高中数学人教A版（2019）必修第一册单元过关卷——第三章函数的概念与性质A（有答案）

一、单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
4．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象是如图所示的折线段，其中，，函数，那么函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数若函数有且只有两个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
10．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，点横坐标为12，点坐标为点横坐标为128．则下面说法中正确的是（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C．点的横坐标是200 D．的最大值是216
11．已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．，且，恒成立
12．已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
三、填空题
13．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
14．已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为___________．
15．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________.
16．已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
四、解答题
17．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．
18．如图，是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M，N两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧，若点M在点O正北方向3公里；点N到的距离分别为4公里和5公里.
（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（2）若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4公里，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于公里，求该校址距点O的最短距离（注：校址视为一个点）
19．定义在实数集上的函数的图象是一条连绵不断的曲线，，，且的最大值为1，最小值为0．
(1)求与的值；
(2)求的解析式．
20．已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
21．已知函数的图象如图所示，其中轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
（1）写出函数的定义域和值域；
（2）求的值．
22．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】，由结合函数的递减区间可得结果.
【详解】，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
2．A
【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.
【详解】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
3．C
【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
4．A
【分析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．
【详解】解：因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，，，
由知，，
所以此时，其最小值为；
同理，当，时，，其最小值为；
当，时，的最小值为；
作出如简图，
因为，
要使，
则有．
解得或，
要使对任意，都有，
则实数的取值范围是．
故选：A．
5．B
【分析】根据图象可得的解析式，进而可得的解析式，再利用二次函数的性质分别求分段函数各段的值域，再求并集即可求解.
【详解】由题图可知，，所以直线的方程是，
因为，所以直线的方程为，
所以，
所以，
当时，在上单调递增，此时函数的值域为；
当时，，
所以当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
此时函数的值域为，
综上可知，函数的值域为，
故选：B.
6．C
【分析】由可得函数的图象关于直线对称，进而得到在上单调递增，数形结合将转化为，解不等式即可.
【详解】因为，，所以函数的图象关于直线对称，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式
等价于，两边同时平方后整理得，解得或.
故选：C．
7．A
【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答.
【详解】因函数的定义域为，则在函数中，
必有，解得，
所以的定义域为.
故选：A
8．A
【分析】可化为，构造函数，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】根据题意可知，
可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，
所以为奇函数，所以在R上为增函数，
因为，，
所以，
所以，
解得，
即x的取值范围是.
故选：A.
【关键点点睛】本题的关键是将不等式化为，从而构造函数，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
9．BCD
【分析】作出函数的图象如下图所示，将原问题转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，根据图示可得实数的取值范围.
【详解】根据题意，作出的图像如下所示：
令，得，
所以要使函数有且只有两个不同的零点，
所以只需函数的图像与直线有两个不同的交点，
根据图形可得实数的取值范围为，
故选：．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
10．ACD
【分析】甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；设的坐标为，由题得，则有，解可得，所以选项C正确；当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
【详解】根据题意，甲一共加工的时间为分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是，所以选项A正确，
设的坐标为，
在区间和，20 上，都是乙在加工，则直线和的斜率相等，
则有，
在区间和上，甲乙同时加工，同理可得，
则，
则有，解可得；
即点的坐标是，所以选项C正确；
由题得乙每分钟加工的零件数为个，
所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）个零件，所以选项B错误；
当时，，所以的最大值是216.所以选项D正确.
故选：ACD
11．BC
【解析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D不正确；
故选：BC
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
12．BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．
故选：BC．
13．
【分析】去绝对值将转化为分段函数，求出其最大值，即可.
【详解】因为，不等式恒成立，则，
，
作出函数的图象如图：
由图知：的最大值为，
所以，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
14．
【解析】设，则，转化为，由有8个零点，转化为方程，有4个不同的实根，即在内有2个不同的实根，利用数形结合法求解.
【详解】画出函数的图像如图所示，
设，由，得．
因为有8个零点，
所以方程有4个不同的实根，
结合的图像可得在内有4个不同的实根．
所以方程必有两个不等的实数根，
即在内有2个不同的实根，
画出函数的图象，如图所示：
结合图像可知，
，故．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
15．
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性脱掉，再解不等式即可.
【详解】的定义域为，
因为，
所以为奇函数，
因为和都是上的增函数，
所以在上单调递增，
由可得，
可得，即，
解得：，
所以实数的取值范围是，
故答案为：.
16．
【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
17．
【分析】根据幂函数的单调性，可知，又，则，再根据函数是偶函数，将分别代入验证可得答案.
【详解】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，
又∵，∴或1．
因为函数是偶函数，将分别代入，
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
的解析式为．
18．（1）（；（2）.
【分析】（1）以垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为，由圆心到两点的距离相等求出，即圆心坐标，再求出半径，可得圆方程，圆弧方程在圆方程中对变量加以限制即可。
（2）设校址坐标为，，根据条件列出不等式，由函数单调性求最值解决恒成立问题。
【详解】（1）以直线为轴，为轴，建立如图所求的直角坐标系，则，，设圆心为，则，解得。即，圆半径为，∴圆方程为，
∴铁路线所在圆弧的方程为（。
（2）设校址为，，是铁路上任一点，
则对恒成立，即对恒成立，
整理得对恒成立，
记，
∵，∴，在上是减函数，
∴，即，解得。
即校址距点最短距离是。
【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求圆的方程，考查不等式恒成立问题。不等式恒成立可转化为通过求函数的最值得以解决，属于中档题。
19．(1)，
(2)
【分析】（1）利用赋值法，令，得到；令，得到；
（2）先由得到，根据的最大值为1，最小值为0及
图象连续，写出的解析式.
（1）
令，则，得
∴
∴
令，则，
同理；
（2）
由
得，即
这说明，至少与1，，其中之一相等
∵的最大值为1，最小值为0
∴在区间和上，一定有
只能在处取得，因此
又∵函数的图象是一条连绵不断的曲线
∴的解析式为
20．(1)；
(2).
【分析】（1）解方程再检验即得解；
（2）令，再求函数的值域即得解.
（1）
解：由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.
综上所述.
（2）
解：由题得，
令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
21．（1）定义域为，，值域为，；（2）-1.
【分析】（1）由图像直接得到定义域和值域；
（2）先求出解析式，再直接代入求的值.
【详解】解：（1）由图象可知，函数的定义域为，，值域为，；
（2）当，时，设，
将，代入可得，
解得，，
即，
当，时，设，将点代入可得，解得，
，
，
，
（1）．
22．(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）分、两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果；
（2）求得，可以确定的单调递增区间为，之后利用函数单调性证明即可.
(1)
当时，，
定义域为， 任选，都有，
所以时函数为偶函数；
当，
则；
时函数既非奇函数又非偶函数；
(2)
函数的单调递增区间为.
证明：，
任取且，
，
由于，则；
由于，则；
所以，即.
函数的单调递增区间为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页