判断满足题意的条件，根据二次函数的图象性质即可求出a、b、c的值；
(2)化简不等式，根据m的范围讨论不等式解集即可．
（1）
假设条件①②符合题意．
∵，二次函数图象开口向下，∴的解集不可能为，不满足题意．
假设条件②③符合题意．
由，知二次函数图象开口向下，无最小值，不满足题意．
∴满足题意的条件为①③．
∵不等式的解集为，∴，3是方程的两根，
∴，，即，．
∴函数在处取得最小值，∴，即，
∴，．
（2）
由(1)知，则，即，
即．
∴当时，不等式的解集为{或}；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为{或}．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页