高中数学人教A版（2019）必修第一册单元过关卷——第三章函数的概念与性质B（有答案）

一、单选题
1．若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A． B． C． D．
2．已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
3．已知是偶函数，对任意，，且，都有，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．若至少存在一个,使得关于x的不等式成立,则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
7．已知实数，，，满足，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数由方程到确定，对于函数给出下列命题：
①对任意，都有恒成立：
②，使得且同时成立；
③对于任意恒成立；
④对任意，，
都有恒成立.其中正确的命题共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
9．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图像关于对称 D．
10．对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是
A．函数是闭函数
B．函数是闭函数
C．函数是闭函数
D．时,函数是闭函数
E．时,函数是闭函数
11．若在区间上有恒成立，则称为在区间上的下界，且下界的最大值称为在区间上的下确界，简记为．已知是上的奇函数，且，当时，有．若，，不等式恒成立，下列结论中正确的是（ ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．若，则的最大值为4
C．当时，
D．若，则是不等式恒成立的充分不必要条件
12．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则x的值是
E．的解集为
三、填空题
13．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
14．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围为____________.
15．设m为实数，函数，若对于一切，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_______．
16．已知若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为___________.
四、解答题
17．设常数，函数．
（1）若a=1，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)是奇函数，且关于x的不等式mx2+m>f[f(x)]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，为正实数，且的最大值等于，求实数的值.
19．已知函数为奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数在 上的值域．
20．已知二次函数
（1）若在的最大值为，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，使得．求的取值范围．
21．若存在实数x0与正数a，使x0+a，x0﹣a均在函数f（x）的定义域内，且f（x0+a）＝f（x0﹣a）成立，则称“函数f（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”．
（1）设f（x）＝x3﹣3x2+2x﹣1，问是否存在正数a，使“函数f（x）在x＝1处存在长度为a的对称点”？试说明理由．
（2）设g（x）＝x（x＞0），若对于任意x0∈（3，4），总存在正数a，使得“函数g（x）在x＝x0处存在长度为a的对称点”，求b的取值范围．
22．设，已知函数.
（1）若是奇函数，求的值；
（2）当时，证明：；
（3）设，若实数满足，证明：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.
【详解】∵函数是偶函数，
∴，
又∵，
，
，
，
∴函数的周期为4，
∴.
故选：D.
2．A
【分析】先由题给条件求得函数的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得的值.
【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，
则有，又由函数的图像关于点成中心对称，
则，则有，则，
则有，则函数是周期为8的周期函数，
则
故选：A．
3．A
【分析】根据是偶函数得到函数的对称轴，然后根据任意，，且，都有，所以在单调递减，进而得到函数在上的单调性，最后根据得到答案.
【详解】因为是偶函数，所以的图像关于x=1对称，而，则，
又因为任意，，且，都有，所以在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增.
所以的解集是.
故选：A.
4．D
【解析】把不等式变形为，作出函数和的图象，由数形结合思想得出不等关系．
【详解】原不等式可变形为，作出函数和的图象，由题意在时，至少有一点满足，
当与相切时，，，由得，
当过点时，，
∴．
故选：D.
【点睛】本题考查不等式有解问题．变形后转化两个函数图象的关系问题，利用数形结合思想得到解法．
5．A
【分析】由的特性结合函数图象平移变换可得是奇函数，由可得函数的周期，由此探讨出的值域，再将所求问题转化为不等式在上有解即可.
【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，
由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，
又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，
又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，
而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，
因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，
当时，取，成立，即得，
当时，在上有解，必有，解得，则有，
综上得，
所以满足条件的实数构成的集合为.
故选：A
6．D
【分析】由已知可得函数的对称性，然后结合函数在单调递减，所以可判断在定义域上的单调性，进而利用单调性可解.
【详解】解：，则关于对称，
因为在单调递减，
∴在上单调递减，
又
∴，
∴，
∴或，
故选：D.
【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称.
7．D
【分析】先求解出方程的解，然后利用换元法（）将表示为关于的函数，根据条件分析的取值范围，然后分析出关于的函数的单调性，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，所以且，
令，则，且，所以，
又因为且，所以且，
所以，所以，所以，
当时，，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
当时，，当时，，所以；
当时，，
因为、在上单调递增，所以在上单调递减，
当时，，当时，，所以，
综上可知：，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于构造函数方法的使用，通过方程根的计算以及换元方法的使用将多变量问题转化为单变量问题，最后通过函数的性质解决问题.
8．B
【解析】分四类情况进行讨论，画出相对应的函数图象，由函数图象判断所给命题的真假性．
【详解】由方程知，
当x≥0且y≥0时，方程为y2＝1；
当x＜0且y＜0时，方程为y2＝1，不成立；
当x≥0且y＜0时，方程为y2＝1；
当x＜0且y≥0时，方程为y2＝1；
作出函数f（x）的图象如图所示，
对于①，f（x）是定义域R上的单调减函数，则
对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有恒成立，①正确；
对于②，假设点（a,b）在第一象限，则点(b,a)也在第一象限，
所以，该方程组没有实数解，所以该情况不可能；
假设点（a,b）在第四象限，则点(b,a)在第二象限，
所以，该方程组没有实数解，所以该种情况不可能；
同理点（a,b）在第二象限，则点(b,a)在第四象限，也不可能.
故该命题是假命题.
对于③，由图形知，对于任意x∈R，有f（x）x，
即2f（x）+x＞0恒成立，③正确；
对于④，不妨令t，则tf（x1）+（1﹣t）f（x2）﹣f[tx1+（1﹣t）x2]＞0为
f（），不是恒成立，所以④错误．
综上知，正确的命题序号是①③．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了含有绝对值的函数图象与性质的应用问题，也考查了圆锥曲线的知识与数形结合思想，是中档题．
9．BCD
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：BCD
10．BD
【解析】依次判断每个选项：根据单调性排除；在上的值域为 B正确；根据闭函数定义得到，故D正确，E错误，得到答案.
【详解】因为在定义域上不是单调函数，所以函数不是闭函数，A错误；
在定义域上是减函数，由题意设，则，解得
因此存在区间，使在上的值域为，B正确；
在上单调递增，在上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；
若是闭函数，则存在区间，使函数的值域为，即，所以a，b为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实根.
当时，有，解得；
当时，有，此不等式组无解.
综上所述，，因此D正确，E错误；
故选：BD
【点睛】本题考查了函数的新定义，单调性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
11．BCD
【解析】由函数的奇偶性、、的解析式可得函数的图象，根据图象可判断AB，由周期性求出上的解析式可判断C，根据下确界定义，结合图象和已知可判断D.
【详解】因为是上的奇函数，所以，
当时，有，所以时，有，
因为，所以，
所以的周期为16，且，所以关于对称，
图象如图，
对于A， 可知是函数的对称中心，直线不是对称轴，错误；
对于B， 若，，即，正确；
对于C，当时，函数经过，，设解析式为，
所以，解得，，
当时，函数经过，，设解析式为，
所以，解得，，
所以时，，因为周期为16，当时， ，正确；
D. 若，即恒成立，当时，故存在矛盾；当时，也存在矛盾；因此，k在上考虑，此时，所以，即在上的最小值大于等于-3，在上的范围为，所以，解得，
因为，所以是的充分不必要条件，正确.
故选：BCD.
【点睛】本题考查了对新定义和性质的理解，关键点是作出函数的图象，结合图象可正确理解性质，考查了学生的理解能力、推理能力及运算能力.
12．BD
【解析】根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.
【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，，解得（舍去），当时，，解得
或（舍去），故D正确；
当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故E错误.
故选：BD.
【点睛】此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.
13．.
【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.
14．或
【解析】当时,分， ，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，同理，求得a的范围，再由，在上单调递减，求得a的范围，取交集，最后取并集.
【详解】当时,当,即时,,解得,此时,
当，即时，解得，此时无解，
当，即时，，解法，此时无解，
所以，
又因为，在上单调递减，
所以由对勾函数的性质得，
解得，此时，.
综上：.
当时,当,即时, ,解得,此时无解，
当，即时，解得，此时，
当，即时，，解得，此时，
综上：
此时，在上单调递减，
所以
综上：实数a 的取值范围为或
故答案为：或
【点睛】方法点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．
15．
【分析】由题可得，当时，，分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值，化简恒成立问题为最值问题即可．
【详解】当时，
，
，
当时，
，
故不等式恒成立；
当时，
显然当时，为增函数，故，
当时，，由对勾函数的单调性可知为增函数，故，
故在上，，
故，
故；
当时，在上单调递增，
故，
故，
故无解，
综上所述，．
故答案为：．
16．.
【分析】不等式可以转化为，先考虑时，当时，考虑和两种情况对根式不等式进行讨论，最后求出答案.
【详解】由题意，.
当时，，；
当时，
（1）若，则，设，于是，所以.
（2）若，首先，而函数在上单调递减，则，而函数在上单调递减，则，则，设，于是，
所以.
综上：.
17．（1）调增区间为，单调减区间为(-∞，0)，；（2）.
【分析】(1)当a=1时，求得，根据二次函数的单调性求出x<0与的单调区间即可得解；
(2)由f(x)是奇函数求出a，再求得，将给定不等式分离参数并构造函数，求其最大值即可作答.
【详解】（1）当a=1时，，
当时，，则f(x)在内是增函数，在内是减函数，
当x<0时，，则f(x)在(-∞，0)内是减函数；
综上可知，f(x)的单调增区间为，单调减区间为(-∞，0)，；
（2）因f(x)是奇函数，必有f(-1)=-f(1)，即(a+1)·1＝-(a-1)·1，解得a=0，此时，它是奇函数，
因此，a=0，，则，
于是有，
而时，，并且，
令，则在上单调递增，当时，，
因此，当时，，则，
所以实数m的取值范围是.
18．(1) 见解析； (2)；(3).
【分析】(1)将二次函数表达式写成交点式，再对分类讨论；
(2)对分等于零，大于零和小于零讨论；
(3)先用基本不等式的配凑法求最值，再求的值.
【详解】(1)
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，无实数解.
(2) 当时，，
对任意，恒成立.
当时，函数图象开口向上，
若对任意，恒成立，只需
，即，.
故当时，对任意，恒成立.
当时，对任意，，，
恒成立.
综上可知，实数的取值范围为.
(3) 若，，为正实数，则由基本不等式得，
，，
两式相加得，，
变形得，当且仅当且时等号成立.
所以，即，.
19．(1)5
(2)答案见解析
【分析】（1）由奇函数的定义即可求解；
（2）由题可得函数的图象可得函数的单调增区间，再通过分类讨论结合二次函数的图象及性质即求.
（1）
当时，，
此时，，
因为函数为奇函数，
所以，即，
解得；
（2）
由（1）知，如图所示：
如图所示，图象两侧虚线对应的对称轴分别为和，
当时，，；
∴函数在 上的值域为；
当时， ，，
∴函数在 上的值域为；
当时， ， ，
∴函数在 上的值域为；
当时， ，
∴函数在 上的值域为.
20．（1）；（2）.
【分析】由解析式可知为开口方向向上，对称轴为的二次函数；
（1）分别在和两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；
（2）将问题转化为对恒成立，分别在、、和，根据单调性可得，将看做关于的函数，利用恒成立的思想可求得结果.
【详解】由解析式知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
（1）当，即时，在上单调递减，
，不合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，在的最大值为，
，解得：；
综上所述：.
（2）若对任意实数，总存在，使得，
则对恒成立，
①当时，在上单调递增，
，
当时，单调递增，
，；
②当，即时，在上单调递减，
，
当时，单调递减，
，；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，又，，
令，则在上单调递增，
，解得：；
④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
当时，在上单调递减，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为对恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.
21．（1）存在，理由见解析；（2）（0，9]．
【分析】（1）由f（1+a）＝f（1﹣a），代入化简即可求出正数a；
（2）令g（x）＝c，则xc，即x2﹣cx+b＝0必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，即可求b的取值范围．
【详解】（1）∵f（1+a）＝f（1﹣a），
∴（1+a）3﹣3（1+a）2+2（1+a）﹣1＝（1﹣a）3﹣3（1﹣a）2+2（1﹣a）﹣1，
∴a（a+1）（a﹣1）＝0，
∵a＞0，∴a＝1；
（2）令g（x）＝c，则xc，即x2﹣cx+b＝0（*）．
由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均数为x0，
∴c＞0，b＞0，c2﹣4b＞0，x0，
∴0＜b＜x02对一切意x0∈（3，4）均成立，
∴b的取值范围为（0，9]．
22．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得；
（2）采用作差比较大小，整理化简得；
（3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立.
【详解】解：（1）由题意，对任意，都有，
即，亦即，因此；
（2）证明：因为，，
.
所以，.
（3）设，则，
当时，；
当时，；
，，
所以.
由得，即.
①当时，，，所以；
②当时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知.
【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页